CE„ ^, BE

et en substituant leur valeur dans les quatre équations précédentes, on déduirait de celles-ci les valeurs des quatre inconnues a, a', a" et t.

Enfin si Ton demandait de déterminer la position que doit avoir le point E sur la droite rigide BC pour que cette droite ait une inclinaison donnée, pour qu'elle soit horizontale par exemple, on ferait a' égal à un angle droit, et en remplaçant P et P' par les valeurs données plus haut, la distance BE deviendrait la quatrième inconnue.

86. Équilibre sur un plan incliné, — La machine à laquelle on donne le nom de plan incliné se compose d'un plan sur lequel est appuyé un corps soumis à l'action de deux forces qui se font équilibre. Si le corps n'est appuyé qu'en un seul de ses points, il faut évidemment et il suiBt pour l'équilibre que la résultante des deux forces soit normale au plan au point d'appui , et tende à presser le corps contre le plan, ce qui exige i"* que les deux forces et la normale élevée sur le plan au point d'appui soient renfermées dans un même plan, 2" que le point de rencontre des deux forces soit renfermé dans la normale, et 5° que les moments des deux forces soient égaux par rapport au point d'appin qui doit être un des points de la résultante. Il suit de là que si AB (fig. 68) représente le plan incliné, P et Q les deux forces et C le point d'appui, le plan de la figure étant celui qui contient les deux forces et la normale CD au plan AB, on doit avoir pour l'équilibre

P.Cp = Q.C9,

ou bien, en désignant par a et |3 les inclinaisons de P et Q sur la normale CD et remplaçant Cp et Cq par leur valeur tirée des triangles rectangles DCp et DCgf,

P sin a = Q sin (3.

Celte équation de condition de l'équilibre entre la puissance P et la résistance Q exprime évidemment que ces forces estimées parallèlement au plan sont égales et directement opposées. La pression que supporte le plan est la résultante de P et Q dirigée suivant CD. Cette résultante peut s'obtenir en décomposant P et Q respectivement en deux forces dirigées suivant DC et ttf-, la somme des composantes suivant I)C ou

P cos a -+- Q cos |3

représente la pression, tandis que les deux autres se détruisent. Ordinairement l'une des deux forces, la résistance Q (6g. 69) par exemple^ est le poids même du corps appliqué à son centre de gravité G. Alors le plan AB devient un plan incliné sur l'horizon AH et les conditions d'équilibre peuvent se modifier de la manière suivante : 1** la puissance P et le centre de gravité G doivent être renfermés dans un plan vertical perpendiculaire au plan incliné, ou, ce qui revient au même, le plan qui contient la force P et le centre de gravité doit être perpendiculaire à l'intersection A du plan incliné et du plan horizontal; â'^ Le point de rencontre de P et de la verticale Q passant par le centre de gravité doit être contenu dans la normale élevée sur le plan au point d'appui C^ et 5" on doit avoir

Psin a = Qsin (3,

a et (3 étant les inclinaisons de P et de Q sur la normale CD. II est visible que (3 est aussi l'inclinaison A du plan sur l'horizon.

Si l'on suppose successivement la puissance P horizontale et parallèle au plan incliné, l'angle a devient complémentaire de (3 dans le premier cas, et droit dans le second; la troisième condition d'équilibre prend donc l'une ou l'autre des deux formes

Pcos|3 = Qsin(3, ou P = Qsin(3.

£n construisant le triangle rectangle ABU dans lequel AB, AH etBH se nomment longueur^ base et hauteur du plan incliné^ ces équations deviennent en remplaçant (3 par sa valeur tirée de ce triangle,

q~ah' q~"âb'

c'e&t-à-dlre que dans le premier cas la puissance est à la résistance

STATIQUE. il 7

OU au poids comme la hauteur du plan incliné est à sa base. Dans le second, la puissance est au poids comme la hauteur est à la longueur.

Lorsque le corps, au lieu d'être appuyé par un seul point contre le plan incliné, Test par plusieurs points ou par une base d'une certaine étendue, il faut et il suffît pour l'équilibre que la puissance et la résistance aient une résultante normale au plan et que celle-ci tombe dans l'intérieur de la base. Si la résistance est le poids même du corps, la première condition exige que la puissance et le centre de gravité soient renfermés dans un plan perpendiculaire à l'intersection A du plan incliné et de l'horizon. La seconde condition exige que la normale abaissée du point de rencontre de P et de Q sur le plan tombe dans l'intérieur de la base. La proportion entre le poids et la force P reste la même que ci-dessus.

Si un point matériel pesant m ayant un poids Q ne pouvait que glisser le long d'une courbe donnée AB (fig. 70), et qu'il fût retenu en équilibre par une force P, il faudrait pour l'équilibre que la résultante de Q et P fût normale à la courbe, et par conséquent h sa tangente ttf au point m, c'est-à-dire que les composantes de Q et de P dans le sens de la tangente fussent égales et opposées (N" 45), condition qui peut servir à trouver les rapports de grandeur et de position de la force P et du poids Q. Dans l'hypothèse où P serait renferme dans le plan vertical passant par la tangente tt', les conditions d'équilibre seraient celles qui ont été trouvées au commencement de cet article, et en désignant comme plus haut par |3 l'inclinaison de tt' sur l'horizon, on aurait

P == Q sin p, ou P = Q tang (3,

selon que P est parallèle à ttf ou dirigé horizontalement.

