DANS UN MILIEU RÉSISTANT
195. On n'est pas encore parvenu à intégrer le mouvement d'un pendule dans un milieu résistant; mais on
TEOISIÈME PARTIE. CHAPITRE IV. 3o3
peut exécuter cette înlégration dans le cas où Ton suppose T amplitude des oscillations très-petites.
Soient 6^^ l'angle d'écart, 9 l'angle que fait, à un moment quelconque, le fil avec la verticale^ r la longueur du pendule, m la masse du point matériel pesant : le travail de la pesanteur est — mgrs\u0d9'^ la résistance du milieu, pour de peti ts angles d'écart, et par suite pour de faibles vitesses, peut être considérée comme proportionnelle à la vi-
lesse r-y] en sorte que son travail pourra être représente
par — kr-j- ' r J9, ou par — Ar* ( -j- j dt. Le théorème des forces vives nous donnera alors
ou, ce qui revient au même,
dt dt^ ^ dt m \dt ]
c'est-à-dire
rf»e , ^ k dB
dt^ ^ m dt
Si l'on remplace sin0 par 9, ce qui est permis, si 6 reste très-petit, nous aurons
d-'B k dQ ^ ^ dt^ m dt ^
Pour intégrer cette équation, on commencera par résoudre Téquation caractéristique
rcc H a -h fl' =: o;
3o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE KATIOW WELLE.
d'où Ton tire *
Les valeurs de a seront généralement imaginaires^ toutefois si m est faible, et si A, la résistance correspondante à la vitesse de i mètre par seconde, est considérable, les valeurs de a pourront être réelles; nous distinguerons donc trois cas :
i^ Les racines de l'équation caractéristique sont imaginaires. Les solutions de l'équation (i) sont de la forme
(3) ^ = e ^^^ (Acospr-4-BsinpO, \k désignant, pour abréger, la quantité
On déterminera les constantes A et B^ en exprimant que^ pour ï = o, on a = 00 et -— = o, on a ainsi
0= A -t-Ba;
2/wr ^
d'où l'on tire
2fx//ir
L'équation (3) montre que le mouvement est oscillatoire, mais que l'amplitude des oscillations tend vers zéro quand t croît indéfiniment. Du reste, l'amplitude des oscillations est facile à calculer. Si, en effet, dans (3 ) on remplace A et B par leurs valeurs, on a
(4) Bz=e''^^[BoCOSu.t'\ ^sinafU
\ * 2.\t.mr ^ J
(5 3-=— eo r , . ^ «'"^SÎDtA/.
