COS

\ dx dz) dx \ dz dyj dy

41. Équilibre d'un point matériel sur une surface. — Pour que le point matériel soit en équilibre, il faut et il suffit que la composante tangentielle RsinX du numéro précédent soit nulle, puisque la composante normale est détruite par la résistance de la surface et que l'autre composante détermine un glissement si elle n'est pas nulle; on doit donc avoir

/'xî^-Y^Y+('z^-X^Y+(^YÎ^-Z^Y=0, \ dy dx) \ dx dz) \ dz dy)

équation qui exige que Ton ait séparément

Xf-Y^=0, Z^-X^=0, Y^-Z^^=0.

dy dx dx dz dz dy

Ces équations de condition suffisent pour assurer l'équilibre si le point matériel ne peut pas quitter la surface ; mais s'il est seulement astreint à glisser sur l'une ou l'autre face, il faudra s'assurer par rinspection du signe de cos i que la force R comprime le point contre la surface et ne tend pas à l'en détacher.

II est à remarquer que l'une des trois équations est renfermée dans les deux autres; car en éliminant X entre les deux premières, on trouve la troisième. Les conditions d'équilibre |se réduisent donc à deux de ces trois équations.

La composante normale R cos A détruite par la résistance de la surface est la mesure de cette résistance à laquelle on donne le nom de pression.

Il pourrait se faire que le point matériel ne fût pas en équilibre en un point donné (x, y, z) et qu'il le fût en un autre point, en y trans-

portant la force parallèlement à elle-même. Si l'on se propose de déterminer le point (x, y, z) de la surface où il y aurait équilibre, il suffirait de poser deux des trois équations précédentes en y ajoutant la relation F = 0 et d'en tirer les valeurs de (x, y^ z). On reconnaît que le point ainsi trouvé est celui où la force R est normale à la surface.

42. Composantes d'une force appliquée d un point qui ne peut que glisser sur une courbe. — Considérons maintenant un point matériel astreinte rester sur une ligne courbe; en décomposant la force R en 'deux forces, Tune dirigée suivant la tangente et l'autre renfermée dans le plan normal , cette seconde composante sera détruite par la résistance de la courbe et mesurera la pression qu'elle éprouve. La première composante seule fera glisser le point; or si l'on représente par ix l'angle formé par la force avec la tangente à la courbe et si l'on remarque que les cosinus des angles que forme la

dx dy dz ., .

tansente avec les axes sont -;- > -~ et -r-* il vient ^ ds ds ds

dx , dy dz Xdx -*- Yrfy -4- Zdz

cos a = cos a -r- -♦- cos 6 -;^ -4- cos c T-== Trr '

^ ds ds ds Ras

La composante suivant la tangente est donc

« ^.dx ^,dy „dz

R cos a =3 X— -♦- Y -z^ -f- Z-7- .

ds ds ds

La composante normale est

y \ ds dsj \ ds dsj \ ds dsj .

Cette dernière transformée s'obtient en réduisant au dénominateur commun ds^ les premiers termes placés sous le radical et en remplaçant cf«* par sa valeur dx* -*- rft/' -♦- d;j*. '^

On déterminera comme au N"" 40 les angles que fait cette composante normale avec les axes et par conséquent la direction de la pression.

45. Équilibre d'un point sur une courbe. — Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que la composante dans le sens de la tan-

gente soit nulle, puisque Taulre composante est détruite dans tous les cas par la résistance de la courbe; on a donc pour condition d'équilibre,

^ dx ^, dy „dz as as as

Celle-ci, jointe aux deux équations de la courbe, peut aussi servir à déterminer le lieu de la courbe où le point serait en équilibre; il suffit de tirer de ces trois équations les valeurs de (x, y, z).