87. Équilibre dans la vis. — Passons à la recherche des conditions d'équilibre dans la vis. La vis^ considérée comme machine, se compose d'une vis proprement dite et de son écrou. Rappelons-nous que la vis proprement dite se compose d'un cylindre à base circulaire revêtu d'un filet saillant adhérant à la surface et tourné en hélice, dont la construction peut se concevoir de cette manière : on trace sur la surface convexe une hélice (voir le Traité d'analyse^ N"" 91 , 2*°" édition) et l'on fait glisser un polygone le long de celte courbe, de manière que l'un des sommets y étant appuyé et le côté adjacent restant appliqué contre la surface, le plan du polygone passe constam-

148 CUÂPITRE Vlil.

ment par l'axe du cylindre. Ce polygone, qui est ordinairement un rectangle ou un triangle, engendre ainsi le ûlet saillant. Le pas de vis est l'intervalle entre deux filets consécutifs.

On nomme écrou un corps de forme quelconque percé d'un orifice circulaire de même diamètre que le cylindre, et dont la paroi intérieure porte en creux une rainure ou filet rentrant dans lequel s'adapte exactement le filet saillant de la vis, de sorte que l'écrou ne peut avancer qu'en tournant autour du cylindre. La vis proprement dite (fig. 7i) est ordinairement rendue fixe par l'une de ses extrémités et une pression est exercée sur l'écrou parallèlement à l'axe de la vis* Cette pression tend & déplacer l'écrou, en le faisant tourner autour de la vis; une seconde force est donc nécessaire pour empêcher l'écrou détourner, et c'est le rapport entre ces deux forces qu'il s'agit de déterminer. Supposons la vis verticale, et remarquons que si un point matériel pesant m est placé sur la face supérieure du filet et assujetti soit par un fil horizontal Om, soit de toute autre manière, à rester à la même distance de l'axe 00', ce point m glissera en vertu de son poids Q le long de la face du filet, en décrivant une hélice ÂmB ayant le même pas que l'hélice primitive tracée sur le cylindre. Pour empêcher ce glissement le long de la courbe AmB, l'intervention d'une force P sera nécessaire et si l'on suppose celle-ci dirigée horizontalement et perpendiculairement au rayon Om, on devra avoir pour l'équilibre (voir le N» 86)

p : Q = lang a : 1 ,

a étant Tangle formé par la verticale Q avec une normale h la courbe AB et renfermée dans le plan de P et Q, ou, ce qui revient au même, a étant l'angle constant formé par les tangentes de l'hélice AB avec la base du cylindre; on a donc, en désignant par p le pas de l'hélice et par r le rayon du cylindre sur lequel se trouve tracé AB (voir le TraiU d'analyse, N» 91, 2'"'= édition),

P : Q = P : 27rr.

Si le point matériel pesant m, au lieu d'être retenu directement par une force P, était appuyé contre un levier horizontal OC ayant son point d'appui dans l'axe en 0, et qu'une puissance P' parallèle à P fut appliquée à l'extrémité de ce levier en C, en désignant par P la pression horizontale du point m contre le levier, on aurait d'une part

P:Q = p:27rr,

STATIQUE. il9

et d'un autre côté»

P':P = r:OC,

d'où Ton tire en loullîpliant,

P': Q=p.r : 27r.r.OC.

Dans cette proportion r disparait , et il vient en désignant par / le levier OC,

c'est-à-dire que la puissance est d la résistance comme le pas de la vis est à la circonférence qui a le levier pour rayon.

Considérons maintenant une vis avec son écrou (fîg. 72). Supposons la vis verticale et sur Técrou plaçons un poids ou une résistance Q, et adaptons y un levier oC prolongé par la pensée jusqu'à l'axe du cylindre en o. Le poids, que nous supposerons réduit à un point matériel, peut être transporté en un point quelconque de l'écrou; car on sait qu'on peut effectuer cette translation en introduisant un certain couple dont le plan est ici vertical et par conséquent parallèle à l'axe oo' du cylindre ; ce couple peut donc être transporté dans un plan passant par cet axe fixe contre lequel les forces viennent se détruire.

Il est visible aussi que, pendant la rotation de l'écrou, un point quelconque de cet écrou ou du levier tend à décrire une hélice ayant le même pas que celle tracée sur le cylindre.

Cela posé^ si l'on transporte le poids Q en un point quelconque a du levier, on pourra faire abstraction de l'écrou et considérer le poids comme remplacé par un point matériel pesant a assujetti à glisser sur une hélice, tandis qu'une force P agissant horizontalement à l'extrémité du levier oaC s'o|)pose à ce glissement. Or, on vient de voir que l'on a la proportion

d'où il résulte que dans la vis la puissance est à la résistance dans le rapport du pas de la vis à la circonférence ayant le levier pour rayon. Le plus souvent le poids Q est remplace par une pression exercée par l'écrou sur un corps placé entre lui et le plan fixe AU. Celte pression tient alors lieu de puissance. Si l'écrou, au lieu d'être mobile, était rendu fixe, et que l'on fît tourner la vis au moyen d'un levier encastré, il est visible que ce rapport ne serait pas changé.

lâO CBAPÎTRE TIII.

