TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE III

186. Théorème. — Lorsqii une force est constamment dirigée vers un centre Jixe, la projection du rayon vecteur de son point d"" application sur un plan fixe décrit des aires proportionnelles aux temps employés à les parcourir.

Ce théorème porte le nom de principe des aires. Il fournit toujours, comme l'on voit (lorsqu'il y a lieu de l'appliquer), trois intégrales premières du problème dont on s'occupe, caries équations

dz dy

-i:y n^ = 2rt,

dx dz ,

dt dt

dy dx

di dt -^

où a, è, c désignent des constantes, sont des intégrales du problème. Si l'on multiplie la première de ces formules par X, la seconde parj^, la troisième par z^ on a

o^=- ax -\- hy '\- czy

ce qui prouve que la trajectoire est plane. On pourra alors prendre le plan de la trajectoire pour plan des xy^ et le problème ne contiendra plus en réalité que deux inconnues, x et y. On aura quatre intégrales à trouver, deux intégrales premières et deux intégrales secondes. Le principe des aires fournit une première intégrale 5 si le principe des forces vives peut s'appliquer, on en aura immédiatement une nouvelle. Toutefois il n'est pas nécessaire d'avoir recours à ces principes, c'est-à-dire de passer par les intégrales qu'ils fournissent, comme on peut s'en assurer par l'exemple qui suit.