44. Equilibre d*un système rigide ayant un point fixe. Pression sur ce point. — Concevons un système rigide n'ayant que la liberté de tourner autour d'un point fixe. En menant par ce point trois axes rectangulaires et remplaçant, comme on l'a vu au N"" 55, tout le système par trois forces (X, Y, Z) et trois couples (L, M, N), il est clair que les trois forces seront détruites par la résistance du point fixe; les six équations d'équilibre se réduiront donc aux trois suivantes

qui sont par conséquent les conditions d'équilibre, quelles que soient les valeurs de (X, Y, Z). Ces forces déterminent sur ce point une

pression R qm est représentée par j/X* -*- Y* h- Z* et dont la direction est donnée par

cos a = -- 9 cos 6 = ~ » cos c =a — • K R K

45. Equilibre d'un système rigide traversé par un axe fixe. Pressions supportées par cet axe. — Si le corps était traversé par un axe fixe, en prenant celui-ci pour axe des Z, il est évident que les forces (X, Y) perpendiculaires à cet axe seraient détruites par sa résistance. Il en serait de même des couples L et M, puisque ces couples renfermés dans les plans des XZ et YZ peuvent être tournés dans leur plan de manière à avoir les forces perpendiculaires à l'axe desZ; les forces du système se réduiraient donc à la force Z, qui tend à faire glisser le système rigide le long de l'axe des Z, et au couple N représentant la somme des moments des forces par rapport à cet axe, l'effet de ce couple étant évidemment de faire tourner le système autour de l'axe. Les six équations d'équilibre se réduisent dans ce cas aux deux suivantes

Z = 0 et N = 0

OU simplement k

si le système ne peut pas glisser le long de Taxe , c'est-h-dire qu'il suffit que la somme des moments des forces par rapport à cet axe soit nulle.

Les deux forces et les deux couples qui ne sont pas nuls, mais qui viennent se détruire ûontre Taxe , y déterminent deux pressions parallèles aux axes des X et des Y, et représentées Tune par X, l'autre par Y, puisque la force X (fig. 31) et le couple M ou (Q, — Q) renfermés dans le plan XZ sont réductibles (N° 52) à une force unique égale et parallèle à X et qu'il en est de même de Y composé avec le couple L ou (P, — P). Les points d'application A et B de ces deux pressions se déterminent en remarquant que dans le couple (Q, — Q), si

l'on prend Q égal à X, le bras AO sera ~ , et comme X et — Q sedétruisent, A sera le point d'application de la force unique Q = X. On voit de la même manière que le point B Gxé par OB = — — est le point d'application de la pression P = Y parallèle à l'axe des Y.

Comme la position de l'origine 0 dans l'axe des Z, et les directions des axes des X et des Y sont arbitraires, il en résulte que les positions des points A et B, les valeurs de X et Y, ainsi que leur direction, sont indéterminées, c'est-à-dire que la double pression éprouvée par l'axe peut être représentée par un nombre inGni de systèmes de deux forces. Il n'en serait plus de même si les deux points d'application étaient donnés, comme cela a lieu lorsque l'axe est fixé au moyen de deux anneaux A et B (fig. 53). Alors pour déterminer les pressions de l'axe contre ces anneaux , on prendra le point A pour origine, on remplacera le couple L par un couple (P* — P) ^P"^ ^^ ^u ^ P^"^ bras et le couple M par (9, — q).

De cette manière les forces p et a seront égales à - et — et les pres-

sions aux points A et B seront les résultantes deY+p et X — q pour l'une et de f et — p pour l'autre. Ces deux pressions sont