88. Vis $an$ fin, — La rû tans fin se compose d'uoe vis sans ëeroo AB (fig. 73), portant uo filet saillant en hélice, et mobile autour de deux toarillons A et B; elle est munie d'une manivelle sur laquelle agit la puissance P. Contre la vis et dans le plan de son axe est placée une roue dentée fixe, dont les dents viennent s'appuyer contre le filet saillant de la vis, qui ne peut tourner sans que le filet ne fasse avancer la dent en la pressant, et par conséquent ne fasse tourner la roue ; de sorte que si l'on adapte à celle-ci un arbre horizontal bc et qu'un poids Q soit suspendu à une corde s'cnroulant sur l'arbre , la rotation de la manivelle déterminera l'ascension du poids Q. On trouve le rapport entre P et Q en remarquant que si P' est la pression exercée en a par la dent contre le filet de la vis parallèlement à son axe, p le pas de lavis, / le rayon de la manivelle, R et r les rayons de la roue et de l'arbre, on a par suite de l'équilibre de la vis,

P:P' = p:27:/, et par suite de l'équilibre du treuil,

P':Q = r:R, d'où Ton lire en multipliant,

p : Q = pr : âr/R.

89. Équilibre dans le coin. — On appelle coin un prisme triangulaire que l'on introduit au moyen d'une force appliquée à Tune de ses faces entre les deux parties d'un corps que l'on veut écarter. Les instruments tranchants sont donc de véritables coins. Soit MN (fig. 74) un corps quelconque, BEC une ouverture ou une fente, dans laquelle on introduit le prisme ou coin abc. Une force P agissant en un point A de la face ac ou télé du coin déterminera en B et C des pressions Q et Q' normales aux faces ou côtés ab et 6c, qui tendront à écarter les parties BM et CN du corps. Pour trouver les valeurs de ces pressions et les positions que doivent avoir les points A, B et C, remarquons que les trois forces P, Q, Q' devant se faire équilibre sur le coin, doivent être renfermées dans un même plan perpendiculaire aux arêtes du coin puisqu'il contient trois normales aux trois faces, et doivent passer par un même point D. Il faut donc que les points d'appui B, C et le point d'application A soient renfermés dans un semblable plan et soient les pieds des perpendiculaires abaissées

d'un même point D sur les trois côtés du triangle abc. Comme chacune des trois forces est proportionnelle au sinus de Tangle formé par les deux autres, et que ces angles sont les suppléments des trois angles a, 6, c, ce qui résulte de la considération des quadrilatères BDC6, ADCc, ADBa dans lesquels deux angles sont droits, on a la proportion

p : Q : Q' = sin 6 : sin c : sin a,

et par conséquent

P :Q:Q' = ac : ab:bc

qui fait connailre les deux pressions. On voit qu'elles sont d'autant plus considérables que la tète ac est plus petite ou que l'angle 6 est plus aigu.

Vitesse virtuelle. Moment virtuel. Démonstration du principe des vitesses virtuelles. — Principe des vitesses virtuelles dans un système à ressorts. — Réciproque du principe des vitesses virtuelles. — Démonstration a priori au principe des vitesses virtuelles. — Propositions fondamentales de la statique déduites du principe des vitesses virtuelles. — Principe des vitesses virtuelles dans les machines. — Applications à la recherche de quelques courbes d'équilibre. — Méthode analytique pour appliquer d*une manière générale le principe des vitesses virtuelles. — Maximum et minimum dans les positions d'équilibre. Condition d'équilibre dans les machines a poids.

90. Vitesse virtuelle. Af ornent virtuel. Démonstration du principe des vitesses virtuelles. — Les condîtioDS d'équilibre trouvées précédemment pour des forces appliquées soit à un système de points liés entre eux d'une manière invariable, soit à une machine, peuvent se résumer en une seule équation de condition qui les renferme toutes; cette condition générale, à laquelle on a donné le nom de principe des vitesses virtuelles^ consiste en ce que, si à un système de forces en équilibre réunies par des liens inextensibles on imprime un déplacement infiniment petit quelconque compatible avec les conditions des liaisons^ les points d'application de chaque force décriront de petites lignes telles que la somme des produits des forces par la projection de chacune de ces lignes sur la direction de la force sera égale à zéro. On nomme vitesse virtuelle d'une force le déplacement infiniment petit de son point d'application , et moment virtuel le produit de la force par la projection de la vitesse virtuelle suiiea direction. Ce moment est positif si la projection tombe sur la direction de la force, et négatif

STATIQU£. 123

si elle tombe sur le prolongement ou en d'autres termes , comme la projection de la vitesse virtuelle n'est autre chose que la quantité dont le point d'application de la force avance ou recule pendant le déplacement virtuel, on prend positivement les moments virtuels des forces qui avancent et négativement ceux des forces qui reculent, cl le principe général consiste en ce que la somme algébrique des moments virtuels d'un système de forces en équilibre est toujours nulle.

Pour le démontrer d'une manière générale , considérons d'abord le cas où toutes les forces sont appliquées à un même point» Si l'on imprime à celui-ci une vitesse virtuelle Ss et qu'on désigne par a, a! y etc., et a les angles formés par les forces P, P', etc. et par leur résultante R avec la direction de dsy comme la résultante estimée dans une direction est égale à la somme des composantes estimées dans la même direction (N"" 12), on a

R oos o = P cos a -^ etc. ,

et en multipliant par dsy

Rds cos a = PSs cos a 4- etc. ;

mais 05 cos a, odcosa, etc. ne sont autre chose que les projections de ds sur R, P^ P',etc. ; en désignant donc celles-ci par Sr^ djp, dp^y etc., on aura

R5r = V$p -*- P'd/)' -^ etc. = IP$p.

