P : Q = OB . O'C . 0"D : 0 A . O'B . 0"C
c'est à-dire que la puissance est à la résistance comme le produit des bras de levier placés du côté de la résistance est au produit des bras de levier placés du côté de la puissance.
Les proportions précédentes donnent aussi les valeurs des pressions t el «'.
82. Equilibre d'un système de roues dentées. — On appelle roue dentée un cercle matériel d'une certaine épaisseur, mobile autour de son axe et ayant sa circonférence garnie de filets saillants ou dents disposés régulièrement de manière à engrener avec les filets ou dents d'une roue juxta-posée. Ordinairement une roue dentée fait corps avec une seconde roue concentrique et d'un rayon plus petit appelée pignon. Considérons l'appareil représenté par la figure 62, dans lequel la première roue dentée est remplacée par une grande poulie dans la gorge de laquelle est enroulé un cordon tiré par la résistance Q. Le dernier pignon est aussi remplacé par un arbre autour duquel est enroulé un autre cordon portant un poids P ou la puissance. Le rapport nécessaire entre P et Q pour qu'il y ait équilibre se trouve en remarquant que si l'on supprime par la pensée toutes les parties matérielles qui ne servent pas immédiatement à maintenir l'équilibre, l'appareil se réduit à un système de leviers oa', a^a'', d^a"' droits ou coudés, ayant leurs points d'appui en c, c', c" et réagissant les uns sur les autres comme au N° 8i. On a donc la proportion
P : Q = ac . a'd. d'^' ; col. da". d'à"',
c'est-à-dire que dans un système de roues dentées en équilibre, la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des roues est au produit des rayorts des pignons.
lia CHAPITRE Vlll.
85. Équilibre daim le cric. — Le crtc, que l'on emploie pour soulever de grands fardeaux, est composé d'une barre de fer AB (fig. 65) garnie de dents qui engrènent avec celles d'un pignon F, tournant autour d'un axe F au moyen d'une manivelle G. La barre et le pignon sont ordinairement renfermés dans une boite ou châsse CD. Le fardeau ou la puissance P se place sur la tète  de la barre ou sur le crochet ou pied de biche B situé à l'autre extrémité, et le pignon en tournant avec la manivelle, à laquelle on applique la résistance Q, soulève la barre et par suite le fardeau. On trouve le rapport de la puissance à la résistance pour l'équilibre, ep remarquant que le fardeau agit sur le pignon de la même manière que s'il était suspendu k l'extrémité d'un cordon enroulé sur ce pignon, et la puissance appliquée à la manivelle peut être considérée comme agissant tangentiellement à une roue ayant GF pour rayon. De cette manière, le cric se trouve transformé en un tour, et le rapport de la puissance à la résistance est donné par le rapport du rayon de la roue ou de la manivelle au rayon du pignon.
On donne plus de puissance à cette machine, en plaçant entre le pignon de la manivelle et la barre une roue dentée munie de son pignon. La machine, qui prend alors le nom de cric composé (fig. 64), peut élre comparée k un système de roues dentées, et il est visible que le rapport de la puissance à la résistance est égal au rapport du produit des rayons de la roue et de la manivelle au produit des rayons des deux pignons.
84. Équilibre des cordes. — Une corde mathématique est une ligne inextensible, parfaitement flexible en tout sens, sans épaisseur et sans pesanteur. Pour qu'une corde devienne une machine dans l'acception donnée à ce mot (N** 71), il faut que l'un de ses points soit rendu fixe ou du moins soit gêné par un obstacle. Soit donc 0 un point fixe auquel est liée la corde BAC (fig. 65) au moyen de la corde AO. Aux points B et C sont appliquées la puissance P et la résistance Q. Pour qu'il y ait équilibre, il faut qu'en désignant par ( la tension du cordon AO, les trois forces P, Q et f se fassent équilibre autour du point A, ce qui exige que l'on ait
p : Q : ( =» sin CAO : sin BAO : sin BAC.
Cette double proportion fait connaître la tension ( et le rapport de PàQ.
Si la corde BAC, au lieu d'être attachée à la corde AO au point A,
STATIQUE. ii5
avait la liberté de glisser dans un anneau ou dans un nœud A, les proportions précédentes ne suffiraient plus pour assurer l'équilibre; il faudrait en outre que les forces P et Q fussent égales pour que- la corde ne glissât pas dans Tanneau. Cette double proportion apprend qu'alors la droite ÂO divise l'angle BAC en deux parties égales, et que la tension t est égale & P multiplié par le rapport du sinus de BAC ou a au sinus de la moitié de cet angle, c'est-à-dire que t est égal h
2P cos- a.
