III. — Pendule cycloïdal

196. Problème. — Détenniner le mouv^ement cVun point assujetti à demeurer sur une cycloïde située dans un plan vertical : on suppose la ligne des points de rebroussements horizontale et la courbe siiuée au-dessous de cette ligne.

Si l'on prend alors pour axe des x la tangente au point le plus bas de la cycloïde, et pour axe des j la verticale ascendante •, si Ton désigne, en outre, par r le rayon du cercle générateur, les équations de la cycloïde pourront

2g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONHELLE.

se mettre sous la forme

(i) X z= r(n -^ u — sin^),

(2) 7 =r(i H- cosa).

Si Ton désigne par x^, y^ les coordonnées initiales du mobile, par v^^ sa vitesse initiale et par t le temps, le théorème des forces vives donnera immédiatement une des intégrales du mouvement :

(3) ^ = v'f.;-+-2^(jo— j'-),

ds désignant Télément d'arc parcouru dans le temps dt \\\^ 192). Nous tirons ensuite des formules (i) et (a)

dx = r{du — costt du)^ dy 1=1 — rûwudu.

On en déduit

dx^'\- dy^z=z ir^du^{i — cose^),

ou bien

ds^z=z dr^ — ?

ou bien enfin

Si l'on remplace ds par cette valeur dans (3), on a

d'où Ton déduit

dt = ±\ /' ^ ; dy.

On peut supposer le mouvement descendant : alors jr décroît quand t croît; il faut donc prendre le radical avec