h tang
plus haut, il Tient aussi
Gomme l'ascension n*est terminée que lorsque la vitesse est nulle, on en trouvera la durée et l'étendue en égalant k zéro la vitesse, c'est-àdire en posant
nkt , . nkt ^ „ ^ . nkt a ma
a cos A:sm — =0, d ou tang — =«t et f==— rare langT »
m m "^ m k nk ^ k
x = £log(l^.^^
Ces formules font connaître les lois du mouvement ascensionnel d'un point matériel suivant une verticale, en égalante à ~ » ce qui fait
DYNAUlQtJE. i71
prendre k k\à valeur
Si l*on fait eosuîle n ëgal k zéro , on doit retrouver les formules du mouvement ascensionnel dans le vide, ce qui arrive en effet en développant en séries le sinus et le cosinus ainsi que le logarithme, développements dont on peut toujours faire usage, puisque ces séries sont toujours convergentes, (rrat^éd'anatj/^e, 2°*" édition, N° 36.)
Nous avons supposé la gravité g constante dans les formules précédentes , ce qui n*est permis que pour des hauteurs de chute tris petites relativement au rayon de la terre. Pour des espaces illimités ^ il faut tenir compte de la variation de la pesanteur avec la distance au centre de la terre. On verra plus loin que Tintensîté de la gravité varie dans le rapport inverse du carré de la distance au centre; si donc g est la gravité à la surface de la terre^ ou à une distance r du centre, la gravité à une hauteur x au-dessus
de la surface ou à une distance r-Hx du centre, sera 7-^ — rrj qu'il
faudra substituer à g dans Téquation différentielle du mouvement. Celle-ci devient en rendant le mouvement vertical ^ c'est-à-dire en
faisant «=-»
(f*x mqr^
Si Ton suppose n constant, ce qui revient à considérer Pair comme étant partout identique, on intégrera en remarquant que
(/*x dv vdv dx , rfx
n^^irii' p^'^'^'ï"^ fr'' '' ^'-
et on remplacera ensuite v^ par une nouvelle variable z. On sera conduit ainsi à une équation différentielle linéaire du premier ordre. Quand on tient compte de la variation de la densité de l'air atmosphérique aux différentes hauteurs, on remarquera que le coefficient n est, comme on le verra plus loin, proportionnel à la densité de
l'air, laquelle est pour une hauteur x, représentée par pe p ^ p étant
472 CUAPITRE XII.
la densité à l'origine; le coefficient n devra donc être remplacé par
n'pe p dans laquelle n' est un certain facteur indépendant de la densité; Téquatîon différentielle du mouvement devient alors
d*x tngr^ -.^'
or (x -h r)^ '^
£n supposant retendue du déplacement assez petite pour qu'on puisse regarder la gravité comme constante, l'équation du mouvement prend la forme
m -T-Y«= — mg H- n^pe p r«
qui se déduit d'ailleurs de la précédente en remarquant que l'on a •• X x^ r* . X x*
^^ •; rT = i— 2--t-3-- — etc. ,
(r -t- xr r r*
= 4 H-T—etc. ..
et que, quand x est petit relativement au rayon r de la terre, le second membre se réduit sensiblement à l'unité.
Cette dernière équation différentielle s'intègre en observant que
d'x vdv
-jY=-r— , et en remplaçant v* par une nouvelle variable z; elle devient alors linéaire et du premier ordre; mais la quadrature ne peut être effectuée que par approximation.
En tenant compte de la variation de la pesanteur, les lois du mouvement d'un point matériel dans le vide sont données par
d*x tnjfr*
d'où l'on tire, en multipliant les deux membres par 2(/x,
2(ir* ou t* = — ^ h C.
Une seconde intégration fera connaître x en fonction de t,
111. Problèmes, — Occupons-nous encore du problème suivant : déterminer le mouvement d'un point matériel m soumis à Inaction de deux forces répulsives émanant de deux points fixes A et B de la
droite AmB, l'intensité de ces forces étant inversement proportiotinelle
aux distances m et mB du point m aux points fixes.
En représentant par a et 6 les intensités des deux forces agissant
à Tunité de distance et sur Tunité de masse, elles deviendront à
a b des distances respectives x et l — x^ égales à - et -. 5 de sorte
que réquation différentielle du mouvement sera
rf*x a b
d*où Ton tire en multipliant les deux membres par dx et intégrant, f — j =2alogxH-261og(/ — x) -*- 2 logC = 21og jCx«(/~-x)*j •
Si l'on représente par e la distance initiale du point matériel au
dx point A, et qu'on détermine C par la condition que — ou la vitesse
soit nulle lorsque x est égal à e, il viendra et par conséquent
dx
-7-» ou t;
dt
\/H(S)XT^)^ <•'•
La relation entre l'espace parcouru et le temps s'obtient en effectuant une deuxième intégration. Quoiqu'on ne puisse trouver cette intégrale sous forme finie, on reconnaît cependant que le point matériel m oscille indéfiniment entre deux points fixes C et C placés entre A ctB; car dans les points où la vitesse change de direction, celle-ci doit être nulle; les valeurs correspondantes de x sont donc données par l'équation
CKrH)'--
que l'on peut mettre sous la forme
x^ (/— x) = e^ (/— e), ou x»+* — /x" h- e'*(/ — e) = 0.
i74 CHAPITRE XII.
eo remplaçant y pai* ^ 9 et il est visible que cette dernière donne
pour X deux valeurs positives au plus, puisque Téquation ne présente que deux variations de signes ; d*où il résulte que m oscillera indéfiniment entre deux points fixes C et Cy dont l'un n*est autre que le point de départ correspondant k x = e. Quant aux solutions négatives, s'il y en avait, elles seraient évidemment étrangères à la question de mécanique, car pour que x put devenir négatif, il faudrait que pendant le mouvement il passât par zéro, ce qui ferait prendre à la vitesse une valeur imaginaire.
