TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 2gi

L'équation (6) ne peut pas, en général, s'intégrer exactement, la formule [y) en est une intégrale première, mais l'emploi des fonctions elliptiques est indispensable lorsque l'on veut continuer l'intégration. Toutefois, on lire de (7)

(8) dt = '''^

v/p J H- 2 gT cos ô — 2 gr ces ©0 et si, entre les données initiales, on avait la ];elation

pj — 2g'rcos0o=2^r,

ou bien

on en conclurait

/igrcos'-^Q,:=ul,

rdB dt= 5

sj'2.gr[i -+- cosô) ou bien

^\ g cos|0 c est-à-dire, en intégrant depuis ^ = o et depuis = 0o>

La formule (8) rend assez bien compte des diverses circonstances du mouvement. Ainsi l'on voit que, au signe

près, la vitesse angulaire — reprend les mêmes valeurs

lorsque 9 prend des valeurs égales, ou même des valeurs égales et de signe contraire. Cela résulte des propriétés connues des surfaces de niveau (176), qui, dans le cas actuel, sont des plans horizontaux. En intégrant la for-

294 TRAITÉ DE MÉGAlîIQUE RATIONNELLE.

mule (8), on a

^ rrfO

^0 slK-^ '^S^ ces Ô — igr ces 00

Nous avons déjà fait observer que, sî le mobile descend, on doit prendre le radical avec le signe — , parce que dB décroît quand t croît 5 quand le mobile monte, on doit prendre le signe +.

Partons avec le signe — et faisons 6 = 0^, le mobile va descendre, et, 6 décroissant, t va croître jusqu'à ce que Ton ait0 = o. Si l'on donne alors à Q des valeurs négatives, le temps continuera à croître^ et, comme l'intégrale prend des valeurs égales quand on intègre de o à 6 ou de o à — ^ au signe près, il en résulte qu'à des intervalles de temps également éloignés du moment où le mobile a atteint le point le plus bas de sa trajectoire, il se trouve à des hauteurs égales au-dessus de l'horizon. Si alors on a

le radical deviendra iraginaire dès que

v\ 4- ag'rcosÔ — 2gTcos0o> o;

mais avant d'atteindre la valeur de capable de satisfaire

à cette inégalité, le radical s'annulera, et l'on aura — =0.

La vitesse s'annulera, le mobile tendra à descendre en vertu de son poids, et il descendra effectivement en sui-vant les mêmes lois que dans le mouvement qui avait lieu tout à l'heure en sens inverse. Si au contraire

le radical ne devenant pas imaginaire, le mobile continuera son chemin toujours dans le même sens sans jamais s'arrêter, le mouvement sera périodique et symétrique par rapport au diamètre vertical de la trajectoire.