V-=^xy(ax'+6yH-2c

60. Centre de gravité de certains corps de forme particulière. — Lorsqu'un corps peut être décomposé en éléments de forme connue ayant leurs centres de gravité respectifs sur une même droite, une intégrale simple suffit pour déterminer son centre de gravité; en effet on conclut de cette circonstance que le centre de gravité du corps entier est placé dans cette droite, et si l'on désigne par dm la masse de Tun de ces éléments, par x la distance de son centre de gravité à l'origine, par M la masse du corps entier, et par x, la distance du centre de gravité de celui-ci à l'origine, on a

M == yrfwt , Mx, = fxdm ,

intégration qu'on pourra effectuer dès qu'on connaîtra la loi suivant laquelle varie dm avec x. Qu'il s'agisse, par exemple, de trouver le centre de gravité du corps de révolution engendré par l'aire MM' NN' (fig. 40) limitée par deux courbes MM' et NN' et deux ordonnées MP et M'P', tournant autour de l'axe des X. Si l'on divise ce corps en tranches circulaires mm'n'n^ d'une épaisseur pp' ou dx et ayant leur centre de gravité en p, en désignant par (xt^) les coordonnées du point m et par (x?^') les coordonnées de n, le volume de cette tranche sera tt (y' — y'*) dx, la masse p?: (y* — y'*) rfx, et le moment pTTx (y' — y^) dx\ il vient donc, en désignant par a et |3 les abscisses extrêmes de OP et OP',

M=p7ri (y^-y'')dx,

Mx, = p?: i X (y* — y"j dx, Jeu.

80 CDAPITRB VI.

Ces intégrations pourront être effectuées dès qu'on connaîtra les valeurs de y et y' en fonction de x , c'est-à-dire dès que les courbes MM' et NN' seront données. Si la courbe NN' se confondait avec Taxe PFy il faudrait faire yf nul, et le centre de gravité du corps engendré par MM' FP serait déterminé au moyen des deux équations

M = pTT V y^dXj Mx, = pîr I xy^dx.

Le même procédé fait connaître la position du centre de gravité d*un cône à base quelconque ou d'une pyramide homogène. Il est évident que si on la divise en tranches infiniment minces et parallèles à la base, toutes ces tranches seront semblables et auront leurs centres de gravité respectifs placés sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, puisque toutes ces sections parallèles sont rencontrées par cette droite dans des points homologues. Or, si l'on désigne par B la base, par X l'aire d'une section quelconque ayant son centre de gravité distant du sommet d'une quantité X, et par h la droite menée du centre de gravité de la base au sommet de la pyramide, comme les aires des sections semblables sont proportionnelles aux carrés des droites homologues, il vient

B:X = A«:x« d'où X=~x«.

hr

En désignant par dx la portion de la droite h conlprise entre deux sections consécutives et par a l'angle constant que forme cette droite h avec toutes les sections parallèles, sin a.e/x sera l'épaisseur, de la tranche, X sin cndx son volume, pX sin adx sa masse et pXx sin adx le moment de sa masse par rapport au sommet. On aura donc

f* , pB f* , pB

M = V pXsin aax = ^8in a V x-crx = !^A sin a,

Jq '^ Jo ^

Mx, = V pXx sin adx = P 7^ sin a I x'dx = p - A« sin a,

et par conséquent

x,==îfc.

c'est-à-dire que le centre de gravité d'un corps pyramidal est placé sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, aux trois quarts de la longueur de cette droite à partir du sommet,

6i. Centre de gravité du tétraèdre. — La proposition précédente peut être démontrée sans calcul intégral par des considérations purement géométriques; en effet, dans le tétraèdre A BCD (fig. 44), le centre de gravité se trouve (d'après ce qu'on vient de voir, N° 60) sur la droite qui joint un des sommets D ou C au centre de gravité F ou F' de la face triangulaire opposée; il se trouve donc placé au point d'intersection G de ces deux droites. Or, si l'on mène la droite FF', celle-ci sçra parallèle à CD, parce que, par hypothèse, EC et ED sont triples de FE et F'E; d'où il résulte que CD est triple de FF', et comme les triangles DGC et FGF' sont semblables, DG est aussi triple de GF, ce qui vérifie pour la pyramide triangulaire la proposition énoncée à la fin du numéro précédent. On étend ensuite la démonstration à une pyramide homogène k base quelconque, en remarquant que si l'on divise la base en triangles et par suite la pyramide en tétraèdres ayant pour bases ces triangles, les centres de gravité des tétraèdres seront tous renfermés, d'après ce qu'on vient de voir, dans un plan parallèle à la base et distant de celle-ci du quart de la hauteur de la pyramide; ce plan contient donc le centre de gravité cherché. D'un autre côté, en concevant la pyramide divisée en tranches parallèles à la base^ on fera voir comme au numéro précédent que le centre de gravité est renfermé dans la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base ; d'où il résulte que ce point est déterminé par l'intersection de cette droite et du plan parallèle^ point qui occupe évidemment la position indiquée à la fin du numéro précédent. Enfin comme celte proposition est indépendante du nombre de cdtés du polygone qui forme la base de la pyramide, elle sera vraie encore à la limite, lorsque le polygone deviendra une courbe quelconque.

En suivant la même marche qu'à la fin du N*" 56, on conclut facilement du théorème sur le centre de gravité du tétraèdre les propositions suivantes : Si aux quatre sommets d'un tétraèdre homogène on place quatre sphères égales, le centre de gravité de ces quatre sphères se confond avec celui du tétraèdre.

Le centre de gravité du tétraèdre est placé au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées.

