TROISIEME PARTIE. CHAPITRE IV. .3oi

OU enfin

= — ^k'^y — 7* H arcsin \y ) : h const.

Sî l'on remplace y P^r j^, on a

xz=z — i/-7- — T*H arc sin — h const. ;

c'est Téquation d'une cycloïde ayant pour rayon — •

498. Problème II. — Étant donnés deux points A et B ^â(/i5 un plan vertical^ déterminer une courbe située dans ce plan et telle, que le temps employé par un mobile pesant pour parcourir Varc AB soit un minimum.

Si l'on fait passer deux axes par le point le plus bas B, l'un vertical B^, l'autre horizontal Bx, et situé dans le plan de la courbe, le temps employé pour parcourir l'arc AB sera donné, comme dans la question précédente, par la formule

x^jy 5, Xq, j^o, 5^ ayant la même signification que tout à l'heure. Si Ton fait varier la formule précédente, on en tire

ou bien

■^» x'§.x'dy

En intégrant alors par parties, on a

a! dy

ST

s/2g{j'hx''){f,-^y)

3oa TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATÏONNELLE.

En égalant à zéro le coefûcîent de dx, on a

k désignant une constante. On en conclut

ou

cix = ±dy^ / ^^^Mro-r)

Sî l'on transforme les coordonnées en posant

on a

ou

dx=±Jy,i / ^' , V 2r — j,

En intégrant, on trouve

x:=i'àz\]iryx — jr\ -{- r arc sin — h coDst*

Cette équation est encore celle d'une cycloïde. Les propriétés dynamiques que nous venons de trouver ont fait donner à la cycloïde les noms de courbe tautochrone et brachystochrone,