TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE II. *^z|l

En conservant les mêmes notations que dans le problème précédent, Téquation du mouvemeni deviendra

parce qu'alors la résistance agit dans le sens de la force. L'équation précédente peut s'écrire

ou bien

k du t> dt

d'où l'on lire, en intégrant depuis f = o et en désignant par i^Q la vitesse initiale^

(i) arctangy — arctang-j-=: — ^>

ou bien, en prenant les tangentes des deux membres,

<* r'A / (M'A gi

d'où Ton tire

gt gi gt

— k tan g -- v^ cos -; k sin ^

gt gt gt

A- -t- ('o tang ^ k cos -7- H- t^o sin ~

Si l'on observe que le numérateur de la dernière frac-

k^ tion est au facteur— près là dérivée du dénominateur, '

l'intégration effectuée à partir de £ = o donnera

= — loc k cos -r- -f- Po sm ^ I

Il semble, d'après cette dernière formule, que le mou* I. 16

f24'^ TRAITÉ DE MÉCANIQUE UATiONNELLE.

vemeiit soit périodique, et même qu'il présente des phases d'interruption; mais il faut observer que cette formule a été établie en donnant un signe déterminé à la vitesse; elle cessera donc d^avoir lieu quand ^ passera par zéro. Pour ^'=o, la formule (i) donne

/ = - arc tang j ;

h partir du moment où l'on a i' = o, l'on se trouve dansle cas du problème précédemment étudié, et le mouvement change de nature.

[..es e:(emples précédents montrent suffisamment comment on traiterait les questions de mouvement dans lesquelles il existe une résistance proportionnelle à une fonction quelconque de la vitesse et une force constante^ et comment le problème du mouvement, dans ce cas, se ramène aux quadratures.

Remarque. — En général les solutions singulières des équations différentielles de la Mécanique doivent être rejetées, parce que, ne contenant pas le nombre voulu de constantes arbitraires, elles ne permettent pas ordinai» rement de satisfaire aux conditions initiales. Toutefois, il y a des cas où une solution singulière pourrait satisfaire à la question, comme on va le voir.

184. Problème III. — Trouver le mous^enient sollicité par une force proportionnelle à la racine carrée de la vitesse, et agissant dans la même direction que cette vitesse.

Soient a: l'espace parcouru par le mobile depuis le moment initial et i^ la vitesse, le mouvement est rectiligne et a évidemment pour équation

d^ X dv j—