II. — Etude du mouvement des planètes
187. Le lecteur sait que les astres peuvent se diviser en quatre classes : i^ les étoiles ou astres fixes dont les distances mutuelles ne semblent pas varier sensiblement pendant une période de temps considérable : parmi ces astres on doit ranger le Soleil; i^ les pianotes ou astres errants dont les distances mutuelles varient sensiblement dans l'espace d'une année et qui décrivent des orbites fermées autour du Soleil (ou autour d'autres étoiles); 3° les satellites des planètes qui ne s'écartent que peu d'une même planète en décrivant des orbites fermées autour de cette planète : la Lune est le satellite de la Terre ; 4° les comètes qui apparaissent brusquement dans le ciel pour ne plus revenir qu'à des intervalles de temps très-considérables, souvent même infinis.
Kepler, après dix-sept années d'observations laborieuses, est parvenu à formuler les lois suivantes, auxquelles son nom est resté attaché :
I** Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers ;
2*^ Les rayons vecteurs qui joignent le centre du Soleil au centre d'une planète décrivent des aires qui varient proportionnellement au temps;
3*^ Les carrés des temps des révolutions de deux planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes des ellipses décrites par ces planètes.
Les comètes sont soumises aux lois de Kepler; elles se distinguent des planètes par la nature de leur orbite, qui est très-allongée et quelquefois même parabolique ou hyperbolique.
TROISIEME PÂETIE. CHAPITRE lit. 25 1
Les satellites des planètes se comportent vis-à-vis des planètes comme celles-ci vis-à-vis du Soleil.
Bien que les lois de Kepler ne soient qu'approchées, et que l'on y regarde les astres comme de simples points matériels, en négligeant leurs dimensions vis-à-vis de leurs dislances mutuelles, nous allons essayer de soumettre ces lois à l'analyse, afin d'en déduire l'expression des forces qui sollicitent les planètes.
Prenons pour axes de coordonnées deux droites rectangulaires passant par le Soleil et tracées dans le plan de l'orbite d'une planète; soient m la masse de cette planète, x^y ses coordonnées rectangulaires, r, B ses coordonnées polaires, X, Y les composantes de la force qui la solli- 'cite, force évidemment située dans le plan de Torbite ;
nous aurons
Si Ton suppose l'axe des x dirigé suivant le grand axe de l'orbite,
sera l'équation de la section conique décrite par la planète. Dans cette formule, p désigne le paramètre, e l'excentricité de l'orbite.
Soit c le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps, on aura, en vertu de la seconde loi de Kepler,
(3) r^dQ = cdt,
r^dd désignant le double de l'aire décrite dans le temps dt et c une quantité constante. Ceci posé, multiplions les
équations (i) respectivement par y et par x, et retranchons; nous aurons
OU bien
Observons alors que
(4) j:=:rcos0, j = rsin0;
nous aurons
xdy — ydx z=. r^dO,
et la formule (A) se réduira à
'"âI'"I>=*^--^'^'
c'est-à-dire, en vertu de (3),
o =:xY — jX,
ou bien
Les composantes X, Y étant proportionnelles aux coordonnées x,jr^ on en conclut que la force qui sollicite la planète passe par Torigine, c'est-à-dire émane du Soleil; en désignant alors par (f cette force, on pourra poser
X = <j> cos , Y = y sio ô ,
9 étant regardé comme positif dans le cas où la force est répulsive, et comme négatif dans le cas où la force est
