AD:AG = AG:AB

Enfin si une sphère homogène pesante est en équilibre dans Tintérieur d*un angle trièdre tourné vers le haut, il est visible que, dès que la sphère sera en contact avec les trois plans, les trois pressions seront renfermées dans trois rayons perpendiculaires aux trois plans du trièdre et par conséquent, en considérant le poids de la sphère comme une force verticale appliquée au centre, cette force pourra être décomposée en trois autres dirigées suivant ces trois rayons, ce qui assure l'équilibre. On détermine les pressions en construisant un parallélipipède dont les trois arêtes soient dirigées suivant trois perpendiculaires aux faces du trièdre et qui ait le poids pour diagonale.

Si la sphère pesante n'était pas homogène, la force verticale représentant le poids ne serait plus dirigée vers le centre dans toutes les positions, tandis que les pressions sont toujours dirigées dans le sens de trois rayons. La décomposition ne pourrait donc pas toujours avoir lieu et par conséquent il n'y aurait pas toujours équilibre. Gela n'arrivera que lorsque la sphère aura été tournée de telle manière que la force verticale qui représente le poids, passera par le centre.

Considérations générales sur les centres de gravité. — Détermination physique du centre de gravité. — Centre de gravité d*un système de corps. Centre de figure. — Centre de gravité d'une ligne courbe. — Centre de gravité d'une surface courbe. Surface plane. Triangle. — Centre de gravité d'un secteur de cercle. Segment de cercle. — Centre de gravité d'une surface de révolution. — Centre de gravité d'un corps de forme quelconque. — Centre de gravité de certains corps de forme particulière. — Centre de gravité du tétraèdre. — Centre de gravité du secteur sphérique. — Usage de la théorie du centre de gravité en géométrie. — Théorèmes de Guldin.

52. Considérations générales sur le centre de gravité. — La pesanteur ou gravité est la force en vertu de laquelle tous les corps tendent à se précipiter vers le centre de la terre. Cette force attractive qui agit sur toutes les molécules d'un corps est donc dirigée normalement à la surface de la terre supposée sphérique. Il suit de là que ces forces ne sont pas rigoureusement parallèles pour les différents éléments d*un même corps; mais la petitesse de celui-ci, relativement aux dimensions du globe terrestre, permet d'admettre sans erreur sensible que la direction de la pesanteur pour tous les points d'un même corps reste parallèle.

On verra plus loin que l'intensité de la pesanteur varie avec la latitude et avec la distance au centre de la terre ; mais comme les variations ne sont appréciables que pour de grandes différences en latitude et en hauteur, on peut la regarder comme constante pour tous les points d'un même corps.

Remplaçons par leur résullantc les attractions exercées par la terre sur toutes les molécules dans lesquelles un corps pesant de forme quelconque peut être divisé; comme ces composantes sont parallèles entre elles et verticales, leur résultante est elle-même verticale, égale à leur somme et appliquée au centre des forces parallèles. Cette force unique s*appelle ici poids du corps et le centre des forces parallèles prend le nom de centre de gravité. Il suit de là que le poids d'un corps est indépendant de sa forme et ne dépend que du nombre de ses éléments, c'est-à-dire de sa masse. On voit aussi que si Ton compare différents corps homogènes entre eux^ les poids seront proportionnels aux volumes, puisqu'en les concevant divisés en molécules identiques, les poids seront proportionnels aux nombres de molécules , proportionnels eux-mêmes aux volumes.

L'observation fait voir que des corps sous le même volume n*ont pas toujours le même poids; la force attractive de la terre n'est donc pas la même pour un même volume pris dans tous les corps. Quelle que soit la cause de cette différence, on l'attribue à ce que sous un même volume les différents corps ne contiennent pas la même quantité de matière ou la même masse. Deux masses sont considérées comme égales si leurs poids sont les mêmes, en sorte qu'on peut juger de la masse d'un corps par son poids.

Il résulte de là que si Ton nomme P, M, g le poids, la masse et le

poids de l'unité de masse que nous appellerons gravité, ou plutôt le

nombre d'unités de poids contenu dans un corps, le nombre d'unités

de masse et le nombre d'unités de poids qui agit sur l'unité de masse^

on aura

P = Mg.

Pour les corps homogènes on peut aussi, d'après ce qu'on a vu plus haut, poser

P, &> et V étant le poids du corps, le poids de son unité de volume ou sa pesanteur spécifique^ et son volume ou le nombre d'unités de volume qu'il renferme. Si l'on représente par D la masse d'un corps homogène sous l'unité de volume ou la densité^ on aura aussi