M = DV
et par conséquent
Telles sont les relations qui existent entre P, M, V, g, D et o).
53. Déterminaîion physique du centre de gravité, — Il résulte de la définition que nous avons donnée plus haut du centre de gravité que si ce point est rendu fixe, le corps soumis k la seule action de la pesanteur restera en équilibre dans toutes les positions. On voit aussi que, quand un corps a un point fixe, autre que le centre de gravité, il faut pour Téquilibre que ce point et le centre de gravité soient situés dans une même verticale; si donc on suspend un corps pesant par un fil attaché à l'un de ses points, ce fil prolongé par la pensée devra passer par le centre de gravité, quand le corps sera immobile. Cette remarque fournit un moyen pour déterminer expérimentalement le centre de gravité d'un corps, quelles que soient sa forme et sa nature, puisqu'il suffit de le suspendre dans deux positions pour connaître deux droites renfermant ce centre.
Gomme la résultante produit le même effet que les composantes, on peut dans toutes les questions d'équilibre, faire abstraction de la pesanteur des différentes parties d'un corps, en joignant aux forces qui lui sont appliquées une force égale à son poids et appliquée au centre de gravité.
54. Centre de gravité d'un système de corps. Centre de figure. — Lorsqu'on connaît les centres de gravité G' et G" de deux parties d'un corps et leurs poids respectifs F et F', il est facile de déterminer le centre de gravité G du corps entier; car si l'on joint ces deux points G' et G" par une droite, on peut considérer les poids P' et P" des deux parties comme des forces parallèles appliquées aux extrémités de la droite G'G", et une proportion suffira pour déterminer le point d'application G de la résultante ou du poids total. De même si l'on connaît le centre de gravité G du corps entier et celui G^ de l'une des parties, ainsi que les poids P et P' du corps entier et de l'une des parties, il sera facile de déterminer le centre de gravité de l'autre partie, puisqu'il suffira de décomposer la force P en deux autres forces parallèles dont l'une soit P' appliquée en G^ En général si un corps est divisé en un nombre quelconque de parties dont on connaît les poids et les centres de gravité, une composition de forces parallèles représentant ces poids fera connaître le centre des forces parallèles ou le centre de gravité du corps entier. En faisant usage de la théorie des moments et en désignant par p, p', p".... les poids des différentes parties du corps, par (xt/z), {a/y'zf)y (a/yV).... les coordonnées de leurs centres de gravité, par P le poids du corps entier, et par (x, y, z,) les coordonnées du centre de gravité du corps entier,
on aura
px -f- p'x' -+■ p'V -+- etc. py -♦- p'y^ -*- etc.
pz -+- p'z' -H etc. ^ , „
Zf = - i-— J P = /i -H p + p" -+- etc.
Les remarques faites au N® ^2 sur la position du centre des forces parallèles dans certains cas particuliers sont applicables au centre de gravité. Ainsi si les centres de gravité des différentes parties dans lesquelles un corps peut être décomposé sont renfermés dans un même plan , le centre de gravité du système sera aussi situé dans ce plan. Si tous les centres de gravité sont dans une même ligne droite, celle ci contiendra aussi le centre de gravité cherché. Gomme on a toujours
p = mg, p' = m'g, P = M,9,
on peut remplacer p, p'.... P par leur valeur et supprimer le facteur commun g\ on voit donc que [x, y, zj ne dépendent que des masses et sont indépendants de l'intensité de la gravité; il en est donc ainsi de la position du centre de gravité.
Si les corps sont homogènes et ont la même pesanteur spéci- (ique &), on a
P = oi)V, p «==&>!;, p'=wt/....,
et les valeurs de (x^ y^ z^) deviennent
, ,, vx -+- t/x' -+- t/V -4- etc. V=ii;-4-i/-+-i/'-+- etc., Xf == >
vu -4- l/t/' -+- V"v" -♦- etc. VZ -4- t/z' -4- t?"z" -4- CtC.
