TROISIEME PARTIE. CHÂPiTRE I. a'iQ

Si Ton multiplie ces équations respectivement par rte, dj^ dz^ et si on les ajoute on tombe sur la formule (2) de tout à Theure, car on a

cos> dx -h co%^ dj -1- cosv dz = o,

vu que le déplacement (rfx, dj"^ dz) est normal à la réaction N, dont la direction est donnée par les angles X, |u, V. En ejQfcc tuant alors les mêmes transformations que tout à riieure, on arrive au théorème suivant :

177. La demi' variation de la force vii^e pendant le temps T d'*un point qui nest pas libre est égale au travail des forces directement appliquées eff^ectué pendant le même temps.

Ce théorème n'est, du reste, qu'un corollaire du précédent si l'on observe que, dans le travail total de toutes les forces, le travail de la réaction doit disparaître, puisque cette réaction est normale au déplacement du mobile.

Remarque I. — Nous venons d'observer que, dans le théorème des forces vives, les actions des courbes et des surfaces fixes sur lesquelles doit se mouvoir le point m n'intervenaient pas 5 en d'autres termes, le travail effectué de ces actions est nul. Mais si le point m était assujetti à se mouvoir sur une surface mobile, le travail effectif de l'action de la surface ne serait plus négligeable^ parce que le déplacement réel [dx^ dy^ dz) ne s'effectuerait plus alors perpendiculairement à la normale de la surface variable.

Ainsi, par exemple : si Ton considère un point m en mouvement très-lent sur une sphère et si l'on fait mouvoir très-rapidement le centre de la sphère le long du rayon passant par le point m à l'époque Z, il est clair que le chemin réel décrit par le point m vers l'époque t sera sensiblement normal à la surface de la sphère mobile.

23o thaité de mécanique rationnelle.

Remarque IL — Lorsque la fonction (p passe par un maximum ou un minimum, la vitesse i^ passe aussi par un maximum ou un minimum; mais alors on a

dff = ou Xûte -h Ydjr -+- Zdz n= O,

équation qui exprime que le point tn a atteint une position d'équilibre. Ainsi quand le mobile passe par une des positions où il serait en repos s'il n'avait pas de vitesse acquise, la vitesse qu'il possède est un maximum ou un minimum.

Remarque IIL — Nous verrons, dans la suite, que le travail ILdx -+- ^ dj -f- TLdz est, dans la plupart des cas, une différentielle exacte. Cela lient à ce que les forces de la nature sont généralement des attractions émanant de centres fixes ou mobiles et fonctions des distances qui séparent les poinls attirants des points attirés. Ainsi /désignant la distance de deux points, leur action mutuelle développe, comme nous avons vu, un travail égal en valeur absolue à yîi/^y désignant l'action réciproque de ces points, si donc/* est une fonction de / le travail sera une différentielle exacte. Les travaux développés par tant de points que l'on voudra seront des différentielles exactes, le travail total effectué sera donc une différentielle exacte.