TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE IV

dans la recherche des normales et des rayons de courbure des courbes. Nous prendrons un exemple.

208. On appelle épicycloïde la courbe engendrée par un point M d'une circonférence L' assujettie à rouler sans glisser sur une circonférence fixe L. Si les circonférences L et U ont leurs centres d'un même côté du point de contact, l'épicycloïde est intérieure; dans le cas contraire, on dit qu'elle est extérieure.

Si la circonférence fixe L se réduit à une droite, l'épicycloïde devient ce que l'on appelle une cycloïde; si la circonférence mobile se réduit à une droite, l'épicycloïde devient une développante de cercle.

209. i^ Ceci posé^ les théorèmes II et \1 montrent que la normale, en un point M de l'épicycloïde, est la droite qui joint ce point M au point de contact O des deux cercles.

2° La tangente au point M est la droite qui joint le point M au point diamétralement opposé au point de contact O dans le cercle L'.

3** Le rayon de courbure de l'épicycloïde est donné par l'une des formules (5), (6), (7) du n*^ 207 (Théorème VI), dans lesquelles r et r' seront les rayons des cercles L et L'. Dans le cas actuel, les formules en question se simplifient, car n = 2r'cos(p, et alors

nr n

ir'

en convenant de donner des signes aux quantités p, r et r'. Ceci posé^ on propose : i^ de donner une construction géométrique du rayon de courbure, 2° de démontrer que la développée d'une épicycloïde est une épicycloïde semblable à la première.

4^ L'épicycloïde est une courbe algébrique toutes les

fois que le rapport -j est commensurable. Si l'on prend

pour axe des x la droite qui joint le centre des circonférences L et \J au moment ou le point O, décrivant l'épicycloïde, est sur la ligne des centres, la courbe pourra être représentée par les équations

' X •=: (r -^ r^ ) cosu — r'cos ; — «,

y •=z (r-hr') sinw — r'sin ^ — u.

Dans ces formules, r' aura le signe 4- si les circonférences r et r' sont extérieures, le signe — dans le cas contraire*, u désigne Tangle que fait la ligne des centres avec l'axe des x.

Examiner les cas particuliers de r = c» , r' = it; oo ; en déduire les propriétés de la cycloïde et de la développante du cercle ; examiner le cas de /*' = > r' = — -j :

dans le premier cas on a une droite, dans le second une ellipse (*).

210. Méthode de Roberval. — Dans le Recueil de divers ouvrages de Mathématiques et de Physique des Membres de Vuécadémie des Sciences publié piar Gallois, 1690, se trouve Texposé d'une méthode pour le tracé des tangentes aux courbes; cette méthode, due à Roberval, a précédé la découverte du calcul infinité-

(*) On trouvera des détails sur ces sujets : lO dans la Cinématique d« Bour; 2^ dans le commencement du Calcul infinitésimal de M. Duhamel; 3^ dans le 25^ cahier du Journal de l'École Polytechnique^ Mémoire de M. de la Gournerie; 4^ àtins le troisième volume des Œuvres de Pascal, annotées par M. Drion (Librairie Hachette).