Les trois droites qui joignent deux à deux les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre viennent passer par un même point qui n'est

Hz CBAPITRS VI.

avtre que U centre de gravité et s'y coupent mutuelUment en deux parties égatet.

La distance du centre de gravité à un plan est égale d la moyenne arilhtnélique des distances des quatre sommets d ce plan.

63. Centre de gravité du secteur iphérique. — On peut trouver sans calcul le centre de gravité d'un Ecclenr spbërîque, car si l'on conçoit la zâne sphërique divisée en un nombre infini de Tacettes infiniment petites équivalentes, et par suite, le secteur spliérique lui-même décomposé en un nombre infini de pyramides équivalentes, ayant pour bases les éléments dans lesquels la z&ne a été divisée et pour sommet commun le centre de la sphère, ces pyramides auront évidemment leurs ceutres de gravité placés dans les rayons menés aux centres des différentes facettes, aux trois quarts de ces rayons à partir du sommet; ces centres sont donc répartis uDiformémenl sur une xdnesphérique concentrique à la première et ayant un rayon égal aux trois quarts de celui du secteur et si l'on remplace par la pensée chaque pyramide par un point matériel pesant appliqué à son centre de gravité , tous ces points matériels formeront une idne spfaértque pesante dont le centre de gravité se confondra avec celui du secteur. La recherche do centre de gravité d'un secteur sphérique est ainsi ramenée h la détermination du centre de gravité d'une zdne sphérique semblable i la zdnc donuée et ayant un rayon égal aux trois quarts de celui du secteur.

Connaissant le centre de gravité d'un secteur sphérique homogène,

on en déduit le centre de gravité d'un segment sphérique; en effet g

étant le centre de gravité du cAne OAB (fig. 4S} , g' celui du secteur

sphérique OACB ou pluldt de la adne aeb qui en lient lieu et dont

le rayon forme les trois quarts de OA, e( ^' celui du segment ACBA ,

si l'on considère le cAne, le secteur et le segment comme remplacés

iu>i> A^ luiiiic Ânningients suspcudus k leurs centres de gravité respee-

j poids du secteur suspendu en </' sera égal \ la

« des poids du cdne et du segment suspendus en g

ut par V, V et V" les valeurs de ces trois corps,

V" = V' — V Off'.V'^Oj.V-t-Oj-.V",

d'où l'on tire

Og"=

(0,H-;gc)v>-|0D.V

en remarquant que g, est au milieu de gc et que Og et gc sont égaux

à-OD et -DC.

63. Usage de la théorie du centre de gravité en géométrie. Théorèmes de Guldin. — La théorie du centre de gravité est utile en géométrie pour mesurer les surfaces et les volumes des corps de révolution; en effet, en désignant par (x,y) les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe plane et par ds Télément de cette courbe, on sait que la surface S du corps de révolution, engendrée par la rotation de cette courbe autour de Taie des X, a pour expression

S «= âTT i ydsy

ix! et x'' étant les abscisses des deux points extrêmes de la courbe génératrice; or si Ton détermine l'ordonnée y, du centre de gravité de cette courbe, on a aussi (N"" 59)

iy.=\

yds,

l étant la longueur de l'arc de courbe. En rapprochant ces deux équations, on trouve

S = 27ry,/;

la surface de révolution est donc égale au produit de la circonférence 2ny, que décrit le centre de gravité de la courbe par la longueur l de cette courbe.

Si l'on fait tourner autour de l'axe des X la surface plane MM'N'N (fig. 40) comprise entre deux courbes et limitée par deux ordonnées correspondant aux abscisses x et a/', on obtient un corps de révolution dont le volume a pour expression (voir le Traité d'analyse 2"»« édition, NH 53)

84 CBAPITRB VI.

Or, en désignant par y, l'ordonnée du centre de gravité de la surface plane comprise entre les deux courbes et par S cette surface, on a aussi

la valeur de V devient donc

c'est-à-dire que le volume d'un corps de révolution est donné par le produit de la surface plane génératrice S par la circonférence ^Tzy, que décrit son centre de gravité.

Les deux théorèmes qui précèdent sont dus au géomètre Guldin et en portent le nom. On appelle méthode centrobarique cette manière de faire dépendre la mesure d'une surface et d'un volume, de la position de leur centre de gravité.

On peut aussi faire dépendre le volume d'un prisme droit tronqué ou d'un cylindre droit tronqué, de la position du centre de gravité de la base; en effet, si l'on divise cette base en éléments quelconques e et qu'on conçoive le corps divisé lui-même en prismes ayant les e pour bases et z pour hauteur, le volume de l'un des prismes élémentaires sera zs et le volume entier V ,

D'un autre cdté, si l'on désigne par 6 Tinclinaison de la base oblique

supérieure du prisme sur la base inférieure, r sera la section

'^ ^ cos 0

oblique de l'un des prismes élémentaires ayant s pour base, et r-

son moment par rapport à la base; en désignant donc par B' l'aire de cette base oblique et par z, la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur la base inférieure, on aura

B'Z, B= \ — 1-= '^fzt = T->

j cos 0 cos 0 cos G

et par conséquent

V = ie,B'cos0,

OU plutôt en désignant par B la base inférieure,

V = Bz,

c'est-à-dire, que le volume d'un prisme ou cylindre droit tronqué est donné par le produit de l'aire de la base par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base oblique sur l'autre b<ise»

Il est à remarquer que le centre de gravité de la base oblique se projette sur la base droite au centre de gravité de cette dernière, ce qui se démontre facilement en cherchant les distances des centres de gravité de ces deux bases à deux plans XZ et YZ parallèles aux génératrices du cylindre et Ton conclut de là que le volume d'un cylindre tronqué par les deux extrémités est donné par le produit de sa section droite par la distance des centres de gravité des deux bases.

