DEUXIEME PARTIE. CHAPITRE III. III

Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que la résultanle des forces qui agissent sur le système soit nulle et que le couple résultant soit nul •, car une force ne peut jamais faire équilibre à un couple. Les équations de réquilibre sont donc

U=o, Vi^o, W=:o; ou bien

Nous retrouvons ainsi, par une autre voie, les six équations de l'équilibre des corps solides.

101. Problème I. — Calculer la résultante de translation et le couple minimum d^un système de forces.

Conservons toujours les mêmes notations^ mais, au lieu de transporter les forces XJ Y, Z à Torigine des coordonnées, transportons-les au point dont les coordonnées sont û, i, c. Les projections P, Q, R de la résultante seront encore 2X, 2Y, 2Z, et l'on aura toujours

Pour calculer les composantes du couple résultant, transportons l'origine des coordonnées au point (a, i, c). Soient x^^ jiy z^ les coordonnées du point d'application de la force (X, Y. Z) prises par rapport aux nouveaux axes; ^, j", z ses anciennes coordonnées. On aura, en désignant toujours par U, V, W les projections du couple résultant, .

ou bien, en observant que Xi = a: — «? JTi =JK" — ^j Zi = z — c,

112 TRAITÉ DE MÉGANIQUE KATIOKKELLE.

OU bien, en désignant par L, M, N les momenls de la .force (X, Y, Z) pris par rapport aux anciens axes,

U = 2L — 2(Zè— Yc), V=..., W=:...,

c'est-à-dire, en vertu des formules (i),

r U =:2L -^.(ôR— Qc), (2) I V =2M-^ (cP —Ra),

La valeur du couple minimum est Gcos/, G désignant le couple résultant relatif à un point quelconque (a, £, c) et i l'angle qu'il fait avec la résultante de translation. Or on a, en désignant par S la résultante de translation,

cos; = — — -hTr-^-^-^TTr^

UP-hVQ-f-WR

G ces/ = •

En remplaçant, dans cette formule, U, V, W par leurs valeurs tirées des formules (2), on a

GcOS/=: >

ou, si l'on veut,

2X2L-4-2Y2M-h2Z2N Gcos< =

Si dans (2) on remplace U, V, W par les projections du couple minimum, les valeurs de a, ft, c que Ton en déduira feront connaître le point d'application de la résultante de translation. Ces équations devront se réduire à deux, qui seront celles de l'axe central. Effectivement on a l'équation de condition

PU -4- QV -4- RW = P2L -f- Q2M -h R2N.