I. — Forces centrales. — Principe des aires

185. Lorsqu'un point matériel est soumis à Taciion d'une force qui passe par un point fixe, on peut toujours trouver trois intégrales du mouvement 5 en effet, reprenons les équations du Chapitre P*^ {voir n° 172) :

^ ^ dt^ ' dt^ ' dt^ '

dans lesquelles m désigne la masse du point matériel eu mouvement 5 x^j^z^ les coordonnées rectangulaires prises par rapport à trois axes fixes-, X, Y, Z, les projections delà force motrice sur les axes; £, le temps. Supposons que Ton prenne pour origine le point par lequel passe constamment la force. Multiplions la troisième équation par j^, la seconde par z, et retranchons, nous aurons

mais si la force (X, Y, Z) passe par l'origine, on a

X y s ^ on a donc

Zj — Y3=:0,

246 TRAITÉ DE MÉGÂ.1VIQUE RATIONNELLE.

ce que l'on aurait pu remarquer immédiatement en observant que Zjr — Y z est le moment de la force (X, Y, Z) par rapport à l'axe des x [n^ 61) ; l'équation (2) devient alors

dt^^ dr '

et Ton aurait deux équations analogues. On en tire, par l'intégration,

a désignant une constante. Or le premier membre de cette dernière équation n'est autre chose que le double de la vitesse aréolaire (p. 11) de la projection du point mobile sur le plan des j"^.

En effet, posons

j = rsinÔ, z = rcosô,

il vient

dy dr dB

-]r = -r sm H- rcosô -7-?

dt dt dt

dz dr , dQ

-p = -r- cosô — rsiTïB -^t dt dt dt

dz dy dB

dt "^ dt dt

et r' — est bien la quantité dont nous avons parlé. On

peut alors écrire l'équation (3) ainsi :

— r^dB = adt.

Si l'on intègre et si Ton désigne par i l'aire décrite par le rayon vecteur projeté sur le plan des yz depuis l'époque foî on a

'kz=za{t-—to).

Donc :