in — i

Or b n'est autre chose que i — cos0q ou 2sin'-0oî on a donc

Lorsque do ^st très-petit, on a sensiblement

''Sfï

Quand le mobile est arrivé au point le plus bas de sa trajectoire, il a acquis une viiesse en vertu de laquelle il remonte à une hauteur égale à celle dont il est tombé, paice que la vitesse redevient nulle quand le mobile repasse par

thoisième partie. — chapitre iv. 289

la surface de niveau dont il est parti; or, dans le cas actuel, les surfaces de niveau sont des plans horizontaux; à cause de la symétrie, le pendule effectuera alors une seconde oscillation identique à la première, mais en sens inverse, et ainsi de suite. Le temps T que Ton vient de trouver est celui d'une oscillation complète. La formule (3) peut servir au calcul de g lorsque l'on connaît T et r; nous reviendrons sur cette question dans un autre Chapitre. Nous allons maintenant étudier avec plus de soin le mouvement d'un point sur un cercle fixe.

195. Problème II. — Étudier le moui^ement d'un point pesant assujetti à demeurer sur un cercle vertical fixe.

Prenons pour axe des y le diamètre vertical du cercle et pour axe des x la tangente au point le plus bas ; soit r le rayon du cercle.

L'équation du cercle sera

(1) x'-hj' — 2rj=:o.

La seule force qui sollicite le point matériel est son poids mg^ m désignant la masse de ce point; la projection de la force nig sur l'axe est — mg^ sa projection sur l'axe des X est o, en sorte que si l'on désigne par N la réaction normale de la trajectoire et par X l'angle qu'elle fait avec l'axe des x^ on aura

(2) /w— r— = NcosX, ^ ^ df

dW

(3) m-r^= — /wfi'+NsmX.

V / dt* °

Si l'on multiplie la première équation par dx^ la seconde par dy^ et si l'on observe que

(4) dx cosl -h djr sm\ = o ^

il vient, en ajoutant et en supprimant le facteur m,

d^x dx -\- d^Y dy

(4 bis) ^r-^^- = - g'^r.

ou bien, en intégrant,

I dx^ -h dj^

2 dt

— Sy "^ const.

Pour déterminer la constante, on donnera la vitesse 1^^ correspondante à l'époque t = o, et la hauteur j^o correspondante à la même époque. On aura ainsi, pour i = o,

En retranchant cette équation de la précédente, il viendra

Cette équation est la traduction analytique du théorème des forces vives; on aurait pu l'écrire immédiatement. De l'équation (i) on tire

d'où

dx = — dy ;

V2rj-- j»

par suite,

(6) dx^ -\- dy* z=z dy*

2ry — r*'^

en substituant cette valeur de dx^ -h dy* dans Téquation (5), nous aurons

2(2r;^ — y"^) dt* 2