DES FORCES

Lemme. — Un losange rigide ABGD [fig» 10) est en équilibre sous ^influence de quatre forces égales appliquées suivant DA, DC, BA et BC.

£n effet, si nous admettons que la résultante de deux forces est indépendante de la nature du corps solide auquel ces forces sont appliquées et ne dépend que de la grandeur et de la position de ces forces, la résultante des forces AB et BC sera dirigée suivant BD; celle des forces DA et DC sera dirigée suivant DB, et sera égale à la première. Ces deux résultantes se feront donc équilibre.

Ceci posé, considérons deux forces commensurables MP et MQ {fiS' 21 ), appliquées à un même point matériel; construisons

Fig. 21.

Q5 Qa Qs Q

le parallélogramme MPNQ sur MP et MQ ; supposons les forces MQ et MP dans le rapport \, Soit alors

MP, = P,P, = P,P = MQ,= Q,Q,= Q,Q3=Q3Q;

par les points Q,, Q^, Q3 menons des parallèles Q,Ap Q,Aj, Q3A3 à MP, et par les points Pp P, menons P^B^ P^B, parallèles à MQ; solidifions le parallélogramme MPNQ. Je dis que si Ton applique au parallélogramme deux nouvelles forces égales à NP et NQ, il sera en équilibre.

Pour le démontrer, nous pouvons observer : 1° au lieu des forces MP, MQ, NP, NQ, on peut appliquer les forces MP,,P,Pj,... en M, P, , ... ; les forces M Q,, Q, Q„ . . . en M, Q,, ... ; les forces N B„ BjB, , . . . en N, B,, . . . ; enfin les forces N A3 . . . en N, A3. ... ; car ces forces peuvent être censées appliquées en un point quelconque de leur direction; prenons les forces MP, P,Pj, P^P, par exemple : en les supposant appliquées en M, elles donneront par définition une force triple, c'est-à-dire précisément MP ; a° on peut appliquer encore au système les forces égales et directement opposées Q, y, et A, «„ Q,<7, etA,«„..., B,<73 et P//,, —

En vertu de notre lemme, toutes les forces que l'on vient de considérer vont se faire équilibre sur les losanges MPA3Q3, P,PA,Q,, P,PA,a,, puis Q.A.NQ, Q^/ï^B^Q, Qa^jB.Q. Donc les forces MP, MQ, NP, NQ se font équilibre; par snile, la résultante de MP et MQ est égale et directement opposée a celle de NQ et NP; donc elle passe par le point N. Ainsi :

La résultante de deu;x forces appliquées au même point est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux