TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE III

foyer est à l'origine. Posons

y sjbc" -f- k^ = e.

En supposant, pour fixer les idées, e <^ i, ce qui suppose que la trajectoire soit elliptique, il viendra

I + ^cos(ô — &))

Cherchons, maintenant, l'expression de r et de 6 en fonction de t,

A cet effet, éliminons dd entre (i) et (3) 5 de (1) on tire

cdt d9= — ,

et, en portant cette valeur dans (3),

c» fdrY ik

r^ \dt] r

On en déduit

dj\ __

lh c

OU bien^ en admettant que r croît avec ^, (8) ^,= ^^^

On pourrait intégrer cette équation directement par les procédés ordinaires du calcul intégral, mais il est plus simple d'introduire, dans la question, une variable auxi-

2t62 TRAITÉ DB MÉGAIVIQUE RÀTIOIÏNELLE.

liaire que nous allons déterminer par les considérations suivantes : à la place de c et de 6, introduisons les constantes a Gle^k cet effet résolvons les équations (7), nous aurons

L'équation (8) deviendra alors

rdr

dt^

4 / -r^^ikr^ ak[\ — é^)

ou bien encore

rdr

\j 'k J^aHx —

^ — fl'(i — e^) -+- lar — r^

posons alors

a — r^=. aecosu,

ou bien

(10) r=za[i — «cosi^), nous aurons

dt= -h \/ T (^ — ^<^osu)duy ou bien, en désignant par t une constante,

(11) t — T=i/—-{u — esinu).

Cette formule renferme la troisième loi de Kepler, car après une révolution u a varié de 2Tr, et le temps d'une

révolution sera 21: l/y

Lorsque l'on aura résolu Téquation (ri) par rapport à II, r^quation (10) fera connaître r. Il reste maintenant