Équilibre d*un système de forme variable. Polygone funiculaire. — Propriétés du polygone funiculaire. — Equation de la chaînette. — Propriétés de la chaînette. — Cas où la chaîne est de grosseur variable. — Equilibre d*un fil ayant tous ses points soumis à Taction de forces quelconques. — Equilibre d*un fil tendu sur une surface. Pression.

64. Équilibre d'un système de forme variable. Polygone funiculaire, — Lorsque le système de points auxquels sont appliquées les forces est de forme variable^ les six équations du N"" 39, savoir

doivent encore avoir lieu quand 11 y a équilibre ; car quel que soit le mode de liaisons ^ on ne changera rien à la forme du système en équilibre ni à la valeur des forces, en supposant qu'il devienne tout a coup rigide, auquel cas on sait que les six équations précédentes doivent exister; mais elles ne suiHsent plus comme dans le cas de la rigidité pour assurer Fimmobilité. Il faut alors exprimer que réquilibre a lieu dans toutes les parties du système, c*est-i-dire poser les six équations pour chaque partie rigide ou même pour une portion quelconque du système variable, en rangeant parmi les forces les tensions provenant des liaisons de cette portion avec le reste du système.

Prenons pour exemple le polygone funiculaire. On donne ce nom à un système dans lequel les points d'application des forces sont réunis par des droites inextensibles , parfaitement flexibles et sans

pesanteur, que Ton nomme cordons. Les points d'application des forces placés aux sommets des angles du polygone prennent alors le nom de nœuds. Les forces du système réagissent les unes sur les autres par rintermédiaire des cordons et il en résulte dans ceux-ci des tractions en sens inverse et égales entre elles qui prennent le nom de tensions.

Considérons un polygone funiculaire ÂBC (fig. 46) sur lequel agissent les forces Q, Q', P, F, F'; soient ty t! les tensions de AB et BC. Pour qu*il y ait équilibre dans le polygone, il faut et il suffit qu'il y ait équilibre autour de chaque nœud entre les forces P, Q et t pour A, entre f, P' et (' pour B etc. En rapportant le polygone à trois axes rectangulaires, on a donc en général pour chaque nœud six équations d'équilibre qui se réduisent ici aux trois premières, parce que chaque groupe de forces est appliqué en un même point (N*^ 15), et ces trois équations de condition

établissent des relations nécessaires entre les forces, les tensions des

cordons et les trois angles formés par les forces et les cordons avec

les trois axes. A ces équations, qui sont en nombre Zn s'il y a n nœuds,

il faut joindre celles qui expriment que la somme des carrés des cosinus

des trois angles formés par une droite avec les trois axes est égale k

l'unité, équations qui sont au nombre de 2n + i^ puisque le nombre

de forces et de cordons est de 2/1 + i. On dispose ainsi de 5n + 4

équations pour déterminer les valeurs des inconnues dont le nombre

devra être aussi de 5n -f- 4, parmi lesquelles ne peuvent se trouver

les longueurs des cordons, puisque les équations ne contiennent pas

ces longueurs. Ces 5n -4- 1 équations renferment 8n -i- 4 quantités,

savoir n + 2 forces, n — 1 tensions et 6n + 5 angles, et celles-ci se

réduisent à 8n h- 5 quantités distinctes, attendu que les équations

X = 0, Y = 0, Z = 0 contenant les facteurs P, P'.... <, t'.... dans

tous les termes, on pourra les diviser par P et elles ne contiendront

P' P" t plus que les rapports --9 ~d""d ^"^ ^^^^ ^° nombre 2n au

lieu de 2n + I. On pourra donc en général disposer de 5n-H 2 de ces quantités et les valeurs des 5it-i- i autres résulteront de la résolution des équations.

Si le polygone était attaché par ses deux extrémités à des points fixes AI et N, les forces Q et Q' seraient les tensions des côtés extrêmes du

88 CBAPÏTRE VII.

polygone ou les pressions supportées par les points de suspension. Si quelques-uns des nœuds étaient remplacés par des anneaux ayant la liberté de glisser le long des cordons, il faudrait aux 5n + i équations précédentes ajouter pour chaque anneau les conditions

t == f , etc.

car il est clair que la tension doit dans ce cas être la même des deux cAtés de Tanneau pour qu'il n'y ait pas glissement. Ces nouvelles équations de condition, auxquelles le polygone doit satisfaire^ diminueront le nombre 5n +2 de quantités disponibles. Si, par exemple, le nombre de nœuds est de deux et s'ils sont remplacés par deux anneaux, comme dans la figure 67, il y aura en tout 15 équations , en y comprenant les deux suivantes

Gomme ces équations contiennent i9 quantités, on pourra^ en général^ donner telle valeur que Ton voudra à 6 de ces quantités et les valeurs des i5 autres résulteront de la résolution des 45 équations.

63. Propriétés du polygone funiculaire, — On peut, sans avoir recours à la résolution générale de ces 5n + i équations , reconnaître certaines propriétés des polygones funiculaires. On peut, par exemple, déterminer les tensions des différents cordons , connaissant la force extrême Q et les angles formés par les forces avec les côtés; en effet pour qu'il y ait équilibre autour de chacun des points A, B, C...., chaque force doit être égale et opposée à la résultante des tensions des deux cordons; on doit donc avoir (N° 8) cette suite de proportions (a, &, r), (a', 6', c') ayant la signification indiquée dans la figure 46,

Q : ( = sin a^ i sin a < : t' = sin 6' : sin 6

i : Q' rr^r siu c' : sin c

qui font connaître les rapports de toutes les tensions {, i\ (''.... Q'à la force Q.