il 1 i L et — faisant avec l'axe des X des

aX — M M

angles dont les cosinus sont ■ et

|/(oX — M)« -t- (oY -*- L)« j/I^TSn

46. Pressions supportées par deux points fixes. — On déterminerait de la même manière les conditions d'équilibre d'un système dans lequel il y a deux points fixes A et B , ainsi que les pressions qu'ils supportent. Les conditions d'équilibre, en prenant pour axe des Z la droite qui joint ces deux points, se réduisent à N==0, c'est-à-dire que la somme des moments des forces par rapport à cette droite doit être nulle. Quant aux pressions qu'ils supportent, on déterminera comme au numéro précédent les pressions exercées aux points A et B perpendiculairement à AB ; mais comme Z n'est pas nul et qu'il est détruit par la résistance des points A et B dans la direction AB, il en résultera une nouvelle pression qu'il faudra composer avec les pressions normales à AB pour avoir les pressions totales en A et en B. Or il faudrait d'abord savoir quelle portion de cette force Z est détruite par chacun des points fixes. C'est ce que les données de la question ne font pas connaître; on sait seulement que les deux pressions réunies sont égales à Z. Les pressions totales que supportent ces deux points sont donc indéterminées, du moins dans l'état actuel de la science.

47. Equilibre d'un corps traversé par un plan fixe. — Si le corps est traversé par un plan fixe le long duquel il a la liberté de glisser, il est clair qu'en prenant ce plan pour celui des (XY), la force Z et les couples L et M, dont on peut diriger les forces perpendiculairement à ce plan, seront détruites par sa résistance, de sorte que le corps ne sera soumis qu'aux forces X et Y et au couple N; les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre sont donc

c'est-à-dire qu'il faut pour l'équilibre du système que les sommes des composantes parallèles à deux axes rectangulaires menés dans le plan soient nulles ainsi que la somme des moments par rapport à une perpendiculaire quelconque au plan. Quant à la pression qu'éprouve le plan des (XY), si on dispose les deux couples L et M de manière que l'une des deux forces vienne se placer dans l'axe des Z, ces couples deviendront (p, — />), (qr, — ?)> et la résultante des trois forces parallèles Z-k-q — p, p et — q agissant aux points 0, A et B (fig. 55) sera la pression cherchée. La somme totale étant Z, celle-ci représente la pression totale, et si a et 6 sont les deux coordonnées du point d'application G de la résultante, la théorie des moments donne

— ûr.AO M . p.OB L

STATIQDE. 59

48. Equilibre d'un corps appuyé sur un plan par un ou par deux de ses points. — Si le système rigide n'était appuyé sur le plan des (XY) que par un point, en prenant le point d*appui pour origine, la force Z serait détruite et toutes les forces seraient réduites aux deux forces X, Y et aux trois couples L, M et N. Z mesurerait évidemment la pression et les conditions d'équilibre se réduiraient aux cinq suivantes

Le signe de la force Z fera connaître le sens de cette pression.

Si le système élait simplement appuyé sur le plan et pouvait s'en détacher, l'équilibre ne serait assuré que si la force Z ne tendait pas à soulever le point d'appui, ce que le signe de Z fera toujours connaître.

Si le système rigide était retenu sur un plan par deux points A etB(fig. 54) qui ont la liberté de glisser en tous sens, en prenant encore le plan pour celui des (XY) et en supposant les deux points placés l'un à l'origine et l'autre dans Taxe des X , il est clair que la force Z et le couple (9, — 9] ou M seraient détruits parla résistance du plan. Toutes les forces se réduiraient donc aux deux forces (X, Y) cl aux deux couples (L, N) qui devront être nuls pour l'équilibre.

Les pressions que supportent chacun des deux points d'appui A et B

sont, d'une part Z -*- 7 et d'autre part — q^ c'est-à-dire, Zh — et 1

en désignant par a l'intervalle AB. Si le corps est simplement appuyé

sur le plan XY, il est nécessaire de s'assurer que ces deux forces ne

lendent pas a soulever les points d'appui, ce qu'on reconnaîtra par

leurs signes.

