QUI PRÉSENTE VU POIAT FIXE

35. L^étnde qae nous avons faile dans le Chapitre précédent da mouyement le plus général d'un corps solide est incomplète, en ce sens qu^elle ne nous permettrait pas de calculer la rotation et la translation auxquelles un mouvement peut se ramener dans des circonstances déterminées. En outre, cette étude a Tinconvérient de s'appuyer sur des considérations géométriques : cet inconvénient est grave, car il empêche de bien saisir le lien qui existe entre la théorie de la composition des mouvements et la théorie des mouvements relatifs dont nous allons aborder l'étude dans ce Chapitre.

Considérons un solide en mouvement, mais dont l'un des points est assujetti à demeurer en repos'. Par le point fixe faisons passer trois axes rectangulaires fixes, ox, ojy oz'j soient x^ jr, z les coordonnées d'un point M quelconque du solide, prises par rapport à ces axes fixes. Considérons enfin un second système d'axes rectangulaires o^yOn,o^ ayant même origine que le premier, mais invariablement liés au solide. Soient ^, y], ^ les coordonnées du point M par rapport à ces nouveaux axes. Les formules

PRESf[ERE PARTIE. CHAPITRE III. 87

de transformalion des coordonnées nous donnent (i) I y=ia' i-hb'n-hc'ty

et l'on a, comme on sait,

AT r=: cos(ox, oÇ), Ô =r COs(oj:, Oïj), c = cos(oj:, oÇ), . . . .

On sait, de plus, que les neuf cosinus a, b^c,,,. sont liés entre eux par diverses formules, dont voici les principai^s :

/ rt^ + ^2 + c2 — I ,

c/i +c'fl'H-c''«"=: o, ab^a'b' -\-a''b"=o.

Si^ de plus, on suppose que les directions positives des nouveaux axes puissent être amenées en coïncidence avec celles des anciens (*), on aura ( a=:b'c" — c'b% a' <

C*^) On devrait changer les signes des seconds membros ilts formules (6) et (7) si cette circonstance ne se présentait pas.

36. Ceci posé, différeniions les formules (i) par rapport au temps ^; ^, y), ^ ne variant pas avec t doivent être considérés comme des constantes dans la différentiation,

et Ton a

dx da dh de

-T" = §~: — h>3-; — l-Ç-r' dt dt dt dt

, dy ^da' db' de'

^ ' ^ dt dt dt dt

dz da" dh" dd'

dt dt dt dt

Ces formules feront connaître la vliesse du point M

au moyen de ses projections "7" ' "7- ' 7" sur les axes fixes (8) ,

lorsque l'on connaîtra «, i, c, . . * en fonction du temps. Si nous désignons par u, v^ w les projections de la vitesse

dnr d'Y dz

du point M sur les axes oÇ, otî, o^, -^^ —1 -r- étant les

composantes de la vitesse le long des anciens axes, on aura

dx dy „ dz

^ ' dt dt dt

Mais si Ton différentie les formules (4*) et (5), on trouve

/ ada-h a'da' -{- a"da"=zOy

(9) {bdb-hh'db'-^b"db"=.o, \

\ cdc -h c' de' -4- c" de" = o; puis

bdc-{- cdb -t- ^Vc'4- c' db' -^ b" de" -\- c" db" z=z o

On peut donc poser

lpdtz=icdb-^c' db' ^cf' db" z= — [bdc-^b' de' -\- b" de"),

(10) ^ qdtz=:zade-{-a'dd '^a"dc"z=z--{eda-[-e'da! -hc"da"), ( rdt=bda -t- b'da' 4- b"da"=z — (adb-ha' db'-^a"db").