DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE II. 8l

son revient à s'opposer à certains déplacements, et si un point est en équilibre sous Tinfluence de certaines forces, on peut le supposer en repos en vertu du principe de Tindépendance des effets simultanés des forces 5 or s'il est en repos, il est bien clair qu'il restera encore en repos si Ton s'oppose simplement à ce quMl se meuve dans un certain sens).

Mais nous avons maintenant 3 h — i liaisons, le système est à liaisons complètes^ il faut donc que la somme des travaux des forces directement appliquées soit nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons (L) et (M) : mais les liaisons (M) sont quelconques; donc la somme des trax^aux des forces directement appliquées doit être nulle pour tout déplacement compatible av^ec les liaisons (L) pour qu* il y ait équilibre,

71, Il reste à prouver la réciproque : Supposons que la somme des tray^aux des forces appliquées à un sjs^ tème soit nulle pour tout déplacement compatible a\^ec les liaisons j je dis qu il y aura équilibre.

En effet, on peut supposer que le corps parte du repos; s'il n^y a pas équilibre, le système va se mettre en mouvement, le déplacement qu'il prendra sera compatible avec les liaisons, mais on pourra s'opposer au mouvement et rétablir l'équilibre en appliquant à chaque point une force d'intensité convenable'dirigée en sens contraire du mouvement initial. Appelons F le système primitif des forces, 4> le système des nouvelles, forces introduites. Sous Tinfluence deFel4>, le système est en équilibre; donc la somme des travaux des forces F et 4> est nulle pour le déplacement compatible avec les liaisons, qui se produirait si 4> n'existait pas. Mais, par hypothèse^ le travail des forces F est nul ; donc le travail des forces devrait l'être aussi, ce qui est absurde, puisque ces I. 6

8ll TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

forces agissent toutes en sens inverse du déplacement considéré, et que, par suite, leur travail est négatif. Donc,..., et le théorème se trouve démontré. Le théorème précédent porte le nom de principe des vitesses virtuelles ou du fraisait virtuel.

\I. — Remarques sur le théorème précédent.

72. Remarque I. — Si Ton considère un système libre, c'est-à-dire dans lequel il n'existe pas de liaisons, pour qu'il y ait équilibre il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de toutes les forces du système soit nulle pour tout déplacement du système. On peut le voir immédiatement en observant que, chaque point devant être en équilibre, la somme des travaux des forces qui le sollicitent doit être nulle*, réciproquement, si la somme des travaux de toutes les forces du système est nulle quel que soit le déplacement, elle sera nulle en particulier si tous les points, à Texceplion d'un seul, restent immobiles ; mais alors ce point est en équilibre, puisque la somme des travaux de toutes les forces qui le sollicitent est nulle ^ donc chaque point du système, et par suite le système lui-même, est en équilibre.

Remarque II. — Nous avons supposé tacitement, dans la démonstration du principe des vitesses virtuelles, que les liaisons ne variaient pas avec le temps ^; maïs il est facile de voir que ce principe est encore vrai dans le cas où les liaisons sont fonctions du temps.

En eflel, considérons le système h IVpoque 9. Supposons que l'on remplace, dans chaque équation de liaison que nous supposerons de la forme

DEUXIÈME PAKTIE. CHAPITRE H. 83

t par la constante d, le principe des vitesses virtuelles sera vrai pour le nouveau système de liaisons^ comme il est vrai ainsi à chaque instant d, il a lieu pour toutes les valeurs die < : il est donc général.

Mais il faut observer (et cette remarque est importante en dynamique) que le déplacement réel infiniment petit que prend un corps en mouvement n^est pas compatible en général avec les liaisons à Tépoque t, si celles-ci contiennent le temps \ en eifet, si dx^ , dy^^ dz^ , . . . désignent les variations de X], j^i, ^i, . . • dans le déplacement réel, on a

tandis que l'on a seulement

donc on ne peut prendre dx^ = dx^^ dj^ = 5)^1 , . . . que

si — ;- est nul , c'est-à-dire si les liaisons ne contiennent dt

pas le temps*

73. Remarque III. — Dans la démonstration que nous avons donnée du principe des vitesses virtuelles, nous avons supposé que si un point était assujetti à rester sur une courbe, on pouvait remplacer l'effet de la courbe par une force normale : ceci n'a lieii que s'il n'y a pas Ae frottement sur cette courbe. S'il y avait frottement, il faudrait remplacer les liaisons correspondant à ces frottements par les forces qu'elles produisent, ces forces étant considérées comme directement appliquées.