Si le point d'application commun est entièrement libre , il faut pour l'équilibre que R soit nul; on a donc dans ce cas

iPdp = 0.

Si le point n'est pas libre , mais assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe, la résultante ne devra pas être nulle, mais devra être normale à la surface ou à la courbe, et comme le seul déplacement compatible avec cette condition est dirigé suivant la tangente à la courbe décrite et par conséquent perpendiculaire à la direction de R, la projection Sr sera nulle et on aura également

lV$p « 0.

En second lieu, le principe des vitesses virtuelles se vérifie aussi dans un système de deux forces égales T et T' opposées et appliquées aux

extrémités d'un fil inextensible, c'est-à-dire que si AB (fig. 75) et Â'fi' représentent le fil avant et après le déplacement, on doit avoir

T.Aa-+-T'.B5=0;

en effet, si a est l'angle infiniment petit que forme A'B' avec AB, comme ab est la projection de A'B' sur AB, on a

ab = A'B' cos a , ou plutôt

ab = A'B',

parce qua le cosinus d'un angle infiniment petit est égal à l'unité, aux infiniment petits près du second ordre; or, à cause de l'inextensibilité du fil, les longueurs AB et A'B' sont égales; on a donc aussi

a& = AB et par suite Aa = B69

c'est-à-dire que Aa et B6 sont égaux et de signes contraires, ce qui vérifie l'équation des vitesses virtuelles précédentes. En troisième lieu , l'équation des vitesses virtuelles se vérifie encore lorsque deux forces T et T'(fig. 76J se font équilibre par l'intermédiaire d'un cordon inextensible AOB passant dans un anneau ou sur une poulie placée en 0; en effet, on sait que pour l'équilibre les deux forces T et T' doivent être égales, et en outre , si le déplacement virtuel amène le point A en A' et le point B en B', on aura

Oa = OA' cos A'Oa = OA', 06 =» OB' cos 60B' == OB',

parce que les angles A'OA et B'OB sont infiniment petits. Il suit de là que

A'O -*- OB' = aO -+- 06,

et comme AO + BO est égal à A'O -i- B'O à cause de l'incxtcnsibilité du fil, on a aussi

aO-H06 = AO-4-OB,

et par suite

AO— aO = 06 — OB, ou bien Aa = B6,

ce qui vérifie l'équation des vitesses virtuelles.

11 suit de là que, si aux deux extrémités A et B d'un cordon inextensible on applique des forces en nombre quelconque en équilibre,

réqualion des vitesses virtuelles se vérifiera pour toutes ces forces; en effet la tension T' du cordon, transportée par la pensée au point A, fait visiblement équilibre à toutes les forces appliquées en ce point; la somme totale de leurs moments virtuels est donc nulle, et le moment virtuel de T' est égal à la somme des moments des forces pris avec des signes contraires. Pour le même motif le moment virtuel de T est égal à la somme des moments des forces appliquées en B pris avec des signes contraires; or la somme des moments virtuels de T et de T' est nulle quand le fil est inextensible; la somme des moments virtuels des forces appliquées en A et en B est donc nulle.

Si dans les deux cas que nous venons d'examiner, le cordon n'était pas inextensible, mais était élastique et formait ressort, la somme des moments virtuels T. Aa + T'. B6 n'aurait pas été nulle, et en la mettant sous la forme T(Aa + B6), Aa h- B6 serait l'allongement dr du fil pendant le déplacement virtuel et cette sommC; formant le moment virtuel du ressort^ deviendrait

T(ÎT,

c'est-à-dire la tension du ressort multipliée par son allongement; de sorte que, en rétablissant les forces en nombre quelconque appliquées aux deux extrémités du cordon et qui produisent sa tension, la somme de leurs moments virtuels ne serait pas égale à zéro comme dans le cas de l'inextensibilité, mais c'est celle somme augmentée du moment virtuel de la tension qui serait nulle.

Considérons maintenant un système de forces quelconques, réagissant les unes sur les autres soit au moyen de corps invariables liés entre eux, soit au moyen de fils inextensibles, libres ou passant sur des poulies ou dans des anneaux, le système ayant quelques-uns de ses points assujettis & glisser sur des courbes ou des surfaces. On peut toujours par la pensée supprimer les corps invariables en les remplaçant par des liens invariables unissant les points d'application des forces. Cela posé, pour que l'équilibre ait lieu dans tout le système, il faut que les forces qui agissent sur chaque nœud , y compris les tensions des liens substitués aux corps ^ des cordons qui lient les différents corps, et les pressions des courbes ou des surfaces, se fassent équilibre. Si donc on désigne par P, P.... les forces proprement dites qui agissent sur le premier nœud, par T.... les tensions des cordons qui y aboutissent, et par II la pression d'une surface ou d'une courbe contre les points d'appui, on doit avoir

l?dp -H ITSt -4- n^ÎTr = 0.

iâC CHAPITRE IX.

Autour des autres nœuds ou aura de même

et par conséquent en additionnant,

IPSp -f. 2P'Jp' ^- 2P"V -4- 2Ta( -h ir^t' -♦-

-f- n^TT -f- n'(Î7r' -4- etc. c= 0.

