DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE

Si nous supposons n forces de même intensité et de même direction qu^une force constante F et simultanément appliquées à un même point matériel M pris au repos, elles lui communiqueront un certain mouvement qui, en vertu du principe de l'indépendance des effets simultanés des forces^ sera la résultante de n chemins égaux à celui qui serait dû à Teffetde la seule force F, et qui, par suite, sera toujours le même, quelle que soit Tépoque à laquelle on fasse agir les forces en question ; le point M sera donc, par définition, soumis à une force constante. Cette force est ce que Ton appelle une force n fois plus grande que F. Deux forces, dont l'une est n fois plus grande que F et dont Tautre est m fois plus grande que F, seront dites dans le rapport de mkn. De là on passe, par les méthodes connues, à la définition de deux forces qui sont entre elles dans un rapport incommensurable quelconque. Si nous concevons alors que l'intensité d'une force y constante choisie arbitrairement ait été prise pour unité, les intensités de toutes les forces constantes pourront se mesurer à l'aide def.

47. Théorème I. — Lorsqu'une Jbrce constante agit sur un point matériel pris au repos, elle lui communique un mouv^ement rectiligne et uniformément varié.

En effet, supposons qu'une force constante ait agi pendant un certain temps t sur un point matériel M^ soient, à l'époque f, x, ^, z les coordonnées du point M prises par rapport à trois axes rectangulaires. Si à cette époque t la force cessait d'agir, le point décrirait dans le temps dt un chemin S dont la projection sur l'axe des x serait

dx

— - dt^ car le point M serait animé d'un mouvement uni-

at *■

dx forme en vertu du pnncipe de V inertie^ et — serait la

composante de sa vitesse parallèle à l'axe des x. Si le point M partait du repos en x^ y^ z, la force lui ferait décrire un espace S' dont les projections a, |3, y seraient constantes pour un même laps de temps dt^ quel que soit t. Or, en vertu du principe de Y indépendance des effets simultanés des forces, pour avoir la position du point M a Tépoque t + dt^ il faut composer les chemins S et S', et la quantité Ax sera donnée par la formule

dx

Ax Z=z -r- dt -^ CL ^

dt

d'où l'on tire

dx , I d'^x . dx ,

-rdt-^ -^dt^'h... = -T'dt -4- a;

dt 2 dt* dt

et, en négligeant les quantités du troisième ordre,

dt^ dt

Or a est constant avec dt\ donc ioL\di} est constant quand on prend t pour variable indépendante; en le désignant par 2 a,

intégrons deux fois de suite par rapport à £, en observant

que — est nul pour ^ = o, puisque M part du repos :

nous aurons

(i) X — jc» = ar',

Toî Joî ^0 désignant les coordonnées initiales du point M. Cette équation et les suivantes, qui s'établissent de la même façon,

j — jr,= ^r% z — z^zzzcf

sont les équations du mouvement. En éliminant i on a