TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III

si dans (2) et (3 ) on fait / = o, on a

Xf, = a -h a\ « = y /' (/? — a' ) ,

Ces équations déterminent «, è, a', b' en fonction dexo» j^^ li, Vf. Pour obtenir la trajectoire, il faut éliminer / entre les équations (2). En résolvant ces équations par rapport à e'*^ et e""*V*, on a

ab' — ba'

et, en faisant le produit de ces équations,

{^b'x — a' y) [ay — bx) = (ab' — ba')\

Cette équation représentera toujours une conique. Lorsque A' sera positif, û, i, a', ft' seront réels, et la trajectoire sera une hyperbole; lorsque k sera négatif, a^ &, a\ i' seront imaginaires, et la conique sera une ellipse. Pour nous en assurer, il suffit de changer k en — k : les intégrales (2) peuvent alors se mettre sous la forme

X =za sinr y/X- + a' cosf v/X- , y.=: bsint^' -^ b' cost \Jk ,

a, a', i, b' désignant de nouvelles constantes réelles que l'on déterminerait comme tout à Theure. Si Ton calcule

siu t sjk et cost^k^ et si Ton fait usage de la formule

(sinr\/Â)'-h {cost)/AY= i,

on trouve alors pour équation de la trajectoire

( b'.v — ayy + (ay — bx^ :={ab' -- ba'Y^

ce qui est bien Téquation d'une ellipse dont le centre est a Torigine.

En faisant usage du théorème des aires et du théorème

25o TRAITÉ DE MÉCÀNIQtJfi RATIONNELLE.

des forces vives, on obtient aussi la solution de la question, quoique moins simplement.