Or dans les sommes des moments virtuels des tensions des cordons, chaque tension est comprise deux fois, et il résulte de ce qui précède que ces sommes partielles prises deux à deux sont nulles, aussi bien pour les liens fictifs substitués aux corps que pour les cordons inextensibles qui unissent ces corps. On a vu aussi que les moments virtuels des pressions IIott, TI'St:^, etc. sont égaux à zéro, si la surface est fixe et dépourvue d'élasticité, et si les points d'appui ne peuvent pas s'en séparer; l'équation précédente se réduit donc à

l?op H- IPSp' -+- etc. = 0,

ce qui est conforme à l'énoncé du principe.

Quand les points sont seulement appuyés sur les surfaces ou les courbes, un soulèvement des points d'appui est un des mouvements virtuels possibles; les forces II peuvent donc prendre des déplacements virtuels Sn dirigés dans le sens des forces II, II'.... et les moments II^tt sont nécessairement positifs; l'équation devient donc

iPSp -+- 2PV -H etc. = — (IltÎTr ^ ïI'^t:' -♦- etc.).

On voit que dans ce cas la somme des moments virtuels des forces motrices P, F.... n'est plus nulle, mais qu'elle est toujours négative quand les forces se font équilibre avec l'aide de surfaces d'appui ou de courbes.

91 . Principe des vitesses virtuelles dans un système d ressorts. — Si les cordons au lieu d'être inextensibles étaient élastiques, les sommes des moments virtuels des tensions ne seraient plus nulles deux à deux, jnais, d'après la remarque du numéro précédent, deviendraient

T^r, VSt' ,

en désignant par ^r, dr' les allongements virtuels de ces cordons.

L'ëquatîon des vitesses virtuelles prend alors la forme suivante

l?Sp -«-2T(îr = 0,

d'où il résulte que, lorsqu'il existe dans le système en équilibre des ressorts ou fils élastiques, l'équation des vitesses virtuelles subsiste encore pourvu que les tensions des fils ou ressorts soient rangées au nombre des forces, et que l'on prenne pour leurs moments virtuels le produit de la tension du ressort par son allongement virtuel.

92. Réciproque du principe des vitesses virtuelles. — La réciproque de cette proposition est également vraie, pourvu que le système soit h liens inextensibles, c'est-à-dire que, si le principe des vitesses virtuelles se vérifie dans un système de forces sans ressorts , ces forces sont en équilibre; en effet si cela n'était pas, le déplacement aurait lieu spontanément d'une certaine manière, et il est évident qu'en introduisant des forces convenables Q, Q', Q''.... dans le sens inverse du déplacement spontané de chaque points on maintiendra l'équilibre, et l'équation des vitesses virtuelles devra avoir lieu dans le nouveau système de forces, pour un déplacement quelconque possible, et par conséquent pour le déplacement spontané précédent ; on aurait donc,

l?$p -+- IQdq = 0, et comme, par hypothèse iPSp est nul, on devrait avoir

ce qui ne peut avoir lieu à moins que les forces Q, QS Q'' ne

soient nulles; car il résulte du mode d'action de ces forces en sens inverse du déplacement du point d'application que tous les moments virtuels QSq, Q^$q'.,., sont de même signe et que par conséquent la somme ne peut être nulle sans que chaque moment soit nul séparément. Il est visible que si les forces Q, Q'.... introduites pour maintenir l'équilibre sont nulles, cela indique que le système primitif était en équilibre.

93. Démonstration à priori du principe des vitesses virtuelles, — La démonstration précédente est fondée sur la loi de la composition des forces. Les considérations suivantes conduisent à une démonstration a prtort, c'est-à-dire indépendante de toute notion de statique, du moins pour le cas où le système est à liens inextensibles. Soit

dâ8 CHAPITRE IX.

ABCDE (fig. 77) un polygone renfermé dans un plan vertical; sur ce polygone faisons passer une chaîne sans fin uniformément pesante et parfaitement flexible ABGDEFA ; celle-ci restera en équilibre, car la cause qui ferait tourner la chaîne serait une cause sans effet, puisque malgré le mouvement, le système se présenterait toujours dans des circonstances identiques. Supposons de plus AE horizontal ; alors la partie pendante AFË de la chaîne sera formée de deux parties symétriques et les tensions en A et F seront par conséquent égales; d*oii il résulte qu'en la supprimant, la partie de la chaîne ABCDE sera encore en équilibre, quelle que soit la forme du polygone. Réciproquement si la chaîne ABCDE est en équilibre sur le polygone, on doit en conclure que les extrémités A et E sont placées au même niveau, car si cela n'était pas, si par exemple la droite EA' différente de £A était horizontale, la chaîne A'BCDE serait aussi en équilibre et on serait conduit à cette conséquence absurde, que la partie AA' devrait se maintenir par son propre poids sur le plan AB. La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est donc celle qui exprime que la somme des projections sur une verticale MN des côtés du polygone situés à droite du point culminant C est égale à la somme des projections des côtés placés à gauche , c'est-à-dire qu'en désignant par

a, a', a'' les angles formés avec une horizontale par les côtés

/, {', r prolongés dans le même sens, la condition d'équilibre

nécessaire et suffisante est exprimée par l'équation

i sin a -4- V sin a! h- T sin a" -+- etc. = 0.