49. Équilibre d'un corps appuyé sur un plan par trois points, — Considérons enfin le cas où le système rigide est appuyé par trois points sur le plan fixe des (XY); toutes les forces perpendiculaires h ce plan, c'est-à-dire Z et les couples L et M, seront détruites par la résistance du plan, et les autres se réduiront au couple N et aux deux forces (X, Y), en sorte qu'il suffira pour l'équilibre d'avoir

La force Z et les deux couples (L, M) produisent une pression dont la valeur Z et le point d'application G (fig. 53) se déterminent comme au N*" 47. Les coordonnées a et b du point G sont

Quand les points d*appui peuvent élre soulevés, avant de pouvoir affirmer que l'équilibre a lieu lorsque (N, X, Y) sont nuls, il est nécessaire de s'assurer d'abord que la force Z produit une pression, ce qui n'a lieu que si Z est négatif, et en second lieu il faut s'assurer que le point d'application G est placé dans l'intérieur du triangle formé par les trois points d'appui ; car dans le cas contraire il est clair que le système rigide chavirerait en tournant autour de l'une des droites qui joignent deux à deux les points d'appui. Si la position des trois points d'appui est donnée par ses coordonnées (x, y), (a/, y/) et (x", y"), cette seconde condition exige que les coordonnées (a, 6) du point G fassent prendre le même signe aux trois polynômes

On est conduit à ces inégalités en observant que si par le point G qui a (a, 6) pour coordonnées, on mène une parallèle à l'axe des Y, celle-ci rencontre les trois côtés du triangle en trois points dont Vy est supérieur ou inférieur à h pour un côté et moindre ou plus grand que 6 pour les deux autres. Ces trois valeurs de y résultent des équations des trois côtés du triangle, équations connues puisque les côtés sont des droites passant chacune par deux points donnés.

ÎJO. Pression que supporte chaque point d'appui. — La force Z est la pression totale exercée sur le plan fixe, laquelle se répartit entre les trois points d'appui; en désignant les trois composantes par (p,p',p"), ]a théorie des moments des forces parallèles fournit les équations suivantes

Z = /?-+-// -h /j", Za = px -+- pW -^ p''x", Zb=py-^ p'y' -^ fy''

qui, étant résolues, donnent les valeurs de p, />', p''. Ces valeurs doivent élre positives pour qu'il y ait pression dans les trois points, ou pour que le point d'application tombe dans l'intérieur du triangle. On retrouve ainsi les trois conditions du numéro précédent. Si les trois points d'appui étaient renfermés dans une même ligne droite, celle-ci devrait contenir le point G; en la prenant pour axe des X, on aurait y=sO, y'=0, y=0, 6=0, et les trois équations précédentes se réduiraient à ces deux-ci

Z == p -♦- p' -h p", Za = px -t- pV -v p"x",

qui sont insuffisantes pour déterminer les trois inconnues p, p\ p". On voit que ie problème est alors indéterminé. Il en serait de même si le nombre de points d'appui était supérieur à trois , placés ou non en ligne droite. II est en effet à remarquer que lorsque trois points d'appui sont rangés en ligne droite, ou lorsque le nombre de points d'appui, d'ailleurs quelconque, est supérieur à trois, la répartition de la pression totale entre les différents points d'appui dépend du degré de rigidité du système, et qu'il est par conséquent nécessaire, pour que les pressions soient déterminées, d'exprimer par des équations cette parfaite rigidité. Ces équations, si elles étaient connues, jointes aux trois précédentes , donneraient la solution complète de la question.

51. Équilibre d'un corps ayant des points d'appui contre plusieurs surfaces. — Pour qu'un système rigide, soumis à l'action d'une ou plusieurs forces et appuyé par plusieurs points contre des surfaces, reste en équilibre, il faut et il suffit que toutes les forces soient réductibles à des forces normales aux surfaces . passant par les points d'appui et comprimant les points d'appui contre les surfaces. 11 est d'abord évident que cette condition suffit, puisque toutes les forces seront alors détruites; en outre elle est nécessaire, car si les forces se font équilibre sur les surfaces, elles se feront encore équilibre en supprimant ces surfaces et introduisant des forces P, Q, R etc. égales et directement opposées aux pressions. Les forces du système font donc équilibre à (P, Q, R...) et sont par conséquent réductibles aux forces ( — P, — Q, — R...)« Cette dernière remarque peut servir à déterminer les valeurs des pressions et les positions des points d'appui; car en joignant aux forces du système les forces inconnues P, Q, R. .. normales aux surfaces, le système pourra être considéré comme entièrement libre et en équilibre; les forces devront donc (N** 59) satisfaire à six équations qui seront autant de relations nécessaires entre les pressions inconnues et les coordonnées des points d'appui, qui serviront k déterminer les inconnues de la question.

