NN

dt 9

la limite de Nv est donc la vitesse du mouvement projeté. Mais la limite de Mfx est en grandeur et en direction la vitesse du mouvement lui-même; or, par hypothèse, Nv est la projection de Mfx. Le théorème est donc démontré.

9. Théorème II. — La projection de la vitesse d'hall point sur un plan est égale à la vitesse de la projection de ce point sur le plan.

La démonstration de ce théorème se fait exactement comme celle du précédent.

Corollaire 1. — Si l'on considère les équations du mouvement d'un point en coordonnées recti lignes, x^jr^ z désignant les coordonnées du mobile à Tépoque t^

dx dy dz dt^ e// ■ di

seront les vitesses des mouvements projetés sur ox^ oy^ oz respectivement, les projections étant effectuées «parallèlement à zoy^ zox^ ^oy* Ces quantités représenteront donc aussi, en vertu du théorème I, les projections de la vitesse propre v du mobile sur les axes, et la vitesse v

1/1 1 . dx dy dz

sera par suite la résultante des vitesses -:-> -t-î -r* ^ dt dt dt

Si les coordonnées sont rectangulaires, et si a, |3, y désignent les angles que la tangente à la trajectoire dirigée dans le sens du mouvement fait avec les angles, on

aura

dx ^iy ^ ^^

---=:(^COSa, -7-=PC0Sp, -— z=:PC0S7, dt ^ dt ^' dt '

lO TRAITÉ DE MÉCANIQUE ILlTIONNELLE.

et par suite, eti ajoutant ces équations élevées au carré,

'dÔ

10. Corollaire II. — Supposons que le mouvement d'un point s^effectue dans un plan, prenons des coordonnées polaires*, soient OX ^fig* 2) Taxe polaire, O le pôle, MM' Tare décrit par le mobile dans le temps dt.

Fig. 2.

Soient OM = /•, XOM = les coordonnées du mobile à Tépoque f , on aura

r -r- est la dérivée de rô prise en regardant r comme con-

stant^ c'est donc la vitesse d'un point qui décrirait Tare MN ayant son centre en O et son extrémité N sur

dr le rayon vecteur du point M^ De même -7- est la vitesse

d'un point décrivant la droite MP ayant son extrémité sur l'arc M'P de cercle décrit de O comme centre

avec OM' pour rayon 5 ''7-? ^7- sont les vitesses des projections du mobile sur la tangente à MN et sur MP \ ce sont donc aussi les composantes delà vitesse suivant la tangente MN et suivant MP : on peut dire aussi que ce