Les produits Vx, vx, vy etc. se nomment par analogie moments des volumes V, v.... par rapport aux plans coordonnés. On voit que les coordonnées (x, y, z,) du centre de gravité ne dépendent plus dans ce cas que des volumes des différentes parties du système et nullement de la densité de la matière; il resterait donc le même si la matière disparaissait. On le nomme alors centre défigure du volume ou centre des moyennes distances, et si on le nomme encore quelquefois centre de gravité, c'est que par la pensée on y introduit de la matière en la répartissant uniformément dans le volume. Ainsi quand on cherchera le centre de
G8 CUAPITRE VI.
gravité d'une figure géométrique, on pourra substituer à celle-ci un corps homogène ayant cette figure géométrique pour limite. S'il s'agit du centre de gravité d'une surface, on pourra considérer celle-ci comme matérielle en lui donnant une épaisseur uniforme et infiniment petite. S'il s'agit d'une ligne^ on pourra y substituer un corps homogène ayant une largeur et une épaisseur infiniment petites et uniformes.
Le centre de gravité ou le centre de figure est souvent connu sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours à une opération pour le déterminer. C'est ainsi que pour la sphère, l'ellipsoïde de révolution, le parallélipipèdc, le cylindre droit, etc., la symétrie fait immédiatement connaître la position de ce point, pourvu que ces corps soient homogènes. Il en est de même de la ligne droite, de la circonférence et de l'aire du cercle, de la surface de l'ellipsoïde, du parallélogramme ainsi que de toute figure ayant un centre, c'est-à-dire dans laquelle toute droite passant par un point y est divisée en deux parties égales.
Connaissant le centre de gravité d'une droite, il est facile de déterminer le centre de gravité du contour d'un polygone, puisqu'on peut remplacer les poids des côtés par des poids proportionnels aux longueurs des côtés, appliqués aux milieux de ces côtés.
Si l'on connaissait le centre de gravité d'un triangle et d'un tétraèdre, on déterminerait facilement le centre de gravité de l'aire d'un polygone et du volume d'un polyèdre , puisqu'on pourrait décomposer ceux-ci en triangles et en tétraèdres que l'on remplacerait par des poids pro* portion nels à leurs aires ou à leurs volumes et appliqués à leurs centres de gravité respectifs. Pour les figures autres que les précédentes, on est en général obligé d'avoir recours au calcul.
55. Centre de gravité d'une ligne courbe. — Occupons-nous d'abord des centres de gravité des lignes courbes et désignons par s un arc quelconque d'une courbe compté à partir d'un certain point fixe A jusqu'au point quelconque M dont les coordonnées sont (x y z). Soit ds l'élément de la courbe qui termine l'arc au point (x y z); les coordonnées de ds sont donc (x, y, z). Appelons { la longueur de la partie de la courbe dont on veut avoir le centre de gravité {x, j/fZ,)^ et a^ et ^' les valeurs de s aux deux extrémités de {. Les moments de l'élément ds par rapport aux trois plans coordonnés sont xds, ydSyZds\ les sommes de ces moments étendues à la portion / de la courbe, c'estù-^dire prises entre les limites s' et s"j sont donc
.5" ,S" fS"
\ xds, \ yds, \ zds.
is" h' h'
Ces intégrales déGnies représentent les sommes des moments des éléments ds; or on sait (N® 54) que pour un eorps quelconque chacune de ces sommes est égale au moment du corps entier qui ici est Tare /; on à donc
f5" /•«" fS"
/x, = 1 xds , ly,= \ yds , iz/ = 1 zds, Jsf h' Js^
ou bien en remplaçant ds par sa valeur et en désignant par (n/, y', «'), (x", y", 2") les coordonnées des deux extrémités de Tare /,
te,= 5%y/lH-(gJ-.(gyrfz. /y,= e.c.
dx d'où Ton tire les valeurs de (x^y^z,) en remplaçant Xfty,z,— >
ilz
dy
-p-par leurs valeurs en z tirées des deux équations de la courbe, et en
déterminant / par la formule
'HV-(ë)'*(i)*-
Si au lieu de Télément linéaire ds de la courbe on avait introduit dans ces équations le volume de Télémcnt matériel représenté par (ùds, cd désignant Taire d'une section transversale de la courbe, {aurait dû être remplacé par co/, ds par oidsy et le facteur constant co disparaîtrait comme facteur commun.
