OA

en représentant par a l'angle formé par les directions de P et Q. Si les cordons sont parallèles, a est nul et la pression devient 2P.

77. Poulie mobile. — Dans la poulie proprement dite l'axe est fixe. Quand l'axe est lui-même mobile, on obtient une autre machine il'iie poulie mobile, dans laquelle la puissance et la résistance sont disposées d'une autre manière. A l'axe 0 (fig. 56) de la poulie est appliquée la résistance R par l'intermédiaire d'une pièce 00' appelée chappe. L'une des extrémités du cordon est fixée en A, et à l'autre extrémité est appliquée la puissance P, de manière que les deux cordons et la résistance soient renfermés dans un même plan. Pour

trouver les conditions d'équilibre, remarquons que si la machine est immobile y on peut sans troubler l'équilibre rendre Taxe o fixe et substituer au point fixe A une force Q équivalente i la pression qu'éprouve ce point. Dans cette hypothèse la machine devient une poulie fixe dont l'axe supporte une pression représentée par R; or Ton a vu (N"" 76) i° que les forces P et Q sont égales , ^ que la direction de R divise en deux parties égales l'angle formé par Pa et Qa% et enfin 5"* que R est donné par

1 aa' R=ÎPcos-a=— Pj â ao

d'où il suit que l'on a

P : R = ao : aa\

c'est-à-dire que dans la poulie mobile, i"* /a puissance est à la résistance comme le rayon de la poulie est à la sous-tendante de l'arc de la poulie embrassé par le cordon et 2"* la tension supportée par le point fixe A est égale à la puissance P.

On construit des machines composées de plusieurs poulies mobiles, réagissant les unes sur les autres, comme l'indique la figure 57. En désignant par J, If les tensions des cordons ao' et cfo'', la première poulie mobile o sera en équilibre sous l'action des forces P et t, la bcconde o', sous l'action de t et f^ et la troisième o", sous l'action de 1' et Q ; on a donc les proportions

P : f = a6 : ao, ( : «'= de : do^, t':Q = gh: go",

d'où l'on tire, eu multipliant termes à termes,

P :Q z= ab . de ,gh : ao , do'. go".

Cette proportion apprend que dans une semblable machine, lu puissance est à la résistance comme le produit des sous-tendantes des arcs embrassés par les cordons est au produit des rayons des poulies.

On déduit aussi des proportions précédentes les valeurs des tensions ( et (' des cordons, et par conséquent des efforts auxquels les points fixes Cy feik doivent résister. Si les cordon§ sont parallèles, les soustendantes deviennent des diamètres, et la proportion précédente devient

OU gënëralement, n étant le nombre de poulies mobiles,

78. Équilibre du moufle. — On appelle moufle (fig. 58) un système de plusieurs poulies ayant un axe commun, ou ayant leurs axes portés par la même chappe. Les machines dans la composition desquelles entre le moufle en contiennent ordinairement deux, dont l'un est attaché à un point fixe et Tautre est mobile. Un même cordon fixé par l'une de ses extrémités à l'une des chappes passe alternativement dans la gorge de l'une des poulies fixes et de l'une des poulies mobiles; à l'autre extrémité est appliquée la résistance Q destinée à faire équilibre à une puissance P appliquée à la chappe mobile. Pour trouver les conditions d'équilibre, il suffît de remarquer que d'une part, si Ton fait abstraction du frottement, le cordon étant unique doit être également tendu dans toutes ses parties, et que d'un autre côté, la machine étant immobile, on peut sans troubler l'équilibre considérer les poulies mobiles comme attachées à leur chappe commune; alors la force P sera tenue en équilibre par les tensions de tous les cordons qui aboutissent à cette chappe; si donc on suppose ces cordons parallèles entre eux et en nombre n, comme la tension commune est Q, la résultante des tensions agissant parallèlement sur la chappe mobile sera »Q, et l'on aura

P = «Q, ou Q :P = i :n,

c'est-à-dire que dans le moufle la puissance est à la résistance comme Cunité est au nombre de cordons qui aboutissent à la chappe mobile.