Lorsque cette somme n'est pas nulle, une valeur positive indique que la projection verticale de la partie ABC l'emporte sur la projection de CDE, ce qui détermine un mouvement de la chaîne dans le sens EDCBA; une valeur négative correspondant à un mouvement eu sens inverse.

Concevons la chaîne comme composée de chaînons juxta^posés et enfilés par un cordon parfaitement flexible ABCDE, comme des grains de chapelet. Il est évident que l'équilibre ne sera pas troublé quand tous les chaînons appuyés sur un même côté du polygone seront remplacés par des poids uniques P, P', P", P'", égaux à la somme des chaînons; d'où il suit que des poids P, P', P", P'", appuyés sur les côtés du polygone ABCDE, proportionnels à ces côtés et liés par un fil ABCDE, resteront en équilibre.

Cela posé, si dans un système de forces on substitue à celles-ci

des poids équivalents suspendus à des fils verticaux passant dans des poulies de renvoi c, e^, c".... convenablement disposées dans un même plan vertical , l'équilibre subsistera encore, et un mouvement virtuel imprimé au système fera monter et descendre ces poids P, P'.... de quantités infiniment petites égales aux déplacements virtuels dp, dj/.., des forces. Or, on peut toujours construire un polygone plan ABGDE ayant ses côtés proportionnels aux poids ou aux forces P, P'...., et faisant avec l'horizon des angles ayant pour sinus -p-^ -4--** "9 ds étant

as ds

quelconque mais supérieur h tous les dp, dp\,,,; alors si l'on dispose chaque poulie de renvoi au-dessus du côté correspondant du polygone, et que l'on fixe la longueur du cordon de suspension de manière que les poids touchent respectivement ces côtés, il est clair qu'en concevant tous les poids reliés par un fil continu ABGDE, un glissement ds de ce fil sur le polygone fera descendre chaque poids de la même quantité dp que lorsqu'il était libre, puisque le glissement de P le long du côté

étant ds, la projection verticale est ds X -4- ou dp, de sorte que le

déplacement virtuel restera identiquement le même, soit que les poids ou les forces agissent indépendamment les uns des autres, ou que les forces forment un tout continu composé d'un cordon appuyé sur le polygone et portant des poids distribués sur tous ses côtés; or on a vu qu'il y a équilibre dans ce cordon si les poids sont proportionnels aux côtés {, /', r..., et si l'on a

Isina -*- P s'iQ a' -♦- /"sina" -*- ==0;

en remplaçant donc /,/',/" par P, P', P"...., et sin a, sin a'

par-T-,9 -r- 9 î^ y ^^^^ équilibre dans le système si Ton a

dsi ds

ds ds ds

qui se réduit à l'équation des vitesses virtuelles

Pdp -H Frf/ -f- P"dp" -4- etc. = 0.

Réciproquement^ s'il y a équilibre, l'équation des vitesses virtuelles doit avoir lieu, puisque l'on a vu que la première de ces trois équations doit alors exister^ et si l'équilibre est rompu^ le mouvement

de la chaine aura lieu dans le sens EDCBA ou dans le sens inverse, suivant que cette somme sera positive ou négative.

Observons que Ton a supposé la chaine libre de glisser dans les deux sens et par conséquent le système libre d'effectuer son déplacement virtuel dans les deux sens opposés. Si le déplacement n'était libre que dans le sens EDCBA, par exemple, il suffirait d'exprimer que la partie ABC de la chaine ne peut entraîner la partie CDE, ou que le point A n'est pas placé plus bas que le point £, ce qui conduit i la condition

/ sin a -4- /' sin d -♦- /" sin o" -*- etc. < 0

et par conséquent ,

Prfp -H P'rfp' H- P"dp" -*- etc. < 0.

On voit par là que, si le système ne peut être déplacé que dans un sens, sans pouvoir être déplacé dans le sens inverse, il suffit pour assurer l'équilibre que la somme des moments virtuels soit négative.

94. Propositions fondamentales de la statique déduites du principe des vitesses virtuelles, — On déduit du principe des vitesses virtuelles toutes les propositions de la statique relatives aux conditions d'équilibre et à la composition des forces. Nous nous bornerons aux théorèmes fondamentaux en commençant par le parallélogramme des forces.

Considérons trois forces P, Q, R en équilibre autour d'un point. On doit avoir pour un déplacement quelconque de ce point,

P(/p-+- Qdq -+- Rdr = 0;

or, si le déplacement se fait perpendiculairement au plan de deux forces P et Q, dp et dq sont nuls, et il vient

Rrfr = 0, d'on il suit que

rfr = 0,

ce qui n'a lieu que si le déplacement est aussi perpendiculaire à R, ou bien si P, Q, R sont renfermés dans un même plan. En second lieu si le déplacement se fait perpendiculairement à l'une R des trois forces et dans le plan qui les contient toutes trois, dr sera nul et on aura simplement

Pdp -f-Qrfç^O,

STATIQUE. i31

OU bien en appelant dn la vitesse virtuelle du point, et (a, |3, y) les angles compris entre Q et R, P et R, P et Q ,

Plis . sin (3 -4- Qrf« . sin a = 0 , d'où l'on tire

P sin P = Q sin a, et P : Q =» sin a : sin (3,

On trouvera de même après un dëplaccment virtuel perpendiculaire àQ,

P : R = sin a: sin y;

d'où l'on conclut que chaque force est proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autreSv II est facile de conclure de là que l'une des trois forces est égale et directement opposée à la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres forces.