11 est à remarquer du reste que l'équilibre du polygone étant indépendant de la longueur des cordons, on peut rendre nulle par la pensée la longueur de quelques-uns d'entre eux, ce qui revient à considérer les forces Q, P, P'.... d'une partie du polygone comme appliquées en un même point B, et la tension (' qui agit sur ce point

STAliQUE. 8!)

le maintiendra en équilibre. De la résulte ce théorème : la tension dt chaque cordon est égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces appliquées d*un même côté du cordon et transportées parallèlement d elles-mêmes en un même point. On voit aussi que si toutes les forces , y compris les deux forces extrêmes Q et Q', sont transportées parallèlement à elles-mêmes en un point, toutes ces forces s'y feront équilibre.

En multipliant terme à terme toutes ces proportions, il vient

Q : Q' = sin a', sin 6^ sine'.... : sin a sin 6 sin c. . . .

Le rapport de Q à Q' ne dépend donc pas directement des forces P, F..., mais bien des angles (a, 6, c), (a', 6', &)... Si P, P', P"... étaient des poids ^ les cordons seraient renfermés dans un même plan vertical; car le plan qui contient les trois forces en équilibre P, Q et < serait vertical puisqu'il contient la force verticale P. De même le plan qui contient t, P et t' serait vertical pour le même motif et se confondrait avec le précédent, puisqu'ils contiennent tous deux la droite AB et ainsi de suite. Il résulterait aussi du parallélisme des forces P, P'.... que l'on aurait

sina'=6in6, sin 6' =3 sine etc.

ce qui réduirait la proportion précédente à la forme

Q : Q'= sine': sin a,

c'est-à-dire qu'alors les forces Q et Q! sont dans le rapport inverse des sinus des angles formés par Q et Q' avec une verticale. On tiro delà

Qsin a = (y sin c'

qui signifie que si l'on décompose les tensions extrêmes Q et Q' en deux forces, l'une horizontale et l'autre verticale, les composantes horizontales de Q et de Q' sont égales.

66. Équation de la chaînette. — Revenons au polygone funiculaire en équilibre (fig. 46). En divisant toutes les forces en deux groupes Q, Q' et P, P', P"..., on peut considérer chaque groupe comme faisant' équilibre à l'autre, ce qui aura encore lieu si, sans rien changer aux forces, on suppose que le polygone devienne rigide ou de forme invariable; mais alors les forces P, F, F'.... peuvent être composées entre elles, et dans le cas où elles ont une résultante, celle-ci fera équilibre aux deux tensions extrêmes Q et Q'; d'où il suit que dans ce cas ces

90 CHAPITRE Vil.

cordons extrêmes cl la résultante prolongés doivent passer par un même point. L*hypothèse de Texistence d*une résultante se réalise lorsque toutes les forces P, P', P".... sont parallèles entre elles, et par conséquent lorsqu'elles représentent des poids suspendus à différents points d'un cordon ; mais la résultante de plusieurs poids attachés h un système de forme invariable est un poids unique égal à la somme des premiers et suspendu au centre de gravité de l'ensemble de ces poids; on voit donc que les deux cordons extrêmes prolongés doivent se rencontrer en un point placé dans la verticale passant par le centre de gravité des poids.

Une chaîne pesante et parfaitement flexible, suspendue par ses deux extrémités^ pouvant être considérée comme un polygone mathématique composé d'un nombre infini de côtés garnis de poids, il s'en suit que si une chaîne est suspendue en deux points A et M (fig. 47), et qu'on mène en ces points les tangentes à la courbe que forme la chaîne en équilibre, ces deux tangentes extrêmes, qui représentent les deux éléments extrêmes de la courbe ou les deux cordons extrêmes du polygone funiculaire, devront se rencontrer en un point E placé dans la verticale EG passant par le centre de gravité G de tous les poids, c'est-à-dire de la chaîne pesante, et si l'on désigne par T et t les pressions exercées sur les points de suspension  et M ou les tensions des deux éléments extrêmes, et par P le poids d6 la chaîne AM, comme les forces T, f et P doivent se faire équilibre autour du point E, on devra avoir la proportion

« : P = sin AEP : sin AEM = sin AEG : sin AEM.

Cette propriété peut servir à déterminer la forme de la courbe formée par une chaîne en équilibre suspendue par ses deux extrémités A et B, connaissant la loi suivant laquelle varie sa grosseur^ c'est-àdire connaissant la nature de la chaîne. Supposons-la d'abord uniformément pesante. Soit M un point quelconque de la chaîne, ayant pour coordonnées (x, y); il est évident que quand on le rend fixe, la forme et les tensions extrêmes de la partie AM ne changent pas ; si donc G est le centre de gravité de l'arc AM ou s, en désignant par (a/, j/) les coordonnées d'un point quelconque de cet arc , l'abscisse

*x x'ds

du centre de gravité G est égal à — (N^'SS), et l'abscissedu point

(le reucontre des tangentes AT et Mf, dont les équations sont

on désignant par a la tangente de Tangle EAX, est égale a

dy dx

11 résulte de la propriété qu*on vient de démontrer que Ton a

8 dy

dx

çX

dans laquelle \ jfds est une fonction de x.