A ces six équations doivent être jointes les différentes équations qui expriment les conditions de liaison du système.

Si le nombre total d'équations de condition était supérieur à celui des inconnues, l'équilibre serait généralement impossible dans les conditions assignées et celles-ci devraient être modifiées; par exemple, la forme ou la position de la surface qui sert d'appui devra être assujettie à certaines conditions, comme cela a lieu dans l'exemple suivant : proposons-nous de trouver les conditions d'équilibre d'une droite

AB (fig. 55), portant un poids en G et appuyée contre deux plans inclinés CD et CE. Ces plans doivent se couper en C suivant une droite horizontale, car le poids et les deux pressions P et Q en A et B doivent être renfermés dans un même plan pour que la force soit décomposable dans les deux forces P et Q, et ce plan devant contenir une verticale et une normale à chacun des deux plans donnés, est évidemment vertical et perpendiculaire à rintersection C, qui par conséquent doit être horizontale. De plus il faut, pour que la décomposition du poids en deux forces P et Q dirigées suivant FA et FB soit possible, qu'en élevant en A et B les normales AF et BF leur point de rencontre F se trouve sur la verticale GF passant par le point G de la droite. Ces conditions suffisent pour fixer géométriquement la position d'équilibre de la droite AB; désignons en effet AG et GB par m et /} ; d'un point quelconque 0 (fig. 56) abaissons les perpendiculaires OP, OQ et la verticale OZ et par P menons PR de manière que l'on ait

PS ; SR = m : n

(ce que l'on fait en divisant PO en A, en parties proportionnelles à m et fi, menant ensuite AS parallèle à OR et joignant les points P et S). Si l'on mène ensuite ab parallèle à PR et égale à la droite donnée AB de l'autre figure, cette dernière sera dans la position d'équilibre; car en élevant les normales ao, bo et la vertic4ile oz, on aura deux figures semblables PORS et aobs', le point s se confond donc avec G, à cause de la position du point S sur PR. On aura une seconde solution de la question en substituant le point Q au point P dans la construction précédente.

On obtiendra les valeurs des distances Ca, C& et de l'angle Ca6, eu considérant les triangles aos^ bos et Cab. On trouve ainsi

cosc

sin a sin 3 tang a =

sine

sin (3

(m H- n)( -r-^-^- — cos c ) \sin p sin a /

sinc\/ T-r--*--:-r^-^2-: r-^cosc

y sin* a sin*p sinasinp

m -4- n) ( -: — -^ -r— ;5C0s c ) \Sin a sin p /

Sinc\/ -4- -7--^ -h 2- r— 7.C0SC

V sin* a sin*

mn sin* |3 sin a sin |3

Dans ces formules, x, y, a, c, a et (3 représculent les distances Ca et C6, les angles Cab et aCh et les inclinaisons aCH et bCR des plans sur rhorizon HR.

Occupons-nous encore du problème suivant : Une droite AB (Gg. 57) est appuyée sur une horizontale AC et contre une verticale GB. Elle porte en G un poids P. On demande quel effort Q il faudra exercer en A suivant AG pour empêcher ce point de glisser.

11 faut que les forces qui agissent sur la droite AB puissent se décomposer en deux forces perpendiculaires aux deux plans en A et en B. La résultante R des deux forces P et Q ou Da et Db transportées en D doit pour cela passer par le point de rencontre Ë des deux perpendiculaires AE et BE, ce qui exige que Ton ait

«. ^ . -, . ^ .. » ^ ^AD ^AG.AG P:Q = AE:AD, d'où Q = P êc ^^ÂbTbC '

à cause de la proportion