PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II

19. Nous conviendrons de représenter le mouvement de translation d^un corps par une droite égale parallèle et du même sens que les cordes des chemins décrits par chacun des points du corps*

20. Nous représenterons, avec Lagrange, un mouvement de rotation à l'aide d^une droite proportionnelle au déplacement angulaire (*), portée sur l'axe autour duquel s^efFectue la rotation, et dans un sens tel, qu'un observateur, ayant sa tête à l'extrémité de la droite et ses pieds à Torigine, voie le mouvement s'exécuter dans le sens direct (celui des aiguilles d'une montre est le plus souvent choisi pour mouvement direct).

21. Théorème I. — Un nombre quelconque de mout^ements de translation a pour mouvement résultant une translation représentée par la résultante des droites qui représentent les mouvements composants.

En effet, soient AB, BC, . . ., MN les cordes des chemins décrits par un point du système dans les mouvements composants; soient A'B', B'C',.*«) M'N'les cordes analogues pour un second point du système. AN et A'N' sont évidemment égales et parallèles; donc le mouvement résultant peut se réduire à une translation. Si les translations composantes sont représentées par AB, BC,. . ., MN, la translation résultante sera représentée par la résultante AN des droites AB, BQ, . . . , MN.

Cé Q. F. D.

22. Théorème U. — Le mouv^etnent résultant de deux rotations infiniment petites dont les axes se rencontrent

(*) Le déplacement angulaire est l'angle dont a tourné une perpendiculaire à l'axe de rotation invariablement liée au solide.

a4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

peut se réduire à une rotation représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur les rotations composantes.

En effet, soit MA = p et MB = q les rotations composantes. Si nous considérons un point O situé dans le plan AMB [fig. 6), du point O menons OP et OQ, per-

pendiculaires sur MA et MB; en vertu de la rotation p, ce point (dans le cas de la figure) va décrire un arc de cercle derrière le plan de la figure 5 la grandeur de cet arc sera p. OP. Si maintenant on opère la rotation 9, le point O va décrire un arc de cercle dirigé en sens inverse du précédent et dont la grandeur sera ly.OP. Si Ton suppose les deux rotations p et q infiniment petites, les deux arcs de cercle que nous venons de considérer pourront être réduits à de petites droites normale» au plan de AMB, et alors le point O restera immobile si l'on a

(i) /?.OP=:^.OQ.

Ainsi les points O tels que la relation précédente soit satisfaite n'auront pas changé de place dans le mouvement résultant. Ce mouvement peut donc être assimilé A une rotation dirigée suivant MO, c'est-à-dire, en vertu de la jformule (i) [et en vertu d'un théorème bien connu sur

FRBMiÈaE PARTIE. CHAPITRE II. l5

les parallégrammes (^)], suivant la diagonale du parallélogramme construit sur p et q. Pour calculer la valeur de la rotation résultante, nous prendrons un point K sur MB ] la rotation cherchée sera égale au chemin décrit parle point K dans le mouvement, divisé par sa distance Kl à MO; or, en désignant par KL la distance du point K à MA, le mouvement résultant du point K est un mouvement de rotation efTectué autour de MA et égal à p . KL ; car, dans la rotation effectuée autour de MB, le point K

reste immobile*, la rotation cherchée sera donc ■ ' 9

c'est-à-dire

)9.sinAMB

sinOMB

Or cette expression est précisément la valeur de la diagonale du parallélogramme construit sur p et q. Le théorème est donc démontré.

23. Théorème III. — Le mous^ement résultant de deux rotations infiniment petites et dont les axes sont parallèles peut se réduire à une rotation égale à la somme algébjdque des rotations composantes ^ les distances de la résultante aux composantes étant choisies en raison inverse de ces composantes.

Fig- 7-

(* ) Ce théorème, évident par la Géométrie analytique et facile à démontrer par des considérations synthétiques, peut s^énoncer : La diagonale d'un parallélogramme est le Heu des points tels, que leurs distances aux côtés du parallélogramme soient en raison iniferse de ces côtés.

26 TBAITÉ DE MÉCASIQUE mAT10BVELI.B.

Considérons, en effet, les rotations AA'=p, 66'==^ et an point O {Jîg» 7) dans lear plan. Les mouvements successifs du point O dus aux rotations p eiq sont/7.0P^ ^.OQ, en convenant de donner aux distances PO, QO du point O aux droites A A', BB' le signe H- ou le signe — , selon que PO ou QO sont dirigées de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche par rapport à A A'.

Le point O restera immobile dans le mouvement résultant, si l'on a

(i) p.0P-h^.OQ = o,

c'est-à-dire si le point O se trouve sur une droite parallèle à A A' telle, que le rapport de ses distances k p et g soit en raison inverse de p et q et que, de plus, le point O se trouve en dedans de l'intervalle AA'BB' si p etq sont de même signe, et en dehors si p et ^ sont de signes contraires. Ainsi le mouvement résultant se réduit bien à une rotation parallèle à AA^; pour calculer cette rotation, on observera que, dans le mouvement résultant, le point Q décrit Tare ^ «PQ et que, par snite, la rotation

cherchée est ^ ' » Or de (i) on tire

f/" OP~"PO'

ou bien

;? 4- y PO + OQ PQ

p "" OQ ~5q" On en déduit

et la rotation cherchée est égale, comme on voit, à /? -+- 7.

On donne le nom de couple de rotation h l'ensemble