Cette relation , exprimant une propriété commune à tous les points de la courbe, est l'équation de la chaîne. On la met sous une forme plus simple de la manière suivante : dérivons après avoir multiplié par s; il vient

ds ^ dx ds \ dx) dx* V dxj dx^

dx dy dx / ^Y

dx \ dx)

dHj

ds dx*

dx

s dy

dx d'où Ton tire en intégrant

92 CHAPITRE Vif.

Pour éliminer Tare s, on dérive de nouveau en remplaçant

^parY/l-^(|J,etUvi

lent

puis en multipliant par dy et intégrant.

c^= ± (/(y - cd)* - c» (3)

Le signe supérieur doit être employé pour la branche AC et le signe

inférieur pour la branche GB^ puisque-^^est positif dans la première

dx

et négatif dans la seconde.

On détermine (/ en remarquant qu'au point A on a

ec qui conduit à

d = |/ï"Tô* (4)

On peut déjà voir que la courbe est rectîfiable; car en substituant la

valeur (5) de -p dans Texpression (2) de s, il vient

« = ac =F l/{y — c(i)*— c* (5)

En intégrant Téquation différentielle (5) et déterminant la nouvelle constante par la condition que x et y soient nuls tous deux au point A,

il vient après avoir remplacé (/cl* — i par a,

x=^clos"^-^=P^}"^-y^'-'' (6).

c(d — tt)

Cette équation delà chaînette contient encore la constante arbitraire c et la constante inconnue a. On les détermine en remarquant que si /

est la longueur totale de la chaîne et (a/' y") les coordonnées du second point de suspension B, les équations (5) et (6) donnent pour ce point»

qu'il faudra résoudre par approximation pour en tirer les valeurs de c

et de a.

dy Les deux coordonnées du sommet G de la courbe, pour lequel ;i^.est

nul, se déduisent de (3) et (6) et sont — c log (d — o) et cd — c. En y transportant- Torigine des coordonnées et changeant la direction de Taxe Y, l'équation devient

d'où l'on lire en passant des logarithmes aux nombres, isolant le radical et élevant au carré,

ou

La courbe dont on vient de trouver l'équation se nomme chaînette, 67. Propriétés de la chaînette. — Si T est la tension eu A, t la tension en M, et p le poids de l'unité de longueur de chaîne, ps sera le poids fi de la chaîne AM, et il résulte de ce que T, f et P se font équilibre autour du point E (N^" 66) que Ton a

t :jp5==sin AEG: sin AEM = cosEAX : sin AEF;

mais le triangle AEF donne

Ung AEF = Ung (EFX — EAX) =

dx d'où Ton tire, en tenant compte des équations (2) et (5),

,i,.AEF = ^

dy\ |/l -»- a' (cd — y)

et la proportion donne, en remarquant que cos ËAX est égal à

qui fait connaître la tension en chaque point de la chaînette.

£n faisant y nul, on trouve pour la tension T au premier point do suspension ,

T = pcd = pc (/l -4- a* ,

tension qui sera connue quand on aura déterminé les constantes c et a. La valeur de t prend ainsi la forme

Comme py est le poids d'une chaîne de la longueur y et que Torigine des coordonnées peut être considérée comme placée en un point quelconque de la courbe, cette équation apprend que la tension en un point de la chaînette est d'autant moindre que celui-ci est plus bas et que la différence de tension est égale au poids d'un bout de chaîne égal à la différence de niveau des deux points. Au point le plus bas, 1/ est égal k cd — c ; la tension s'y réduit donc à pc.

68. Cas oiï la chaîne est de grosseur variable. — Nous avons supposé la chaîne uniformément pesante et par conséquent le poids de chaque élément ou de chaque chaînon proportionnel h sa longueur ds. Si l'on suppose que les poids des chaînons ds varient suivant une loi quelconque, ds et « devront dans l'équation (i) être remplacés par pds el par fpdsy p étant une fonction qui désigne le poids de l'unité de longueur de la chaîne à l'extrémité de l'arec. Supposons, par exemple, le poids de chaque élément proportionne] à sa projection

horizontale dj/, V— devra être égal à une constante A, et l'équation

dx

générale (1) deviendra

}L ou-= = — , d'où ax = î2y— x-^

X 2 rfy "^ dx

hdx' «

dx

que l'on intégrera par la méthode des différentielles homogènes , on hien en récrivant sous cette forme

ax* , 2xy(/x — x'rfy 1^ ^ J^ '

et remarquant que le second membre est la différentielle de — que nous égalerons à z\ Téquation devient alors

dz =^ az^-^t

d*où Ton lire

z~* = ax~' — c ou bien y=zax — ex*.

La courbe d'équilibre est donc une parabole dont l'axe est vertical. Les constantes a et c se déterminent par la condition que si (x", i/") sont les coordonnées connues du second point de suspension, on doit avoir

y'=ox"— cx"«, et que si / est la longueur connue de la chaîne, on a

l=:i ^'^V/ ^ "^ v/) ""( rfa; |/i 4- (a — 2cx)«

M 1 //l -4- (g ^ ^ca/y + g - 2cx^^ \

-f. (a — 2cx") |/1 H- (a — 2cx")* — a /i h- a* ) .