Pour trouver les conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à un point, on remarquera que si ce point se déplace d'une quantité ds faisant des angles (a, 6, c) avec trois axes rectangulaires

fixes, et si l'on désigne par dp, dp' les projections de $8 sur

P, P', P"...., on doit avoir

Pdp -H P'dp' -f- etc. = 0 ;

or si (a, j3, y), (a', (y, /). . sont les angles formés par P, P'... avec ces axes, les cosinus des angles formés par Ss avec P, F... sont donnés par

cos a cos a + cos 6 cos ^ -i- cos c cos y,

cos o cos a' -f- cos 5 cos (3' ■+■ cos c cos /,

les projections dp, dp'.... de la vitesse virtuelle sont donc $8 (cos a cos a H- cos 6 cos (3 + cos c cos y ) , . . . . et l'équation des vitesses virtuelles devient

IPds {cos a cos a -+- cos 6 cos ^ -h cos c cos y) *=» 0 , que Ton peut écrire de cette manière :

d« cos o2P cos a -^ $8 cos 52P cos ^ -*- is cos c2P cos y = 0,

i3â CHAPITRE IX.

OU bien ea dësignant par (dx, dy, dz) les projections de Ss sur les trois axes, c'est-à-dire, ds cos a, ds cos 6, Ss cos c,

<îx2P cos a -♦- ^y2P cos P -*- 5z2P cos y = 0.

Cette équation, devant avoir lieu pour toute direction de $8, doit subsister pour toute valeur de Sx, dy, $z; elle se décompose donc dans les trois suivantes

2Pcosa = 0, 2P cos (3 = 0, 2Pcosy = 0,

qui sont en effet les équations d'équilibre trouvées précédemment.

On trouve les conditions d'équilibre d'un point matériel tiré par la force R, et assujetti à demeurer sur une surface, en remarquant que la vitesse virtuelle Ss doit être placée sur la surface ou dans le plan tangent, puisque le point ne peut pas sortir de la surface; désignant donc par a l'angle formé par R avec ôsj comme l'équation des vitesses virtuelles est

R^«coso = 0,

on en conclut que cos a est nul, ou que a est droit pour tous les déplacements virtuels, c'est-à-dire que la force R est normale à toutes les lignes tracées sur la surface autour du point d'application; la force est donc normale à la surface.

Si le point matériel est assujetti à rester sur une courbe, la vitesse virtuelle sera un élément de cette courbe et l'on trouvera comme plus haut

R^5cosa = 0, ou cosa=sO, et a = ;r»

qui exprime que R est normal à la courbe.

On sait que lorsque des forces ont une résultante, le moment de celle-ci par rapport à un axe quelconque est égal à la somme des moments des composantes (N** 35) , ou bien, comme cette résultante prise en sens inverse maintient le système en équilibre, la somme totale des moments par rapport à un axe , d'un système de forces en équilibre est égale à zéro. Pour démontrer ce théorème par le principe des vitesses virtuelles, décomposons chaque force P en deux autres Pcosd et Psind, l'une parallèle à l'axe et l'autre perpendiculaire, puis imprimons au système une rotation &> autour de Taxe. Chaque point d'application aura une vitesse virtuelle perpendiculaire

h l'axe et par conséquent aux composantes parallèles Pcos d qui n'auront pas de moment virtuel; quant aux composantes Psin d, si Ton désigne par p la distance de la force P à Taxe , la rotation &) fera avancer cette composante d'une quantité po), le moment virtuel sera donc /}a>Psin $ et l'équation des vitesses virtuelles deviendra

2p(«)Psin 5 = 0,

ou plutôt, en remarquant que la rotation co est la même pour tout le système,

(ùlPp sin 5 = 0 , c'est-à-dire iPp sin 5 = 0,

qui est le théorème énoncé plus haut, puisque Pp sin d est le moment de P par rapport à l'axe.

Enfin on trouve les conditions d'équilibre de forces appliquées à un système de forme invariable en lui imprimant successivement six déplacements virtuels, les trois premiers parallèlement à chacun des trois axes rectangulaires auxquels on rapporte les points du système, et les trois autres, autour de ces trois axes. Si {a, p, y') sont les angles formés par P avec les axes coordonnés, cette force pourra être remplacée par les trois composantes Pcos a, Pcos|3^ Pcos y, et dans le déplacement virtuel e parallèle à l'axe X, la composante Pcos a aura seule un moment virtuel qui sera eP cos a ; la somme est donc 2eP cos a, ou plutôt e2Pcos (Xj parce que ce déplacement e est le même pour toutes les forces. Comme elles sont en équilibre, on doit avoir

e2P cos a = 0, et par conséquent 2P cos a = 0.

Les déplacements virtuels parallèles aux axes Y et Z conduiront aux deux autres équations d'équilibre dites de translation

2P cos P = 0 , 2P cos y = 0 .

Quant aux déplacements virtuels autour des trois axes^ on vient de voir que les équations auxquelles on est conduit expriment que les sommes des moments des forces par rapport aux trois axes sont nulles. On sait que ces sommes sont données par 2P(zcosP — y cos y], 2P (x cos y — z cos a) , 2P (y cos a — x cos |3) , et par conséquent les trois équations d'équilibre dites de rotation sont

2P {z cos P — y cos y) = 0, 2P (x cos y — z cos a) = 0 ,

2P(t/ cos a — X cos P) = 0.