Pour un arc d'hélice dont les équations sont (voir Cours d'analyse j 2™'' édition, N» 9i)
il vient
a; s= r sin — > t/ = r cos — > ar av
fxds ri/1-HO-f . z , r^yi-^a^/ z' z"\
'^~ =-^- \ sin — az= — - — ; ( cos cos~ )
/ al ) ar ^ \ «'* «V
xi—u" x"— a/ z'-+-z" '
70 CBAPIIRE VI.
Lorsque la courbe est plane, on sait (milieu de 54) que son plan consent le centre de gravité de la courbe, et eu prenant ce plan pour celui des (XYj, les deux premières équations suffiront pour déterminer ce point. On trouve alors
"'-Ùk/
Prenons pour exemple la cycloïde. Son équation différentielle est (voir le Traité d'analyse â™* édition, N° 61)
ydy
dx =
/2at/ — 1/«
Pour simplifier les résultats, transportons Torigine des coordonnées au sommet, en remplaçant x e% y par ai: — y et âa — x, ce qui transforme Téquation dans la suivante
- (î2a — x) dx
dy= ,
y^ax—x^ et Ton trouve
<=( \/-^(ix=2/iï^(x'''~x''^^
x%/ — dx = l /2âx dx =3- /â^(a/'' — x'V , X ▼ ^ X
fX" /^ .x" ,
/«/,= ! y W —dx=j/2al f/x ''dx
= /â^rây'x" * -+- ^ (2a — x") * -2yx' * — ^ (2a — xV I •
Cette dernière valeur s'obtient en intégrant par parties la différen*
tielle t/.x *dx et en remplaçant dy par sa valeur tirée de Téquation
différentielle de la courbe.
Si la courbe plane était symétrique des deux côtés d'une droite , celle-ci renfermerait nécessairement le centre de gravité, et en la prenant pour axe des Y, la seconde équation suffirait pour fixer la position de ce point. Prenons pour exemple un arc de cercle ÂB (fig. 58] d*un rayon r. L'axe des Y étant la perpendiculaire OC sur la corde ÂB représentée par Sj/, les valeurs extrêmes de x seront -h ar et — a/, et la position du centre de gravité G sera donnée par
dans laquelle / désigne Tare ÂB. Cette valeur apprend que la distance 00 est une quatrième proportionnelle entre /, r et la corde 2x'.
56. Centre de gravité d'une surface courbe. Surface plane. Triangle, — On sait qu'en représentant par [xyz) les coordonnées d'un point d'une surface rapportée à des axes rectangulaires, l'élément de celle-ci
est dxdy \ / i -^ ( — ) -+-( — ); si donc on représente par X la portion de surface dont on cherche le centre de gravité, on aura
les limites de l'intégrale double étant celles de la surface X. Le moment de cet élément par rapport au plan des YZ est
xrfxrfyY/^-(|J-(|y'
et si l'on représente par (x,t/,z,) les coordonnées du centre de gravité de X, on aura en étendant l'intégrale double à la surface A entière,
Xx, = //x d.dy y/ i -H (g)V (g)* .
On aura de même
72 CBAPITRE VI.
Si la surface avait ëlc considérée comme matérielle et par conséquent comme ayant une épaisseur uniforme très petite u, il aurait fallu rem-
placer Télément superficiel dxdy \/ ^"^{t~) '*"(t') P*** ^é^é-
ment de volume w dxdy \/ ^'+'(j")-+'("7") j^' comme à la
surface X il faudrait substituer le volume (oX, il est visible que le
facteur commun eo pourrait être supprimé et que rien ne serait changé
aux valeurs de (x,y,z,). *
Quand la surface est plane^ si Ton prend son plan pour celui des (XY),
dz dz les quantités z* z,, -r-ct-r- sont nulles, et il vient, en étendant les in-
dx dy
tégrales doubles à la surface plane entière,
^ =ffdjcdyy hc, =ffxdxdy, hj, ^ffydxdy.