La tension en un point quelconque s^obtient en remarquant que le poids de la chaîne depuis l'origine jusqu'à x est J^hdx ou Ax, et qu'on a comme au N° 67,

rfv

, i dx

t : nx =

96 CHAPITRE Vil.

d'où

/i -f- (g ~ 2cx)^ "~ 2c

69. Équilibre d'un fil ayant tous ses points soumis à l'action de forces quelconques. — Proposons-nous encore de déterminer la forme d'équilibre d'un fil parfaitement flexible et inextensible, dont tous les éléments sont soumis à des forces quelconques. Pour qu'il y ait équilibre, il est nécessaire et suffisant que la tension t (fig. 48] en un point quelconque M ou (x, y, z) fasse équilibre à toutes les forces qui agissent sur la porlion OM du fil, puisqu'il faut et qu'il suffit que les forces appliquées à une partie OM se fassent équilibre (1°' § du N"" 64). Toutes les forces appli(|uées à OM, savoir les deux tensions extrêmes T, t et les forces intermédiaires, doivent donc satisfaire aux six équations d'équilibre. Représentons par (X, Y, Z] les forces qui agissent sur le point M et rapportées à l'unité de longueur du fil et par (a, b, c) les angles formés par T avec les axes; les trois équations d'équilibre sont, en remarquant que t est dirigé suivant la tangente au point (x, y, z) , (3"'« § du N'» 64)

dx du

Tcosa-^fXds + '^ = 0, T cos 6 -f-/Yrfs -*- «■^=0,

T cos c -t- /Zrf« -+- 1-^ = 0 (1)

as

les intégrales étant prises depuis 0 jusqu'à M ou (x, y, z]. Â ces trois équations il faudrait joindre les trois équations d'équilibre de rotation qui ici sont visiblement, en plaçant l'origine des coordonnées à l'extrémité 0,

y(Yz — Zy) ds -4- l-r-^ — 'tT^ ^^^' ®^^'' ®^^*

dans lesquelles les intégrales sont prises depuis 0 jusqu'à (x, y, z) et sont par conséquent des fonctions de ces variables; mais si on les différencie, il vient

et en remplaçant d ( t— j > ^( ^t* ) P^^ '^^^ valeur tirée des trois

équations (i), après qu'on les a différenciées, on reconnaît que ces équations sont identiquement satisfaites et sont par conséquent comprises dans les trois premières, qui suffisent pour assurer Téquilibre.

En différenciant celles-ci, puis multipliant respectivement par — y

dy dz

•-p et -r- et les ajoutant ensuite membre à membre, on trouve

rf« = — (Xdx -♦- Ydy -h Zdz) ,

parce que Ton a

(rfxV /^y\* A^A* M . dx ,dx dy ,du dz ,dz

On tire de là en intégrant,

t = C — /(Xrfx H- Ydy -t- Zdz) (2),

qui donne la valeur de la tension toutes les fois que Xdx -hYdy + Zdz

est la différentielle exacte d'une fonction des trois variables (x, y, z).

Les équations de la courbe s'obtiennent alors en éliminant i entre les

équations (i) et (2).

Si Ton suppose les forces (X, Y, Z) réduites à des poids répartis le

long du fil, en prenant l'axe des Z vertical, on fera X et Y nuls, on

dv remplacera Z par » si la chaîne est uniformément pesante, ou par h-^

ds

si le poids des chaînons est proportionnel, comme plus haut, à sa projection horizontale, et on sera conduit à l'équation de Tune des chainettes trouvées précédemment. Il suffira de remarquer que les deux premières équations (1) deviennent

dx . dv

T cos a = — «-7- » T cos 6 = ■— t-f-^

as as

d'où l'on tire

dy cos 6 cos 6

-^=a et y=s x-HC,

dx cos a cos a

qui apprend que la projection de la courbe dans le plan horizontal XY est une ligne droite, c'est-à-dire que la courbe est renfermée dans un plan vertical que Ton prendra pour plan des XZ en faisant y et cos h nuls. Dans le premier cas/Zds de (i) devient ps et hx dans le second,

98 CDAPITRE VII.

et en éliminant ( entre la première et la troisième des équations (1), on trouvera sans peine les équations des deux chaînettes. L'équation (2) donne dans le premier cas ( == C — pz. Dans le second, la formule (2) ne peut plus servir, mais la première équation (i) donnera la valeur de t en remplaçant ds par sa valeur tirée de l'équation de la courbe. 70. Équilibre d'un fil tendu sur une surface. Pression. — Si les forces sont partout dirigées suivant le rayon de courbure de la courbe prolongé vers sa partie convexe, p étant le rayon de courbure et P la force rapportée à l'unité de longueur du fil, et qui mesure l'intensité de celte force, on a

ds \ds/ ds \ds/ ds \ds/

parce que les cosinus des angles formés avec les axes par un rayon de courbure prolongé vers la partie concave sont représentés par

iiî}

etc. (Traité d^analyse^ â*"* édition N" 86) ; on a donc dans as y

ce cas,

/dx ,dx dy j dy dz dz\

"~ " \ds ds ds ds ds dsj

et par conséquent, en observant que la parentlièse est nulle ,

(/fsaO et f = const.,

c'est-à-dire que la tension d'un semblable fil est la même dans toute son étendue. En différcntiant l'une des trois équations d'équilibre du N" 69, et remplaçant X par sa valeur précédente, on trouve

.dx ^ jdx ^ ,, . rv ^

td- Pprf— =0, d'où P = -.

ds ^ ds p

La force normale doit donc être inversement proportionnelle au rayon de courbure, pour que l'équilibre soit possible. Pour ce qui est de la forme de la courbe, les trois équations (1) sont identiquement satisfaites par ces valeurs de P et f, et par conséquent l'équilibre a lieu quelle que soit cette forme.

Réciproquement, si la tension t est constante^ les trois équations (1) différenciées deviennent

4rf^=x, 4d$^=-y, 44'=-^'

ds ds ds ds ds ds

d'où ]*ou conclut sans peine que la résultante de (X, Y, Z), c'cst-à-dirc la force P, fait avec les axes les mêmes angles que le rayon de courbure (voir le Traité d'analyse 2"»« édition N" 86) et qu'elle est inversement proportionnelle au rayon de courbure. On voit donc que pour que la tension soit partout la même, la force doit être en chaque point dirigée dans le sens du rayon de courbure et doit être inversement proportionnelle à ce rayon.

