DEUXIEME PARTIE. CHAPITRE II

déplacement, multipliée par Tamplitude de ce déplacement, on arrive à cette conclusion :

Pour quun système solide soit en équilibre^ il faut et il siiffit : i^ que la somme des moments des forces direc^ tement appliquées^ pris par rapport à trois axes rectangulaires, soit nulle ; oP que la somme des projections de ces forces sur les trois axes soit nulle.

On peut arriver à ce résultai d'une autre manière. On observe que, pour tout déplacement compatible avec la solidité, la somme des travaux des forces de liaison est nulle; en effet, ces forces sont intérieures et se réduisent à des actions mutuelles; soient/ une force intérieure, / la distance des points entre lesquels elle agit : on a vu que le travail correspondant à cette force est (p. jS) ±fdl. Mais, dans les solides, $1 = o, puisque les équations de liaison sont de la forme / = const . ; donc dzfdl=o^ et, par suite, les travaux des forces de liaison (qui, ici, sont les forces intérieures) sont nuls; soient donc Xj, Y|, Zj, X', , . . . les composantes des forces appliquées sur les points dont les coordonnés sont J^i, J>^i> ^i» x'^ , . . . ; on devra avoir (p. 64)

I (X^x -+- YSx -h Z$z) z=z o;

pour tout déplacement compatible avec la solidité, on peut prendre

^J7, izr ^jTj, . . . et ^^,1=0, 6i/j=0,..., 5z, rziO, ^ZjznO,...,

ce qui revient à donner au système un mouvement de translation parallèle à Taxe des x\ la formule précédente se réduit alors à SX = o, et Ton trouve de la même manière 2Y = o, 2Z = o.

On peut aussi prendre ^z =j5ol^ ^J==- — # oa, cîx = o,

ce qui revient à donner un mouvement de rotation autour de Taxe des x (*), et Ton a ^{7{y — Y^) =o*, on aurait de même 2(Xz — 7ax) = o, 2(Ya: — Xj^) = o.

On retrouve ainsi les mêmes conditions que tout à l'heure (58) ; il reste à prouver qu'elles sont suffisantes, car nous n'avons donné qu'un nombre restreint de déplacements. Si nous exprimons que trois points du système sont en équilibre, ou si l'on veut en repos, tous les autres le seront aussi. Or, pour exprimer que trois points du solide sont en repos, il suffît d'exprimer : i° que l'un des points est fixe, ce qui exige trois équations [x = const., jr = const., z = const., par exemple) \ i^ que deux des coordonnées d'un second point sont constantes, car la fixité du premier point assujettit le second à se trouver sur une sphère, ce qui fournit deux équations ; 3° qu'une seule coordonnée du troisième point est constante, car la fixité des deux premiers points l'oblige à se trouver sur un cercle déterminé, ce qui fournit encore une équation. Donc six équations suffiront pour assurer l'équilibre.