V. — Théorème du travail virtuel

70. Nous rappellerons d'abord qu'un corps est dit en équilibre sous l'influence de certaines forces, lorsque ces forces sont incapables de modifier son état de repos ou de mouvement. Ces forces ne se détruisent pas ; elles produisent les forces de liaison. Prenons^ par exemple, un point assujetti à rester sur un plan ; ce point peut rester en repos sur ce plan, sans qu'aucune force agisse sur lui. Faisons agir sur ce point une force normale au plan, il va rester en équilibre ; mais il faut alors que la fixité du plan équi vaille à une force égale et de sens contraire à celle que nous venons de faire agir. Ainsi les forces directement appliquées engendreront en général des forces de liaison, variables avec les forces directement appliquées.

Théorème du travail virtuel. — Pour quun système de points matériels soit en équilibra sous V influence des forces qui lui sont directement appliquées^ il faut et il suffit que la somme des trauaux ^virtuels des forces qui le sollicitent soit nulle pour tout déplacement com^ patible avec les liaisons du système.

Soient (xi, j^i, ^i), (a^aj y%^ ^j),. . . les coordonnées des différents points du système, les liaisons seront, comme nous l'avons déjà dit, des conditions exprimées au moyen d'équations telles que

(i) L (^1, ri,zi; j:2,.-.) = o,

entre les coordonnées des divers points du système. Soient îxi, ôj<*i, ^z^-^ JjTj,. . . les variations correspondantes à un certain déplacement virtuel : nous dirons que ce déplacement est compatible ai^ec la liaison (i), si l'on a

8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIOlilTELLE.

c'esl-à-dire, en vertu de (i), •

dL ^ dL . dL ^ dL ^

-J-- ^ar, -h — - ^j-, -f- -7- ^z, -f- ■— - ^r,4- . . . = o. dXi dj'x dzi dzi

Ceci posé, supposons d'abord que le système soit à liaisons complètes, c'est-à-dîreque, n désignant le nombre de ses points, il existe 3 « — i équations de liaison. Dans ce cas, chacune des 3n cordonnées Xi,j^i, z^] Xj,... pourra s'exprimer à Taide d'une seule d'entre elles, et chacun des points du système va être assujetti à décrire une courbe déterminée; les seuls déplacements compatibles avec les liaisons seront des déplacements effectués le long de ces courbes.

Pour qu'un point assujetti à décrire une courbe soit en équilibre, il faut, comme nous l'avons vu (p. 72), que la somme des travaux virtuels des forces qui lui sont directement appliquées soit nulle pour tout déplacement effectué le long de la courbe; or, pour que le système soit en équilibre, il faut que chacun de ses points soit en équilibre; donc il faut que la somme des travaux de toutes les forces directement appliquées soit nulle pour tout déplacement effectué le long des courbes, c'est-à-dire compatible avec les liaisons.

Supposons maintenant qu'il existe un nombre k quelconque de liaisons (inférieur à 3n, sans quoi x^^yi, Z],... ne sauraient varier) ; soient

(L) L, = o, Lji=io,..., La=:o,

ces liaisons ; s'il y a équilibre , cet équilibre ne sera pas troublé par l'introduction de nouvelles liaisons en nombre 3 « — k — i ,

(M) M, = 0, Mj = o,..., M3„*, = 0,

compatibles avec les premières (car introduire une liai-