Ces propositions conduisent aux propriétés d'un fil tendu sur une surface, et à la forme qu'il doit prendre pour y être en équilibre ; en effet la surface exerçant en chaque point du fil une pression normale à la surface, si l'on représente l'intensité de cette pression par P, ses composantes suivant les axes, c'est-à-dire (X,Y,Z),sont représentées par

à cause des valeurs connues des cosinus des angles formés par une normale avec les axes. (Voir N« i07 du Traité ttanalyse â""" édition). En substituant ces valeurs dans l'équation (2) du numéro précédent, il vient

(U = — ipdjc -f- qdy — dz),

cl par conséquent

dt = 0 ou f -= const. ,

parce que en différenliant l'équation de la surface, on trouve

dz = pdx + qdy.

On voit donc que la tension d'un semblable fil est partout la même. Or, il résulte du paragraphe précédent que si la tension est constante, la force doit être partout dirigée suivant le rayon de courbure de la courbe et doit être inversement proportionnelle à ce rayon de courbure; la courbe inconnue que forme sur la surface le fil tendu est donc telle qu'en chaque point son rayon de courbure est normal à la surface, et la pression contre cette surface est en chaque point inversement proportionnelle au rayon de courbure du fil , c'est-à-dire au rayon de courbure de la section normale de la surface, faite suivant la tangente au fil. Cette propriété caractérise ciitiëremcnt la courbe formée par le fil.

Si l'on différentie les trois équations d'équilibre, qu'on remplace (X, Y, Z) par les valeurs précédentes et qu'on élimine P en divisant Tune par l'autre deux de ces équations, on trouve pour l'une des équations différentielles de la courbe,

£n représentant par u = 0 l'équation de la surface et en remarquant que l'on a

du

du

dx

du '

du

dz

dz

cette équation devient

dx \d8/ dy \ds/

dont l'intégrale jointe à l'équation de la surface sur laquelle le fîl est tendu représente la courbe cherchée. (Voir pour les applications les N»' 279 et 280 du Cours d'analyse, 2™° édition.)

On arrive h ces conclusions directement et sans calcul en observant que, puisque les deux tensions t et t^ (fig. 49) des deux éléments qui aboutissent en M, font équilibre à la pression Pds normale à la surface, le plan de ces deux éléments, c'est-à-dire le plan osculateur doit contenir Pds et par conséquent être lui-même normal à cette surface. D'un autre côté Pds étant la pression totale exercée sur l'élément ds^ on doit avoir, en désignant par*/] l'angle de courbure en M ou l'angle formé par ( et t\

t : Vdë == sin PMt' : sin /Mf' = i : sin (tt — 73) = 1 : sin /j == 1 : /j,

d'où l'an tire en tenant compte de la valeur d'un angle de courbure {Traité d'analyse, 2'"*^ édition N«' 84 et 86),

ds p

Définition des machines. Machines simples et composées. — Levier. Conditions d*é€fuilibre. — Théorie des balances. ~ Balance romaine. — Théorie du pcson. — Équilibre des poulies. -> Poulies mobiles. — Equilibre du moufle. — Équilibre du treuil. — Équilibre d*un système de treuils. — Équilibre d*un système de leviers. — Équilibre d'un système de roues dentées. — Équilibre dans le cric. — Équilibre des cordes. — Problèmes. — Équilibre sur un plan incliné. Équilibre dans la vis. — Vis sans fin. — Équilibre dans le coin.

7i. Définition des machines. Machines simples et composées. — On appelle machine tout appareil destiné à transmettre l'action d'une force, en la modifiant dans sa direction ou dans son intensité. Un semblable effet s'obtient en général en appliquant la force à un corps gêné dans ses mouvements par un obstacle. En statique, on considère les machines comme servant à faire équilibre à une force au moyen d'une autre force qui ne lui est pas égale et directement opposée. La première force se nomme résistance, la seconde puissance.

Les machines simples sont celles dans lesquelles il n'y a qu'un seul point fixe ou un seul obstacle. S'il y en a plusieurs, les machines sont dites composées. Les machines simples sont le levier, le plan incliné et la corde. Les machines composées résultent de la réunion de plusieurs machines simples, réagissant les unes sur les autres cl sont en nombre illimité.

Proposons-nous de trouver les conditions d'équilibre entre la puissance et la résistance dans les différentes machines, en faisant abstraction des circonstances physiques qui peuvent influer sur l'équilibre, comme le frottement, la résistance de l'air, etc.

10^2 CHAPITRE Vlll.

72. Levier, Conditions d'équilibre. — Occupons-nous d'abord du levier. Un levier est, dans le sens le plus général, un corps solide de forme quelconque, ayant un de ses points fixe, que Ton nomme point d'appui. Ordinairement ce corps a une forme prismatique et il est droit ou courbe. Nous le supposerons d'abord réduit à son axe et nous appellerons levier mathématique une ligne inflexible et sans pesanteur, mobile autour de Fun de ses points. Si deux forces P et Q agissent sur ce levier, il suffit pour l'équilibre qu'elles aient une résultante et que celle-ci passe par le point fixe, puisque cette résultante sera détruite par la résistance de ce point. De plus, cette condition est nécessaire, car si l'on introduit une troisième force représentant la résistance du point d'appui, on pourra supposer le levier entièrement libre et les trois forces ne pourront se faire équilibre à moins que deux d'entre elles, P et Q, n'aient une résultante égale et opposée à la résistance du point. Cette condition nécessaire et suffisante exige 1** que les deux forces et le point soient renfermés dans un même plan, et 2° que les moments des forces par rapport au point fixe soient égaux et de signes contraires, puisque ce point appartient à la résultante (N*» 14).

