CHAPITRE IV
EXEMPLES DE MOUVEMENTS DE POINTS ASSUJETTIS A DE MEURER SUR DES COURBES OU DES SURFACES FIXES.
L — Généralités.
193. Nous avons vu au Chapitre P'^ (3^ Partie) comment on met en équation le mouvement d'un point assujetti à demeurer sur une courbe ou sur une surface fixe. S'il s'agit d'une courbe, les équations de la trajectoire sont données; pour résoudre le problème, il n'y a qu'une relation à trouver entre le temps et les coordonnées : le théorème des forces vives fournit cette équation lorsque le travail est une différentielle exacte. Nous allons examiner un cas qui se présente souvent dans les applications, celui où le point mobile n'est soumis qu'à l'action d'une seule force : son poids, dans ce cas, en prenant l'axe des z vertical et dirigé de bas en haut, et en appelant m la masse, X, j^ z les coordonnées du mobile, v la vitesse, le théorème des forces vives donne
dm -
- mgdzy
ou bien
- gdz.
En intégr
ant on
or
a86 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATiOlîKELLE.
z^ et (^Q désignant la hauteur et la vitesse initiale du mobile. On en déduit
lorsque 1^0= o» on a seulement
OU bien
(2) u=^2gh,
h désignant la quantité z^^ — z dont le corps est descendu. Cette formule est d'un fréquent usage 5 h est ce que Ton appelle la hauteur due à la vitesse (^.
Les équations (i) et (2) ont encore lieu dans le cas où le mobile se meut sur une surface donnée ; elles constituent une intégrale première du mouvement.
IL — Mouvement du pendule.
194. Problème L — Un point matériel attaché à un fil inextensible et sans pesanteur est abandonné à luimême sans vitesse initiale. On donne l'angle d* écart, c^est^à'dire V angle Oq que fait le fil dans sa position initiale av^ec la verticale, et Von demande de dé ter miner le temps que mettra le mobile pour descendre au point le plus bas de sa trajectoire.
L'appareil idéal dont on propose de déterminer le mouvement est ce que Ton appelle un pendule simple.
Soient Tangle que fait le fil avec la verticale au bout du temps t, et r la longueur du fil. La vitesse du mobile
au bout du temps t sera — '^ 77" * {^n met le signe — devant cette expression, parce que 9 décroit quand t croît :
