O'B ^ OA

d'où l'on conclut que l'échelle se construit en portant sur (VC, h partir du point 0', des divisions égales à OA et en les marquant des nombres i, 2, 5....; car si l'on prend encore Q pour unité de poids, cette équation apprend que P est égal à i, jt, 3.... quand O'B est égal à OA, est double de OA, etc.

7S. Théorie du peson. — Le peson se compose d'un levier coudé à angle droit BOA (fîg. 54), mobile autour d'un axe horizontal en 0 et porté par un pied vertical OC. Le bras OB porte en F un poids constant Q et i l'extrémité A est suspendu un plateau portant l'objet P que l'on veut peser. 11 est clair que, dans une certaine position , les deux poids P et Q se feront équilibre, et qu'alors le bras OB approchera d'autant plus de l'horizontale OD que P sera plus grand. On peut donc juger de la valeur de P par l'angle BOE dans la position d'équilibre et à chaque valeur de l'angle BOE répond une valeur de P que l'on pourra marquer d'avance sur un quart de cercle fixe DE. Pour construire cette graduation, remarquons que si le levier et le plateau vide étaient sans pesanteur, le poids Q entraînerait OB dans la position verticale 0£, et si Ton place ensuite un corps P dans le plateau, comme les moments de P et Q doivent être égaux par rapport au point 0, on aura

Q . F6 = P. Aa, ou bien Q . FO . sin BOE = P. 0 A sin AOE,

106 CHAPITRE Vlll.

qui devient

Q.FO.langBOE = P.OA,

parce que Tangle BOA est droit par hypothèse. On tire de là

^^r. P OA

tangBOE = -.,

et en donnant successivement à P les valeurs 1, 2, 5.... kilogrammes, on connaîtra les valeurs correspondantes de l'angle BOE que Ton portera sur le quart de cercle £D, en indiquant en B la valeur du poids P. Mais les choses ne se passent pas ainsi en rëalitë; le poids du bras de levier OA et du plateau vide écarte OB de la position verticale OE et le place, h vide, dans une position Od que Ton marquera sur le limbe ED. On peut concevoir cet effet comme obtenu par un certain poids p suspendu en A, et faire abstraction de la pesanteur du bras OA ; alors si Ton désigne par a Tangle connu dOE, il viendra en remplaçant P parp,

p OA , FO

tanga=^. — , d'où p = Q^Unga,

et lorsqu'un corps P sera placé dans le plateau , il faudra considérer celui-ci comme portant en réalité la charge P + p, de sorte que l'on aura

„^^ P-hp OA P OA Ung BOE=-^ . - = - . — -.- tanga.

Cette équation fait connaître la loi de la graduation du limbe DE, et conduit à une construction géométrique très simple. Si on la met sous la forme

tang BOE — tang a i OA

P —QÔÊ'

comme le second membre est constant, on voit que tang BOE — tang a est proportionnel au poids P, et que par conséquent, en prenant OE pour rayon des tables trigonométriques, ce ou tang BOE — tang a est proportionnel au poids P; d'où il suit que si l'on marque sur la tangente EH les points c et ^ correspondants à une charge nulle et à une charge d'un kilogramme, les points correspondants à des charges de 2, 5.... kilogrammes se trouveront en portant à la suite de cg des

STATIQDE. i07

longueurs égales h cg. La graduation du limbe s'effectue en joignant le centre 0 à ces différents points de division.

76. Équilibre des poulies. — On appelle poulie une roue traversée par un axe fixe autour duquel elle a la liberté de tourner, et dont la circonférence est creusée en gorge pour recevoir un cordon aux extrémités duquel sont appliquées la puissance et la résistance dans un plan perpendiculaire à Taxe. Quand la poulie est immobile, on peut la réduire i un levier coudé AOB (fig. 55) dont les deux bras sont égaux et aux extrémités desquels les deux forces P et Q agiraient normalement; car on peut, sans troubler Téquiiibre, considérer les parties extrêmes du cordon comme fixées aux points de contact A et B, puis supprimer toutes les parties de la poulie qui ne contribuent pas immédiatement à l'équilibre, et ne conserver par la pensée que les deux rayons qui aboutissent à ces points. Comme les moments par rapport au point 0, P. AO et Q.BO sont égaux quand il y a équilibre, on voit que les forces P et Q doivent être égales. Si la poulie n'élait pas circulaire, régalité des deux forces serait encore nécessaire pour Téquilibre^ pourvu que Ton fit abstraction du frottement qu'exerce la corde dans la gorge; car les forces étant inégales, il est évident que la plus grande des deux enlrainerait le cordon en le faisant glisser. L'égalité des forces est donc nécessaire autant que l'égalité des moments. D'où il suit que l'équilibre d'une poulie non circulaire n'est possible que dans les positions où les cordons sont à égale distance de l'axe. La pression que supporte l'axe 0 est représentée par la résultante de ces deux forces, résultante qui divise l'angle AGB en deux parties égales et est égale à

j/P«-4- Q*4- 2PQ cos a == P 1/2 (1 + cos a) = 2Pcos- a=^ P,