DEUXIEME PARTIE. CHAPITRE II
cite; soient enfin
(i) L, =0, La = o, ..., L* = o
les équations de liaison. Si l'on se rappelle rex[)ression que nous avons donnée, p. 64» du travail d'une force, le théorème du travail virtuel fournit la relation
(2) 1 [XSx + Y§/ ^Z$z)z=z o j
où $x^ 5y, . . . désignent des déplacements quelconques compatibles avec les liaisons, c'est-à-dire (p. 79) satisfaisant aux équations :
dx djr dz
(3) { ^[dU ^ du ^ dL. .
Sx + '-^ $x -+-~§zj = o,
Soit n le nombre total des points du système. Des équations (3), en nombre A', on peut tirer les valeurs de k variations en fonction des '5 n — A autres, et porter ces valeurs dans (2) 5 les 3w — k variations en question étant arbitraires, on pourra égaler leurs coefficients à zéro. On obtiendra ainsi 3« — k équations, qui seront celles de l'équilibre, puisqu'elles équivaudront à (2) et à (3). La position d'équilibre sera alors donnée en joignant aux 3/2 — k équations d'équilibre les A équations (i) ; on aura ainsi 3n équations pour déterniiiier les 3/i coordonnées des points du système quand on connaîtra X, Y, Z,....
On peut faire l'élimination des variations par la méthode des multiplicateurs. A cet effet, multiplions la première équation (3) par Xj, la seconde par ij,..., et ajoutons ces équations avec (2), il vient
88 TRAITÉ D£ ltéG\»IQtJ£ RÂTIOKSiELLE.
On peut profiter de rindëtermination des k quantités \ pour écrire arbilraîremenl h relations; nous pourrons donc annuler les coefficients de/r variations: il reste alors 3n — h variations dans la formule (2) 5 ces autres variations étant arbitraires, leurs coefficients doivent être identiquement nuls. On obtient donc les 3/i équations* suivantes :
dhx dhi
■X^i + Ai —z h Aa — h . . . = O ,
a.ri dxx
X2 + A| — — + Aj — h • • . := O )
dont les h premières déterminent X,, Xj,. . . , X^. En portant les valeurs de X,^ î.j,. . . dans les autres, on obtient les équations de l'équilibre; au lieu de procéder ainsi, on peut se contenter d'éliminer Xj, X,, . . . d'une manière , quelconque entre les formules (5).
Les multiplicateurs Xj, Xj, . . . (et c'est un fait bien remarquable) peuvent servir à calculer les forces de liaison ; en effet, désignons par P, Q, R les projections de la force de liaison qui agit sur le point (r, /, 2). En introduisant les forces P, Q, R dans le calcul, on peut supposer le système libre, et Ton a, pour exprimer que les n points du système sont en équilibre, les Zn équations
X, 4-P, =0, Xj -h P, = o.
En comparant ces» équations avec (5), on voit que
( P — ^i — • -4- ^ ^^^ -U\ «^1^3 ^6) ' dx\ dXy dXx
On voit ainsi que /, — -^ est la projection, sur l'axe des o:,
uXi