154 CflAPJTRE IX.

Observons que le nombre d'équations d'équilibre ne saurait être supérieur à 6, et que par conséquent de nouveaux déplacements virtuels ne peuvent conduire k d'autres équations de condition, quand le système est de forme invariable; en effet si le système se compose de n points d'application de forces, il faut et il suffît^ pour que l'équilibre soit assuré, que les 5ii coordonnées de ces points soient constantes et déterminées; on doit donc avoir 3n équations de condition entre ces coordonnées et on ne saurait en avoir un plus grand nombre. Or la condition de l'invariabilité de la forme du système est exprimée au moyen de 3f» — 6 équations de condition exprimant d^abord que trois quelconques des points sont entre eux à des distances invariables, ce qui donne lieu à 5 équations, et que les n — 3 autres points sont à des distances invariables des 3 premiers, ce qui donne encore 3(n — 3) ou on — 9 équations, et par conséquent en en tout 3n — 6. On ne peut donc à ces 3n — 6 équations en ajouter au-delà de 6 nouvelles, et celles-ci suffiront pour que les coordonnées des n points soient déterminées.

La même marcbe conduit aux conditions d'équilibre d'un système de forces parallèles, mais les six équations se simplifient; en effet si les forces sont parallèles, les angles (a, (3, y) sont les mêmes pour toutes les forces, les trois équations d'équilibre de translation deviennent donc

cos (xlP = 0, cos piP = 0, cos ylP « 0 ,

qui se réduisent à

iP = 0;

quant aux équations d'équilibre de rotation, elles deviennent

cos p2Pz — cos y2Py = 0,

cos y2Px — cos a2Pz = 0,

cos a2Py — cos (32Px = 0 ,

dont l'une est visiblement comprise dans les deux autres. Ces équations d'équilibre ont plus de généralité que celles que l'on a trouvées au N" 23; mais on retrouve ces dernières en supposant le plan des XY perpendiculaire aux forces, car alors a et P sont des angles droits, y est nul et les deux premières équations se réduisent à

2Py = 0, iPx = 0.

95. Principe des vitesses virtuelles dans les machiîies , — L'cquatioii générale des vitesses virtuelles prend une forme très simple dans les machines qui ne contiennent aucun ressort, et dans lesquelles les cordons, s*il y en a, sont inextensibles; en effet, toutes les fois que les forces qui s*y font équilibre se réduisent à une puissance P et une résistance Q, le principe donne

P$p -^ Q(îi/=0, ou

p : Q = (îç : 5p.

Dans cette proportion ip et dq sont les quantités infiniment petites dont les forces P et Q avancent ou reculent lorsqu'on écarte très peu la machine de sa position d*équilibre. Comme les variations Sp et $q doivent être de signe contraire pour que le second membre soit positif comme le premier, on voit que si Tune des forces avance, l'autre doit reculer, et les deux forces en équilibre sont dans le rapport inverse des quantités infiniment petites dont elles avancent ou reculent.

En désignant par dt le temps pendant lequel se sont effectués les déplacements Sp et dç, cette équation peut aussi se mettre sous la forme

^ dt dt

Sp Sa On verra plus loin {N° 102) que "f^ et -^ sont les vitesses avec lesquelles les espaces 9p et âq ont été parcourus : d'où il suit que, dans une machine en équilibre les deux forces sont dans le rapport inverse des vitesses avec lesquelles elles tendent à avancer ou à reculer quand on dérange infiniment peu cet équilibre. C'est cette propriété qui a fait dire que dans une machine on perd en vitesse ce que l'on gagne en force. C'est aussi cette propriété qui a mis les géomètres sur la voie du principe général dont nous nous occupons. On en déduit fort simplement le rapport de la puissance à la résistance, sans connaître la composition d'une machine, puisqu'il suffit de mesurer les variations $p et Sq.

On peut aussi en déduire toutes les conditions d'équilibre qu'on vient de trouver pour les machiues. S'il s'agit du levier AOB (fig. 78) et des deux forces P et Q, imprimons lui un déplacement virtuel

autour d'une droite quelconque OB' passant par le point fixe 0 et rencontrant la force Q en B'; la vitesse virtuelle de Q sera visiblement nulle, et Téquation des vitesses virtuelles se réduira à

P<îp = 0, d'où $p = 0.

Pour que la projection Sp sur P soit nulle ou pour que la force P n'avance pas, il est nécessaire que P soit coupé par toutes les droites telles que OB', et par conséquent il faut que P soit renfermé dans le plan qui contient la force Q et le point 0; les deux forces et le point fixe doivent donc être renfermés dans un même plan. En second lieu, si l'on abaisse du point 0 les perpendiculaires Op et Oq sur les directions des forces, et qu'on fasse tourner le système autour de 0 dans le plan de ces forces, P reculera de pp', Q avancera de qq'y et l'équation générale devient

P.pp'-Q^qq' = 0]

or, en désignant par (ù l'angle de rotation infiniment petit pOp' ou qOq\ et par p eiq les deux perpendiculaires Op et Oq, on a

pp'^p.(ù, qq'^q.cùi d'où il résulte que