TROISIEME PARTIE. CHAPItRE II

II. — Mouvement rectiligne d'un point attiré par UN centre fixe proportionnellement a une fonction DE LA distance A CE CENTRE.

179. Problème I. — Tvoui^er le mouvement d^un point sollicité par un centre fixe, proportionnellement à sa distance au centre^ et animé d^ine vitesse initiale dirigée vers le centre.

Soit X la distance du point au centre d'action à l'époque 1 5 prenons la masse du point pour unité. Si la force est attractive, c'est-à-dire dirigée vers le centre d'action, la direction sera de sens contraire au sens dans lequel ou compte les espaces, elle pourra donc être représentée par — JiXf et l'équation du mouvemeilt sera

(i) = /.r ou --^^kx = o,

A: désignant une quantité positive. Si la force était répulsive, A: serait négatif. L'intégrale générale de Téquation (i) est

(i) x = As\nt^A-\-Bcost^A',

A et B désignant deux constantes réelles. Pour déterminer A et B, nous nous donnerons la vitesse initiale ^^ et la distance initiale Xq du mobile au centre.

L'équation (i) différentiée donne

(3) — =:v^X'(AcosfV^>t— BsinrV^);

en faisant f = o dans (2) et (3), on trouve

234 TRAITÉ DE MÉGANIQUE HATIONNELLE.

L^équatîon (2) peut alors s'écrire

x-=: — = sin/y^ -f- j:»cosf ^^.

Le mouvement, comme l'on voit, est périodique, et le mobile repasse aux mêmes points à des époques éloignées

l'une de l'autre de -= unités de temps^ la valeur maxima

dx de X s'obtient en posant — = o, et alors la vitesse est

nulle; or on a

— = p. ces t\Jk — x^ ^ sin t \fk\

on en déduit, pour — = o,

langrv/X=-^.

jTo yX

Si ^t, était nul on aurait

TT 27r

yjk s/k

Le mobile est animé, comme l'on voit, d'un mouvement oscillatoire, ce mouvement est à peu près celui que prend l'extrémité d'un ressort que Ton abandonne à luimême, après l'avoir comprimé. Si la force qui sollicite le point m était répulsive, c'est-à-dire si A^ était négatif, on aurait, en posant /t = — (p,

et, en désignant par c et c' deux constantes,