I. — Principes fondamentaux et définitions

53. On appelle déplacement virtuel d*un point un déplacement infiniment petit donné à ce point, et diflerent en général de celui que prendrait réellement le point sous l'influence des causes qui le sollicitent au mouvement.

Les déplacements virtuels sont indépendants du temps; on les représente par un 5, en réservant la caractéristique diflerentielle d pour le^s déplacements réels effectués dans le temps dt.

On appelle travail virtuel d'une force le produit de celte force par le déplacement virtuel de son point d'application et le cosinus de l'angle compris entre la direction àe la force et celle du déplacement. Le travail est donc susceptible d'un signe qui sera -h ou — , selon que la force et le déplacement feront ensemble un angle aigu ou obtus.

54. Théorème L — Le tra\^ail d^ une force , pour un déplacement virtuel quelconque^ est égal à la somme des travfaux viHuels de ses composantes pour le même déplacement.

En eifet, soient R une force, F, F', F", ... ses compo-

sanles, ds un déplacement virtuel donné à son point d^application ; on a, en projetant successivement R et F, F', F'', ... sur âs^

R cos(R, Ss) = 2Fcos(F, Ss)y

et, par suite, en multipliant par ds,

R^scos(R, es) = l¥ ^s cos(V y 9s).

Cette formule contient la démonstration du théorème énoncé.

55. Théorème II. — Le travail d^une force, dans un déplacement quelconque^ est égal à la somme des tras^aux de la même force dans les déplacements composants.

Soient F une force, ds un déplacement donné à son point d'application; soient 5w, du', 3u'\. . . divers déplacements ayant ^5 pour résultante : en projetant ds, du, du',. . . sur F^ on a

$scofi(Fy Ss) =l$ucos{F,Su),

d'où

F^JCOs(F, $s)=lF9ucos{¥,$u).

56. Corollaire. — Soient X, Y, Z les projections ou composantes d'une force F relatives à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz; soient dx, df, dz les projections du déplacement virtuel ds de son point d'application : on aura, en vertu du théorème I,

trav. F = trav.X -+- trav.Y-+- trav.Z;

mais le travail de X est égal à la somme des travaux de celte force dans les déplacements dx, dy, dz. Le premier de ces travaux est Xd.r; les deux autres sont nuls,