Supposons, par exemple, qu'on veuille connaître le centre de gravité de la surface plane BMGM' (lig. 59). Pour fixer les limites des intégrales, je remarque qu'à une même abscisse x ouÂP correspondent deux ordonnées PM et PM' ou y et y' et que l'intégration par rapport à y doit par conséquent cire effectuée depuis y = MPJusqu'à y -=M'P=y' et ensuite celle par rapport à x, depuis x = AB' = a jusqu'à x = AC = ^; or les valeurs précédentes peuvent être mises sous la forme
A = /(/x/dy, )jc, = /xdx/dy, Ay, == / dx / ydy ; il vient donc
±—^dx.
Après avoir remplacé y et y' par leur valeur en x, il faudra intégrer de nouveau depuis a jusqu'à |3, et il viendra enfin
> = \ [y — lf)àx, lx,^\ (y— yOa:rfx, Xy,= j i^— ^rfx,
qui serviront à déterminer les valeurs de x, et de y,. Si la surface MM'N'N (fig. 40) était limitée par deux courbes quelconques MM' et NN' et deux ordonnées MP et M'F, les équations précédentes seraient encore applicables et il faudrait tirer des équations des deux courbes
les valeurs de y et y' en fonction de x et intégrer ensuite entre les limites a et (3 ou OP et OF.
Quand la courbe NN'se confond avec Taxe desX dont l'équation est y = 0, il vient pour la surface MM'PP'i
i = l ydx, >Jc,= l xydx, ly, = -\ y^dx.
On parvient directement à ces formules en concevant la surface MM'N'N divisée en un nombre infini de bandes infiniment minces mtnln'n^ dont Taire est mesurée par (y — yf) dxy et dont la somme 1 est représentée par l'intégrale
\ (y-y')dx.
Comme les moments de la bande mm^n'n par rapport aux axes des Y et des X sont (y — y') dx h- Op = (y — \/) xdx et (y — y') rfx ^ — ^
= (y — y') ^^ -^^-^ =^ T^ rfx, on a aussi
'>^, = f{y — '!f)xdx et ).y, == i ^£-dx.
Appliquons ces formules à la détermination du centre de gravité d'un triangle OMN (fig. 41). Si l'on prend le sommet 0 pour origine et la perpendiculaire OP sur MN pour axe des X , cette recherche se réduit à trouver le centre de gravité de l'aire comprise entre les lignes OM et ON limitées en 0 et en MP ; posons donc
Op = x, pm = y, pn=^y\ OP=:A, MP=6, NP=6';
les équations des deux lignes OM et ON seront
et il viendra en substituant et en intégrant,
74 CHApirnE vi.
On conclut snns peine de ces valeurs de x, et y, que le centre de gravite G est pincé sur la droite qui joint le point 0 au milieu A de la base MN et aux deux tiers de OA à partir du point 0. La même proposition peut être dëmontrëe sans calcul intégral; en effet si Ton conçoit le triangle OMN divisé en tranches infiniment minces telles que mn parallèles à la base MN , les milieux de toutes ces tranches seront évidemment placés sur la droite OA qui joint le sommet 0 au milieu A de la base MN; d'où Ton est en droit de conclure (N"* 54) que le centre de gravité du triangle OMN est placé lui-même dans cette droite OA , puisque les milieux de mn ne sont autre chose que les centres de gravité de ces tranches. En second lieu, en joignant les sommets A et B (fig. 42) aux milieux D et E des côtés opposés, les deux droites AD et BE devant contenir le centre de gravité, celui-ci est déterminé par Tintersection G; or si Ton joint les points E et D, la droite ED est parallèle à AB, parce qu'elle coupe AC et BC en parties proportionnelles, les triangles EDG et AGB sont donc semblables et comme ED est la moitié de AB, DG est aussi la moitié de AG, comme on l'avait déjà vu.
Ce qu'on vient de voir donne lieu k deux remarques qui peuvent être utiles. Si l'on suppose le triangle ABC sans pesanteur et qu'aux trois sommets A, B et G on place trois sphères homogènes égales, le centre de gravité de l'ensemble de ces sphères coïncide avec celui du triangle; car la résultante des poids C et B est un poids double placé au milieu D de CB, et la résultante de A et du poids double D divise AD dans le rapport de 2 à 1.