85. Problèmes. — Ce qui précède donne immédiatement la solution du problème suivant, qui n'est qu'un cas particulier de la théorie du polygone funiculaire, auquel on donne aussi le nom de machine funiculaire. Une corde est attachée aux deux points fixes A et B et en un point C de cette corde est suspendu un poids P. On demande la position d'équilibre ainsi que les tensions t et i' (fîg. 66) qu'éprouvent les cordes AC et BC, c'est-à-dire les pressions sur les points de suspension A et B. Comme les tensions { et V font équilibre à P, ces trois forces, c'est-à-dire les deux cordons et P doivent se trouver dans un même plan, lequel est vertical puisque P est un poids. Cela posé, si dans ce plan on mène la verticale A Y et l'horizontale AX, la forme d'équilibre sera donnée par l'angle BAX, puisque le triangle ABC est donné par ses (rois côtés, et cet angle est connu puisqu^on donne les coordonnées du point de suspension B. Quand aux tensions t et (', comme on doit pour l'équilibre avoir les proportions
« : P = sin PCB : sin ACB, t' : P = sin PCA : sin ACB,
celles-ci donneront les valeurs de t et i\ car l'angle ACB se déduit du triangle ABC, l'angle PCA est égal à l'angle connu CAX augmenté d'un angle droit, et l'angle PCB est le supplément à quatre angles droits des angles connus PCA et ACB.
Si le poids P, au lieu d'être attaché au point C de la corde ACB, était suspendu à un anneau ayant la liberté de glisser sur cette corde, il faudrait, comme on Ta vu, ajouter aux deux proportions la condition que les forces t et t' sont égales, ou que la droite CP divise l'angle ACB en deux parties égales. La position du point C sera ainsi complètement déterminée, car si l'on désigne par (x, t/) ses coordonnées rapportées à l'horizontale AX et à la verticale AY, et par (a, b) les coordonnées connues de B, on aura pour exprimer que la corde ACB
a une longueur invariable /,
j/ô^ry* H- /(x — a)«-+-{y — 6)* = /,
et pour exprimer que la verticale CP divise l'angle ACB en deux parties égales ou que les droites AG et CB font avec Taxe des Y des angles égaux,
Ces deux équations résolues par rapport h x eiy feront connaître la position du point C.
Il est à remarquer que ce point, lorsqu'il se déplace , décrit une ellipse qui a A et B pour foyers et AC et BG pour rayons vecteurs. Gomme la verticale GP divise l'angle AGB des rayons vecteurs en deux parties égales, cette verticale est une normale à l'ellipse et par conséquent la tangente en G est horizontale. On voit donc que le poids s'arrêtera au point le plus bas possible.
Appliquons encore la théorie de l'équilibre des cordes à la solution du problème suivant : une corde ABGD (fig. 67) est attachée en A et D et porte deux poids P et P' suspendus aux nœuds B et G. Trouver sa forme d'équilibre.
Désignons par /, l\ l" les longueurs des trois cordons , par a, a', a" leurs inclinaisons sur une verticale, et par tn et n la distance horizontale AD' des points A et D et leur différence de niveau DD'. On a vu (N® 65) que le polygone est renfermé dans un plan vertical. De plus comme la somme algébrique des projections horizontales et verticales des cordons est égale à AD' et DD', on a
/ sin a -i- /' sin a' -+- Z" sin a" =« m ,
/ cos a -t- /' cos a' -h /" cos o" = n.
En outre les conditions d'équilibre des nœuds B et G fournissent les proportions suivantes, t étant la tension du cordon BG,
P : f = sin (a' — a) : sin a, t : P' = sin a" : sin (a" — * a').
Ges quatre équations feront connaître les valeurs de t et a, a', a" qui déterminent la forme du polygone. Les proportions
Q : * = sin o' ; sin a, Q' : f = sin a' : sin a"
STATIQUE. il5
feront ensuite connaître les tensions Q et Q' des cordons extrêmes UA et CD.
Si le poids F était inconnu et qu*on demandât la valeur qu*il devrait avoir pour que le cordon fiC eût une inclinaison donnée, pour qu'il fût
horizontal, par exemple, on ferait o! égal à - » et les quatre équations
étant résolues donneraient les valeurs de a, q1\ t et P'.
Si BC était une droite rigide portant en E un poids R, on décomposerait R en deux poids P et P' appliqués en B et G^ savoir
