DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE III. lOp
97. Théorème II. — Un système quelconque de forces peut toujours se ramener à une force unique et à un couple parallèle à cette force,
La force unique que Ton obtient dans ce cas porte le nom de résultante de translation ; sa direction est l'axe central du système de forces ^ le couple unique auquel on arrive est ce qu on appelle le couple minimum. Et, en effet, nous avons vu tout à Theure que le couple obtenu dans le cas général est la résultante du couple dit mi/iimum et d'un couple normal.
Le couple minimum a pour expression Gcosi, G désî- .gnant le couple résultant correspondant à un point O quelconque et i désignant Tangle que fait le couple résultant avec la résultante de translation.
98. Théorème III. — Un système quelconque de forces appliquées à un solide peut toujours se ramener
à deux forces uniques passant par deux points^ dont Vun peut être choisi à volonté.
En effet, nous avons vu que le système des forces données pouvait se ramener à une force R passant par un point donné O et à un couple. Or on peut transporter le couple parallèlement à lui-même jusqu'à ce que Tune de ses forces F passe par le point O. Les forces R et F se composeront alors en une seule, passant par le point donné O, et il restera l'autre force du couple.
VI. — Équations générales de l'éqijilibre et détermination analytique de la résultante d'un système
DE FORCES et DU COUPLE RÉSULTANT.
99. Considérons un système de forces appliquées à un solide. Soient X, Y, Z les composantes d'une force quel-
IlO TRAITÉ DE MÉGANIQUE RATIONNELLE.
conque du système estimées suivant trois axes de coordonnées rectangulaires -, on peut transporter la force (X, Y, Z) à l'origine des coordonnées à la condition d'adjoindre au système un couple dont les forces se composeront de la force (X, Y, Z) et d'une force égale, mais de sens contraire, appliquée à Torigine. Soient L, M, N les composantes de ce couple.
La résultante de toutes les forces transportées à l'origine aura pour projections sur ces axes coordonnés SX, 2 Y, SZ*, si l'on désigne ces projections par P, Q, R, on aura donc
Le couple résultant aura pour composantes SL, S M, SN', en sorte que, si l'on désigne ces composantes par U, Vj'W, on aura
Or, d'après le théorème IV du paragraphe V (p. 107), L désigne la somme des moments des forces du couple (L, M, N) pris par rapport à Taxe des x\ or l'une de ces forces est précisément la force (X, Y, Z) ^ l'autre passe par l'origine, son moment est nul ; donc L représente, si l'on veut, le moment de la force (X, Y, Z) pris par rapport à l'axe des x. On peut donc, en vertu des équations (i) et (2), énoncer le théorème suivant :
100. Théorème L — 1** La projection de la résultante d'un système de forces relative il un point O sur un axe quelconque est égale à la somme des projections de toutes les forces du système sur cet axe; a^ la projection du couple résultant sur un axe quelconque qui passe par le point O est égale à la somme des moments des forces du système pris par rapport à cet axe.
