TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE II
et, par suite, pour ^ = o.
On en conclut
c et, par suite, en portant ces valeurs dans (4),
Pour î = 00 , a: est infini, le mobile s'éloigne donc indéfiniment avec le temps. Nous rencontrerons plus loin ce mouvement et nous pourrons en donner une représentation géométrique qui en fera bien saisir les particularités.
180. Problème II. — Tous les éléments (Vune droite fixe indéfinie attirent un point libre en raison inverse du carré de la distance / ce point part sans vitesse ini^ tiale^ déterminer son moui^ement.
Il est clair que le mouvement du point s'effectuera suivant une droite perpendiculaire à la droite fixe^ car la résultante de toutes les actions de la droite est évidemment normale à cette droite. Soit alors x la distance du mobile à la droite, à l'époque t\ soit ds un élément de la droite situé à la distance 5 du pied de la perpendiculaire abaissée du mobile sur la droite *, soit enfin fds l'action de l'élément ds de la droite sur l'unité de masse i l'unité de distance.
L*action de l'élément ds sur le mobile, dont nous prendrons la masse pour unité, est égale à fds divisé par le
carré de la distance du mobile à ds'^ par suite cette action peut être représentée par
fds
et la projection de cette action sur la droite x sera
fds X fx ds ___ ou
La résultante des actions de tous les éléments ds sera la somme de toutes les projections analogues dont nous venons de trouver l'expression, ou bien
OO
fxds
Cette force est attractive, l'équation du mouvement sera donc
* fxds
d}x Ç 'dF~^'^ j
Multiplions par dx les deux membres de cette équation, puis intégrons depuis t = o jusqu'à ^ = f . On aura,
en observant que— est nul pour / = o, ci en prenant
la valeur de x pour t=o égale à Xq-,
fds
on en déduit
- = a/[log(< + ^x' + *») — log(*4- VxJ + *') ]r'>
TROISIEME PÀKTIE. — GHAPITHE II. a37
ou enfin
(7) «"=4/iogy/5 = 4/iog5
dx
Si Ton remplace sf par — » on a
dt
fdt
\dxj 4/(log^o — logx) et, par suite,
le problème est ainsi ramené aux quadratures. Sî l'on fait X = o, on aura le temps T que met le mobile pour atteindre la droite attirante
dx
i\lf[\o^x^ — \o%x)
le temps demandé devant être positif, nous prenons le signe -h devant le radical (*).
(*) Nous ne donnons pas à x de valeurs négatives^ parce que le mobile arrive sur la droite attirante avec une vitesse infinie; la force qui le sollicite alors est infinie, et les lois de la Mécanique ne peuvent s'appliquer à des cas singuliers de ce genre qui ne se présentent évidemment pas dans la nature. Toutefois, si Ton tenait absolument à discuter les valeurs négatives de X, il semblerait naturel d'admettre, en vertu de la formule (7), que X dans la formule (8) doit être remplacé par sa valeur absolue; ainsi, pour les valeurs négatives de x, j'écrirais, au lieu de (8),
•^ a vy ( log x^ — log r ) Jo
dv
a V^/(loga;, — logr) Jo 2//[loga:, — log(— x)]
Cette formule montre que la plus grande valeur de — x est x^. Le mobile arrivé à l'abscisse — x^ aura une vitesse nulle; il se trouvera alors dans des circonstances analogues à celles où il se trouvait à l'origine du temps et son mouvement sera oscillatoire.
238 TRAITÉ DÇ MÉGANIQUE KÀTIONNELLE.
