IV. — Tautochrone et brachystochrone

197. Nous venons de voir que le temps d'une oscillation d'un pendule cycloïdal était indépendant de l'amplitude de cette oscillation*, en d'autres termes, le temps employé par un mobile pesant pour parvenir d'un point de la cycloïde au point le plus bas est indépendant de la hauteur dont on fait tomber le point 5 cette propriété du mouvement peut servir à définir la cycloïde, c'est ce qui va résulter de l'analyse suivante :

Problème I. — Quelle est la courbe veHicale que doit décrire un mobile y pour qu'il mette toujours le même temps pour parvenir en un point O de cette courbe^ quel que soit son point de départ sur cette courbe.

Pour résoubre le problème, prenons deux axes, l'un horizontal, l'autre vertical, dans le plan delà courbe; soient a:, j^ les coordonnées du point à l'époque t^ s l'arc de courbe compté à partir du point O jusqu'à la position occupée par le mobile à l'époque t'y soient oTq, y^^ s^ les valeurs initiales de x, ^, s, on aura, par le théorème des forces vives (172),

els j — ; , — ds

ir = — s/'^g{jro—X) ou dt =

ou bien, en désignant par T le temps employé par le mo-