La seconde remarque consiste en ce que, si l'on rapporte les sommets du triangle à deux axes rectangulaires renfermés dans son plan, les coordonnées du centre de gravité sont les moyennes arithmétiques des coordonnées des trois sommets, ce qui se démontre très facilement en égalant la somme des moments des (rois poids égaux au moment de la résultante. G'est cette propriété qui a fait donner quelquefois au centre de figure le nom de centre des moyennes distances.
57. Centre de gravité d'un secteur de cercle. Segment de cercle. — On conclut aussi de là la position du centre de gravité du secteur de cercle AOB (fig. 45); car si on le divise en un nombre infini de triangles égaux et infiniment petits, ayant pour sommet commun le centre 0 et pour bases les éléments égaux composant Tare de cercle AB, tous ces triangles auront évidemment leurs centres de gravité répartis uniformément sur un arc de cercle CD décrit du point 0 avec un ravon
égal aux deux tiers de OÂ. En remplaçaiil donc les triangles, considérés comme pesanls, par des poids équivalents placés à leur centre de gravité, il est clair que tous ces poids réunis formeront un arc pesant CD dont le centre de gravité G coïncidera avec celui du secteur. Or ou a vu (N* 55) que
OC . corde CD
arc CD
on a donc aussi, en remplaçant OC, arc CD et corde CD par leurs va-
leurs-OA, -corde AB, -arcAB,
^^ 2 0A.cordeAB 3 arc. AB
Pour avoir le centre de gravité du segment de cercle ABFA placé évidemment dans la flèche OF, désignons par x, x^ x" les distances au point 0 des centres de gravité du triangle ABO, du segment AFBA et du secteur AOBF, et par S, S' et S" les surfaces de ces trois figures. En les considérant comme remplacées par des poids proportionnels appliqués aux centres de gravité respectifs renfermés tous trois dans OF, la théorie des moments donne
SxH-SV==SV; or on a évidemment
S" = S-+-S', x=-OH=-A, S=-A. cordeAB=-Ac,
S"=l0A.arcAB = ^a/, x" = — -• 2 2 3^
En substituant ces valeurs dans Téquation des moments, on trouve
4a' sin' — , 2c (o' — h^) ^ çg ^ i 2a
^ "~ Zlal—hc) "" 6 al'-kc'^ 3 , . / '
^ ' l — asin-
Cette dernière valeur s'obtient en remarquant que Ton a
c = 2a sin —- ) A = a cos ^r- • 2a 2a
76 CBAPITAE VI.
58. Centre de gravité d'une surface de 7'évolution, — Lorsque la surface est de révolution et limitée par deux plans perpendiculaires k Taxe de figure, on a déjSi vu (N"" 54) que le centre de gravité est placé dans cet axe, et on détermine sa position Sans avoir recours aux formules générales, par les considérations suivantes : soit S une portion d'une semblable surface comprise entre deux plans perpendiculaires à Taxe que nous prendrons pour axe des X; appelons a, ^ et les x, distances de ces deux plans et du centre de gravité à Torigine des coordonnées, et décomposons l'arc de la courbe génératrice s en éléments ds ; chacun de ces éléments en tournant autour de Taxe des X engendre une zàne circulaire ayant y pour rayon et dont la surface dS est représentée {Traité d'analyse 2'"<' édition, N"" i54) par
rfS = ^nyds =» âîryrf on a donc
s 2.jV07M.
et comme toutes ces zdnes symétriques autour de Taxe des X ont leurs centres de gravité placés dans cet axe, celui-ci contient aussi le centre de gravité de la surface entière, dont la distance x, à l'origine se trouvera en égalant le moment de la surface entière à la somme des moments des zones, c'est-à-dire en posant
Sx,= 2.j^Wxy/77^
L'intégration pourra se faire lorsqu'on aura remplacé y par sa valeur tirée de l'équation de la courbe génératrice.
