TROISIÈME PAKTIE. CHAPITRE IV
dette équation fera connaître j^ en fonction de t. On en
tire
zfc rdY
dt— — -^
v^[^î -H ^ê'iro — rjj (2 r/ — jr»)
et t s'exprimera en fonction dej^ au moyen des transcendantes elliptiques. Toutefois, lorsque Ton se propose seulement de trouver le temps d'une oscillation, on peut supposer que i^^ = o, et l'équation précédente prend la forme
En remplaçant alors^ par rz et^o P^r ''^j ^^ a
dz
dt
en intégrant alors depuis r= o jusqu'à i = - et depuis
z = o jusqu'à z = by on retrouvera la formule (a) du problème précédent.
Lorsque Ton aura calculé y en fonction de t, ce qui se fera, comme nous l'avons dit, au moyen des fonctions elliptiques, on obtiendra facilement x en fonction de t au moyen de l'équation (i). Pour calculer la réaction N, on fera usage de la relation (a) : à cet effet, on calculera d'abord cosX. On a
cosX = — 1
sldx^'hdy''
c'est-à-dire, en vertu de (6),
cos^ = — \iry — y'»
L'équation (ji) donnera alors
I „ d^x I r d^ûT
Stpa TRAITÉ DE MÉGANIQUE RATIONNELLE.
et l'on choisira le signe du radical de telle sorte que N soit positif.
On met souvent l'équation du mouvement du pendule sous une forme simple, qu'il est bon de connaître : on prend pour variable l'angle 9 que fait le rayon aboutissant au mobile avec la verticale; alors on a
y=.r — rcosO, j:i=:rsin0, dy = rsinô^d, dx •=z rcosQdO.
L'équation (!{ bis) peut s'écrire
da^ -f- djr
= — gàyy
ou bien, en remplaçant dx et dj par les valeurs précédentes,
d^d^^ (5) r^ —rr- = — ^rsmÔf/9,
di^
c'est-à-dire
(6) +§;sine=o. •
^ ' dt^ r
En intégrant l'équation (5), on a
6o désignant la valeur initiale de 6. L'équation (5) est précisément celle qu'aurait fournie l'application directe du théorème des forces vives; en effet, la vitesse du mobile
dQ ^ . « f^^V 1 -1 j 1
est r — > sa lorce vive est mn l ^r 1 » ^c travail de la pesanteur — mgdy est égal à — mgrûnQdBi on a donc
mr
- £/ 1 -- j = — mgr sm rfô,
équation identique à (5).
