TROISIEME PARTIE, — CHAPITRE I
OU
(3) d.— z=^ Xdx -h Ydy -f- Zdz.
mv^^ produit de la masse du point matériel par le carré de sa vitesse, est ce que l'on appelle la force vii^e de ce point. Quant à Xrfx 4- ^dj-^ Tjdz^ c'est le travail de la force (X, Y, Z) correspondant au déplacement (cZr, d-y^ dz) réel produit par cette force j on lui donne le nom de travail élémentaire, j [Xdx -hYdj -^Zdz) est ce que
l'on appelle le traitait total de la même force, effectué depuis l'époque t^ jusqu'à l'époque t.
Si l'on intègre la formule (3) depuis t^^ jusqu'à t^ on a
(4) ! = / (Xdx-hYdx-hZdz),
et l'on peut énoncer le théorème suivant, dit des forces "vives ou du traitait :
176. Théorème. — La demi' variation de la* force vive d^un mobile pendant un temps quelconque est égale au travail total de la force qui sollicite ce mobile^ ^ff^^^ tué pendant le même temps.
Ce théorème n'a d'utilité (relativement à Tiutégration) que si la quantité Xdx-h Y^ -f- Zfl^z est la différentielle exacte d'une fonction
c'est-à-dire que si
(^) ^-Tr' ^-Ty' ^-Tz^
alors, en effet, l'équation (4) pourra s'écrire
mvi^ mv\
lyp"'
c'est-à-dire, en désignant par Xo, Jq^ Zq les valeurs de ^5jj -2?, pour f = f^,
iifp' mp^
La vitesse i^ ne dépend donc que de x, j^, i?, et si la fonction <j> est continue, i^ reprendra exactement la même valeur ^'^J toutes les fois que cp(a:, jr^ z) passera par la valeur cp (xq, j o? ^0)5 c'est-à-dire toutes les fois que le mobile rencontrera la surface
y(x, X, «) = <p(^», Xo, «•) = const.
Les surfaces
y(ar, j, z) = const.
sont ce que Ton appelle des surfaces de niveau. Des équations (5) on déduit
' dx ' dy ' dz
Or -T^j -—•? ;p ^nt proportionnels aux cosinus des angles
uX uY ClZ
que la normale à la surface de niveau fait avec les axes coordonnés; X, f, Z sont proportionnels aux cosinus des angles que la force motrice fait avec les mêmes axes. Donc la force motrice est normale à la surface de niveau traversée par le. mobile.
Supposons maintenant le mobile assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface fixe; soient N l'action de la courbe ou de la surface; X, |u, v les angles que N fait avec les axes, les équations du mouvement seront
d^x m — r- = X -h N cosîi , dt^
d^Y m -r^ =Y-+-NcosiA, dt^ ^
d^z m -rr =^ Z -»- N cosv.