Appliquons cette formule à la recherche du centre de gravité d'une zone sphérique. On trouve dans ce cas
y = |/a«— xS S = î27r\ [/g» — x* — - = 27ra (3 — a),
* Sx,= 27rf xy— =-7ra(l3*-a*), a:, = i(p + a), J a, *f
c'est-à-dire que le cenlre de gravité se trouve au milieu de la hauteur de la zone.
Proposons-nous encore de trouver le centre de gravite d'une zone de la surface décrite par une cycloïde tournant autour de son petit axe. On sait que l'équation de la cycloïde rapportée à son sommet est
, (2a — x) dx j/2ax — X*
et on trouve, en intégrant par parties et désignant par xy et x'^y" les
valeurs extrêmes de (x, t/], et par U la différence des valeurs de
U correspondant à deux limites xf et x'',
C^' /ia /— r^' -1
S = 27rl ydx\/ — =27rj/2aV yx *dx
= 47rj/2o yx*H--(2a — x)* ,
/•x" /^ fX" 1
Sx, = 27r\ xy\/ — rfx => 27r |/2â i yx*dx Jx' V ^ Jx'^
ra 1 2 1 "ix" L r - 2 -/A \~I
En considérant un cône droit comme engendré par une droite tournant autour de Taxe des X, on reconnaît que le centre de gravite de sa surface est placé dans l'axe, à un tiers de la hauteur à partir de la base.
On arrive au même résultat en considérant la surface conique comme composée d'un nombre infini de triangles ayant pour sommet commun le sommet du cône et pour bases les éléments égaux qui composent la circonférence du cercle servant de base au cône. Tous ces triangles ont leurs centres de gravité placés aux deux tiers de la hauteur de ces triangles, à partir du sommet ; tous les centres de gravité sont donc distribués uniformément le long d'une circonférence tracée sur la surface conique, distante du sommet des deux
78 CHAPITRE Vî.
tiers de son côté. On peut donc remplacer le poids de cette surface par le poids de ce cercle dont le centre est le centre de gravité du cône.
59. Centre de gravité d'un corps de forme quelconque. — Proposons-nous maintenant de trouver le centre de gravité d'un corps de forme quelconque. Appelons M sa masse qui peut être homogène ou hétérogène; divisons-la par des plans parallèles aux plans coordonnés en un nombre infini d'éléments infiniment petits dm et désignons par {xyz) les coordonnées de Tun de ces éléments, par p sa densité et par dv son volume, c'est-à-dire dxdydz. Les moments de dm par rapport aux trois plans coordonnés seront xdm^ ydm ^ zdm^ ou, en observant que dm est égal à pdv (N** 5â), pxdxdydzy pydxdydz^ pzdxdydz^ et les sommes des moments de tous les éléments seront représentées par les trois intégrales triples
/// pxdxdydz , /// py dxdydz , /// pzdxdydz ,
les limites de ces intégrales étant prises de manière à embrasser le corps entier.
Si l'on appelle [x^y, z,) les coordonnées du centre de gravité, ces moments doivent être égaux à Mx,, My, , Mz, (N"" 54); on a donc
M = /// pdxdydz , Mx, = /// pxdxdydz ,
^y, ^ /// ?y dxdydz , M«, = /// pzdxdydz.
Si le corps est hétérogène et si la densité varie d'une manière continue, p sera fonction de [xyz). Si le corps est homogène, p sera constant et pourra sortir des signes d'intégration, M pourra être remplacé par pV, V désignant le volume du corps, et il viendra
y =fff dxdydz, \x,^fffxdxdydz, \y,==^ fffydxdydz,
yz,=fffzdxdydz.
La marche à suivre pour effectuer ces intégrations est la même que celle qui conduit aux cubatures des corps quelconques [Traité d'analyse^"^^ édition, N" 156). Ainsi, si l'on cherche le centre de gravité d'un corps limité par une surface plane ayant pour équation
2 =3 ox + 6 1/ -f- c ,
par les trois plans coordonnés et par deux plans parallèles aux XZ el YZ et distants de y' et x', on trouve
