Reprenons les formules

dans lesquelles $, ti, (^ représentent les coordonnées du centre de gravité du corps u (volume, surface ou ligne), et Xy jr, z les coordonnées de l'élément du.

Transformons les coordonnées à l'aide des formules connues

u conserve la même valeur du également. On a donc

— \^ xfiu = — I ^ Xq du -I- ^ axi du -{-. • • 1 9

c'est-à-dire

- \^ xdu = -\ x^ ^ du-i- a V* Xydu -{- b ^j^' ^^

Si donc on désigne par |', n', Ç' les coordonnés du nouveau centre de gravité, on peut écrire la formule précédente

on aurait également

Or, en appelant Çi, >?,, Çi les coordonnées de Pancien centre de gravité dans le nouveau système d^axes, on a

Ç = jroH- «Çi -I- ^>5i -r cÇ, ,

Il résulte de là que Ç' = f j, yj' = yji, Ç' = ^i 5 donc, enfin, le centre de gravité est un point fixe qui ne dépend pas de la position des axes des coordonnées. c. q. F. d.

On peut démontrer cette proposition d'une autre manière, qui aura l'avantage de donner une définition géométrique du centre de gravité.

115. On appelle moment dHneitie polaire d'un corps par rapport à un point la somme des produits des masses des atomes de ce corps par les carrés de leurs distances au point en question.

Ainsi, m désignant la masse d'un atome et r sa distance au point O, 2y«r* sera le moment d'inertie polaire du corps par rapport au point O.

Le mom^ent d'inertie polaire d'un corps géométrique (volume, surface ou ligne) par rapport à un point O, sera la limite vers laquelle tend la somme Sr^d^w, dans laquelle r désigne la distance de l 'élément du au point O.

116. Théorème. — Le centre de granité dun corps est le point pour lequel le moment d^ inertie polaire est un minimum.

En effet, désignant par ^, yj, ^ les coordonnées du point pour lequel le moment d'inertie polaire doit être minimum, par x,^, z les coordonnées d'un point quelconque du corps, et par m la masse concentrée au point x,^, z, si le corps est un corps naturel, ou bien l'élément