TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. nZg
Si l'on intègre en ire les limites t = o et t = t, on a, en observant que 1^ = pour f = o,
Xlog- =2gt;
A* if
d'où l'on tire
et, par suite,
2gt
v=zk
ni
OU
^^^ di" H HT'
gk i ^ k
en intégrant depuis < = o, il vient
(2) x= — log-V^*+É^ */>
ce que l'on peut encore écrire
Si k est très-grand, on pourra écrire sans grande erreur OU bien, en développant le logarithme en série^ c'est-à-dire
24o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Les lermes qui ne sont pas écrits contiennent -r en facteur; par suite, si Ton fait A = oo , on trouve
et le mouvement est uniformément accéléré, ce que l'on pouvait prévoir; car alors la résistance est nulle, et le corps est mû par une force constante.
Il faut observer que x tiré de (2) ne change pas de valeur quand on change t en — t, ce qui indiquerait qu'à des intervalles de temps également éloignés de Torigine du mouvement, le mobile se trouve dans la même position, et^ dans ces circonstances, la vitesse a des valeurs égales et de signe contraire, comme le prouve la formule ( i ) . Mais les conclusions précédentes ne sont pas exactes, attendu que, pour les valeurs négatives de t, le mouvement s'exécutant dans un autre sens, la résistance alors ne
serait plus —^ mais H- -77; en sorte que les for-
mules (i) et (2) sont inexactes pour t<^o.
Le problème que nous allons résoudre tout à l'heure nous fera connaître le mouvement qui se produit lorsque la résistance agit dans le sens de la force g.
La formule (i) montre que t^ est moindre queÂr, Téqua-
lion différentielle du mouvement montre que — est po-
sitif : donc la vitesse croît; elle atteint donc son maximum pour z == 00 , et alors i^ = k et x = 00 .
183. Problème IL — Un point se meut dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse; il est sollicité par une force constante, et animé d^une vitesse initiale en sens inverse de la force qui le sollicite : déterminer son moui^ement.
