TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II

t désignant le temps et k une constante positive ou négative, on tire delà

- = A'diy

01 \/p ou bien, en intégrant,

a désignant une constante. On peut écrire cette équation ainsi

(2) pzzr— = (>Ç^-f-a)S

d'où l'on tire

(3) a:=.^{^t^aY-hb,

b désignant une nouvelle constante. L'équation (i) est satisfaite , en prenant v= o ou a: = const. Cette solution est singulière , car elle ne rentre pas dans le type (3). Cette solution correspond au cas où le mobile partirait sans vitesse initiale; il est clair qu'alors, la force motrice étant nulle, le point devra rester en repos. Si l'on détermine des constantes a et & de manière à satisfaire aux conditions ^^ = pour i = o, x = o pour ^ = o, on déduit de ( 2 ) et (3)

0=:-^ -\- b ou bz=zo\

mais (3) donne alors

x = iÂ-»f3;

et. la solution singulière convient seule à la question dans le cas particulier que nous venons d'examiner. On conçoit en effet qu'il doive exister une discontinuité

244 TRAITÉ DE MÉCAlHIQUE RATIONNELLE.

dans le cas où (^ = o, car si le mobile a une trèâ*petite vitesse, cette vitesse va être augmentée par Taction de la force, si cette force agit dans le sens de la vitesse, et l'espace va croître indéfiniment avec le temps; si, au contraire, la vitesse est rigoureusement nulle, la force le sera aussi, et le point m restera en repos.

Reprenons la formule (2). Si aelk sont de signes contraires, Vf deviendra nul pour £ = — y La force qui sol-

licite le point sera nulle en même temps, et le mouvement cessera. La formule (3) ne rend pas compte de cette circonstance, et le passage de la solution particulière à la solution singulière est un fait très-remarquable.