TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE IT. 3o

Si, dans la dernière formule, on fait t = o. -•> — > — )•••» on trouve -— = o. Ces quantités représentent les durées

Cww

successives de la première, des deux premières, des trois premières... oscillations : les oscillations sont donc isochrones, comme dans le vide ; leur durée est

TT

- ou TT : \ / ~ -; : ou TT I / - J

si k est très-petit. Si, dans la formule (4)) on fait

TT 27r 9 > • • • 1

on aura

Ô~— So

it«

aAïc

3Aic

Ces diverses valeurs de 9 représentent les amplitudes successives des oscillations; elles varient, comme l'on voit, en progression géométrique.

2° Les racines de Téquaiion caractéristique sont réelles; dans ce cas, est de la forme

et l'on a

A4-Bi=:G„ Aa-+-Bp=:o;

on eu déduit

ou

p — a 7 dt a — p ^ ^

3o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

On voît donc que -7- ne change jamais de signe*, par suite

6 décroît toujours, et pour i = oo,ona0 = o: dans le cas actuel, le mouvement n'est donc plus oscillatoire.

3" Si les racines de l'équation caractéristique sont égales, on a

= 6 *'«'• (A-hB/),

et Ton déterminera les constantes A et B au moyen des formules

o=— A hB.

2mr

On en conclura

\ 2/Wi

2/wr

é/e hU —i

— ù p. intr .

■—- ne change jamais de signe, et = o pour ^ = 00 : le

mouvement est donc toujours de même sens et finit par s'éteindre pour f = 00 .

Prenons maintenant un mobile en mouvement sur une courbequelconque. Soien 1 5 l'arc de courbe compté à partir du point le plus bas-, x^y les coordonnées du mobile à l'éqoque t : nous aurons, en vertu du théorème des forces vives, en observant que le travail de la pesanteur est — S ^y ^^ V^^ celui de la résistance du milieu est

dt '

a - w I — - I •=1'— sdy — k -' ds.

2 \(itj ^ -^ dt '

ou

ds d^s m — dt

d^s dy ds fds\*

dF'^'^^d^di" \dt)