Si le levier avait la faculté de glisser sur le point fixe, il faudrait en outre que la direction de la résultante fut normale au levier, afin que celui>ci ne glissât pas sur ce point.

Quand le levier est droit et que les forces qui agissent sur lui sont parallèles, par exemple, quand ce sont des poids, les conditions d'équilibre prennent une forme très simple. 0 étant le point d'appui (fig. 50, 5f, 52), P la puissance, Q la résistance, et aO, 60 les perpendiculaires abaissées sur les forces, il faut dans les trois cas que les trois points Â, B, 0 soient renfermés dans un même plan contenant les forces P et Q et que Ton ait

P.0a = Q.06 ou P:Q = 06:0a = 0B:0A.

F^es distances OA et OB du point fixe aux points d'application des forces se nomment bras de levier^ on voit donc que les deux forces doivent être dans le rapport inverse des bras du levier.

Dans le cas général , lorsque des forces en nombre quelconque et dirigées dans des sens quelconques sont appliquées au levier, la condition d'équilibre consiste encore en ce que toutes ces forces doivent avoir une résultante unique passant par le point fixe; en prenant donc

ce point pour origine des coordonnées et rapportant ces forces à trois axes rectangulaires, comme elles sont réductibles à trois forces (X, Y,Z) renfermées dans les trois axes, et à trois couples (L, M, N) renfermés dans les trois plans coordonnés, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'elles soient réductibles à une force unique, et par conséquent pour assurer Téquilibre sont

quelles que soient les forces (X, Y, Z), et celles-ci déterminent une

pression représentée par j/X* ■+- Y' -h Z*. On voit par là que la pression est la même que si toutes les forces étaient transportées parallèlement à elles-mêmes au point d*appui.

Si l'on tient compte du poids du levier, il faut considérer ce poids comme une force verticale appliquée au centre de gravité du levier.

75. Théorie des balances. — La théorie de l'équilibre des leviers est surtout utile pour établir les conditions d'équilibre de la plupart des balances. On donne ce nom aux machines destinées à mesurer les forces et particulièrement celles qui proviennent de l'action de la gravité, c'est-à-dire les poids des corps. La plupart de ces machines sont composées de leviers diversement combinés. Nous examinerons successivement les principales.

La balance ordinaire se compose d'un levier droit AB (fig. 5i) qu'on nomme /lean, dont les deux bras sont identiques et dans lequel le point d'appui est placé entre les deux forces. Aux extrémités du levier sont suspendus des plateaux de même poids, sur lesquels on place d'un côté le corps qu'on veut peser , et de l'autre des poids connus qui doivent servir de mesure. Gomme les deux bras de levier sont égaux, il faut pour l'équilibre que les deux poids augmentés des plateaux soient égaux, et si les plateaux ont la même pesanteur, les poids eux-mêmes devront être égaux.

Lorsqu'une balance est en équilibre sous l'action de deux poids , on est assuré que ceux-ci sont égaux, si l'on est certain i** que les bras de levier sont égaux et 2"" que le centre de gravité de la balance, y compris les plateaux, lorsqu'elle est vide, est placé dans un plan vertical passant par l'axe de suspension ; en effet si la seconde condition est satisfaite, le poids de la balance ne contribuera pas à l'équilibre, puisqu'il sera supporté par l'axe; l'équilibre aura donc lieu entre P et Q, et on aura, p e\ q étant les longueurs des bras du fléau,

Vp = Qq.

Si donc les bras p et q sont égaux, les poids P et Q devront Tétrc aussi.

On s'assure de la seconde condition en vérifiant que la balance est en équilibre à vide. Pour la première condition, on pourra s*en assurer en vérifiant que l'équilibre subsiste encore en changeant de plateau les deux poids; en effet le premier équilibre exige que Ton ait

et le second entraine l'égalité

Qp = ?q, d'où l'on tire, en multipliant membre à membre,

p« = f/' et p = 9

74. Balance romaine* — Dans la balance ordinaire, les bras de

levier sont constants et le poids servant à mesurer est variable.

Dans la balance romaine la longueur de l'un des bras de levier est

variable et le poids qui sert à mesurer est constant. Celte balance se

compose d'un levier AC (fig. 54) ayant son point fixe en 0. En A est

suspendu un plateau dans lequel on place le corps P qu'on veut peser.

Au bras OC on suspend un poids invariable Q et on avance ou recule

le point de suspension R jusqu'à ce qu'il y ait équilibre; alors on

apprécie le poids de l'objet P par la position du point B sur le bras OC,

où sont gravés des nombres indiquant les valeurs de P pour chaque

position de B. Si le levier était mathématique ou sans pesanteur, la

détermination de ces nombres serait facile, puisqu'on aurait pour

l'équilibre

OB P:Q = OB:OA d'où P = — -Q.

OA

On voit donc qu'en prenant Q pour unité de poids, et faisant OB = OA, on devrait marquer 1 au point B; en prenant OB = âOA on marquerait en B, â etc. Cette construction conviendrait encore pour un fléau matériel si le centre de gravité de ce fléau, y compris le plateau, était placé dans une verticale passant par 0, ou si la balance privée des poids P et Q était en équilibre; mais comme OC est beaucoup plus long que OA , il est diflicile de remplir cette condition , et il est nécessaire de tenir compte de la position du centre de gravité et du poids de l'instrument y compris le plateau. Soient R ce poids et G son centre

(le gravité; pour qu'il y ait équilibre, ou pour que la résultante de P, Q et R passe par le point 0, on doit avoir