79. Équilibre du treuil, — Le tour ou treuil est un appareil composé d'un cylindre ordinairement horizontal AB (fig. 59), mobile autour de son axe dont les extrémités se nomment tourillons^ et d'une grande poulie CD ayant son centre placé dans l'axe du cylindre et son plan perpendiculaire à cet axe. Dans la gorge de cette poulie, à laquelle on donne le nom de roue^ est fixé un cordon à l'extrémité duquel on applique la résistance Q. Sur le cylindre, qu'on nomme arbre^ s'enroule jen sens inverse un autre cordon portant un poids P qui tient lieu de puissance et faisant avec AB un angle droit. Pour trouver le rapport entre P et Q nécessaire pour l'équilibre, remarquons que cet appareil étant un corps «solide mobile autour d'un axe, il résulte du N*" 45 que les moments des forces qui tendent à le faire tourner en sens inverse doivent être égaux; on a donc pour condition d'équilibre

Q.oE = P.o'F, ou P:Q = oE:o'F,

iiO CHAPITRE VlU.

c'esl-à-dire que la puissance est à la résistance comme le rayon de la roue est au rayon de Varhre.

Les pressions que supportent les deux tourillons A et B se déterminent en remarquant que les forces P et Q peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes en F et Q', en introduisant deux couples P.o'F et Q.oE perpendiculaires à Taxe, couples qui sont égaux et de signes contraires quand il y a équilibre. L'axe n'éprouve donc d'autre pression que celle qui provient de P' et de Q' agissant en o' et o. Décomposons chacune de ces deux forces en deux autres parallèles et appliquées en A et B; les résultantes des deux composantes qui agissent sur chacun de ces points seront les pressions des tourillons.

Si les cordes qui s'enroulent sur l'arbre et sur la roue avaient des diamètres sensibles, il faudrait aux rayons de l'arbre et de la roue ajouter le rayon de la corde afin de réduire celle-ci à son axe.

La résistance n'est pas toujours transmise h la machine au moyen d'une corde qui s'enroule sur la roue; souvent cette force est appliquée à un levier encastré dans l'arbre et figurant un rayon de cette roue. Lorsque la force est perpendiculaire à ce levier et renfermée dans un plan perpendiculaire à l'arbre, la proportion précédente doit être maintenue; dans le cas contraire la résistance Q est la composante estimée normalement à l'axe et la plus courte distance de cette force à l'axe tient lieu de levier.

80. Équilibre d'un système de treuils, — La condition d'équilibre d'un appareil composé d'un système de treuils réagissant les uns sur les autres, comme l'indique la figure 60^ s'obtient en remarquant que l'équilibre doit exister dans chaque treuil en particulier; si donc on désigne par teitf les tensions des cordons ce et fh , les forces P et {, t et t', t' et Q devront se faire équilibre autour de chaque treuil, ce qui exige que l'on ait

p : « == ac : a6 , t:t' = df: rfe, t' : Q =- gi i gh ^

d'où l'on tire en multipliant

p : Q = ac . df.gi : ab.de.gh,

c'est-à-dire que la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des arbres est au produit des rayons des roues.

81. Équilibre d'un système de leviers. — Proposons-nous de chercher les conditions d'équilibre d'une machine composée d'un assemblage de leviers droits ou coudés AB, BC, CD (fig. 61), réagis-

STATIQDE. lil

sant les uns sur les autres, et ayant pour points d*appui 0, 0', 0". Si Ton désigne par P el Q la puissance et la résistance qu'on supposera perpendiculaires à OA et 0"D, et par ( et f les pressions exercées en B et C par le bras d'un levier sur celui du levier suivant, pressions que nous supposerons dirigées perpendiculairement à OB et O'B , O'C etO"C, on doit pour assurer l'équilibre de chaque levier avoir les proportions suivantes :

P : ( = OB : OA, ( : t'= O'C : O'B, t' : Q = 0"D : 0"C.

En les multipliant, on trouve