PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE II

fixe S, vont successivement devenir axes instantanés. Soit ON (Jig> II) le lieu des traces de ces droites sur wn% sphère décrite du point fixe S comme centre; une infinité de droites du corps issues du point S vont devenir successivement axes instantanés et coïncider avec les droites précédentes à des époques différentes ; soit OM le lieu des traces de ces droites sur la sphère.

Soient OS Taxe instantané à Tépoque £, SN la droite de Tespace qui deviendra axe instantané à Tépoque t + dt^ SM la droite du solide qui, arrivée en SN, deviendra Taxe instantané.

Le chemin MN décrit par le point M pendant le temps dt sera tdpdt] tù désignant la vitesse de rotation et p la distance du point M à Taxe instantané. Ce chemin est donc du second ordre, et par suite OM et ON sont deux courbes tangentes; donc le cône lieu des axes instantanés dans le corps est tangent au cône lieu des axes instantanés dans l'espace; déplus on a, aux infiniment petits du second ordre près, OM = ON, et, par suite, les deux cônes en question roulent Vun sur Vautre sans glisser (*). Donc :

32. Théorème V. — Le moui^ement le plus général tVun corps solide qui présente un point fixe se ramène au roulement sans glissement d^un cône inv^ariablement Hé au solide sur un cône fixe.

Remarque. — Lorsque Taxe instantané est fixe dans le corps, il est fixe dans l'espace. En effet, les mêmes points du corps ont toujours une vitesse nulle, c'est-à-dire sont en repos.

De même, si Taxe instantané est fixe dans l'espace, il

(*) On dit que deux corps roulent Tun sur l'autre sans glisser lorsqu'ils restent continuellement en contact et que les arcs des deux corps dont les extrémités ont été en co&tact sont égaux.

doit être fixe dans le corps, car le corps tourne toujours amour de la même droite.

Ainsi, quand on voit un corps tourner autour d^un axe qui semble mobile dans l'espace, mais fixe dans le corps, il faut en conclure que Taxe réel de rotation est difierent de Taxe apparent. Ce phénomène est celui de la toupie. La toupie semble tourner autour de son axe de figure, mais cet axe efiectue une série d'oscillations autour de la verticale qui passe par la pointe de la toupie •, on peut donc aflSrmer que l'axe de figure n*est pas Taxe réel autour duquel s'effectue la rotation instantanée.

33. Théorème VI. — Le mouvement injinim^ent petit le plus général que puisse prendre un solide se réduit à une rotation et à une translation.

Ce théorème, du, à ce qu'il parait, au géomètre florentin Giulo Mozzi, peut se démontrer comme il suit.

Prenons un point O du solide avant son déplacement et transportons ce point à sa position finale en animant le corps d'un mouvement de translation. Pour faire prendre au solide sa position définitive, il faudra le faire mouvoir en laissant le point O fixe^ mais, d'après ce que nous avons vu, le mouvement le plus général d'un solide qui présente un point fixe se ramène à une rotation effectuée autour d'un axe passant par le point fixe; donc, enfin, le mouvement le plus général d'un solide se ramène à une rotation suivie d'une translation.

Or il y a une infinité de manières de ramener le mouvement à une rotation et à une translation, et, d'après ce que nous avons vu (27), le point O peut être choisi de telle sorte que l'axe de rotation soit parallèle à la ïranslàtion. Mais alors le corps va tourner autour d'un certain axe et glisser le long de cet axe, en sorte que :