11 y a une position où le point matériel resterait immobile si on l'y plaçait sans vitesse initiale. C'est évidemment celle où les deux forces motrices sont égales ; sa position est donc donnée par l'équation
a 6 al
0, dou x =
Si l'on cherche le lieu où la vitesse est un maximum , on trouve qu'il
coïncide avec le point précédent.
L'intégration de (i) devient possible lorsque le point matériel ne
s'écarte que très peu de la position d'équilibre, c'est-à-dire du point
al al
donné par a:«= rî car si l'on remplace e par r« — s, et x
al par ^ -t- z, s et z étant des quantités très petites, l'équation diffé-
cl en développant en série, suivant les puissances ascendantes de z et de £^ les logarithmes de p + z, p — Sy l — p — z, l — p -+- e, il vient, en bornant les développements aux termes de seconde puissance de z et de £,
dt y abl^ ^
dont l'intégrale est
. z ^ /[a-^by arcsin-=f%/ ., .
e y l^ab
DY.NAMIQUE. i75
la constante arbitraire étant déterminée par la condition que t soit nul quand z = 0. On tire de là
E,sineY/"-7i
'«a6 11 est visible que z, ou Técart de la position d*équilibre passera par
les valeurs 0, h- e, 0, — e, 0, -♦- e, etc., lorsque t\/ ""— — -^ sera
égal à 0, ^9 ^> ~^' ^^^''y ^*o^ >^ résulte que le point matériel m
fera une suite indéfinie d^oscillations dont la durée uniforme est
^ V (q ^ bf ' ^" V (ôTôp" proportion-
nelle à la distance des deux points A et B.
Le mouvement qu'on vient de déterminer est celui que prend une sphère placée dans un tube cylindrique de même diamètre, fermé aux deux extrémités et rempli d'air atmosphérique des deux côtés de la sphère. La force élastique de Tair augmentant proportionnellement à la compression , il est visible que la sphère est soumise à l'action de deux forces répulsives inversement proportionnelles aux distances aux deux extrémités du tube, et si on la place de manière à comprimer fortement l'air placé d'un côté et qu'on l'abandonne ensuite à ellemême, elle oscillera comme on vient de le voir entre deux positions fixes C et C.
Si l'on tenait compte du frottement exercé par la sphère contre les parois du tube, en représentant par /'cette force rapportée à l'unité de masse, c'est-à-dire en représentant par mf la force totale du frottement, l'équation différentielle du mouvement deviendrait
dont l'intégrale première est
/î^y = 2a log ai -*- Î26 log (/ — x) — 2/x -»- C , ou, en déterminant la constante arbitraire comme plus haut.
176 CHAPITRE Xll.
Celle valeur donne lieu k une discussion semblable a celle qui précède,
et on reconnaît que le point matériel effectue une suite d'oscillations
dont Tamplitude va constamment en diminuant.
Si le point ne s*écarte que très peu de la position d'équilibre don-
al née par x= j^ €" remplaçant comme plus haut e et x par
qI al r — £ et r -4- z, £ ct z scrout dcs quantités très petites, et
la valeur de v devient
L'étendue ou Tamplitude de la première oscillation se détermine en remarquant que dans les deux moments extrêmes la vitesse v est nulle; on a donc pour ces deux instants,
La première équation donne — £ pour l'écart à gauche au commencement de l'oscillation; la seconde donne pour z, £ — r-^ — rrr^ui est
l'écart à droite. Il résulte de là que, dans chaque oscillation à droite ou à gauche, l'écart du point matériel de la position d'équilibre diminue
de r^ — r-T ' puisqu'on voit que cette diminution est indépendante de£.
Remarquons aussi que pour que la valeur de v soit réelle, c'est-àdire pour qu'il y ait commencement de mouvement après que le point a été écarté de la position d'équilibre d'une quantité e, il faut que pour cet instant l'on ait
i^(£-z)-2/'>0, ou £>^-l-^^Z,
et comme z a dans ce moment la valeur — £, on doit nécessairement
avoir
^ 2/a6i« ^ fabl^
£ > 7-^ — r% — £ ou £ >
(tt -+-6;' ^ (« -*- ^j' '
DYNAMIQUE. i77
d'où il suit que pour que le point se incite en mouvement, il doit éire écarlë de la position d'équilibre d'une quantité supérieure à
— ; sinon le point reste immobile. Comme l'écart diminue de
j—t à chaque oscillation à droite ou à sauche, on voit que le
nombre d'oscillations à droite ou à gauche comptées depuis l'instant où le point a été écarté d'une quantité £, jusqu'au moment du repos,
OU jusqu^à ce que l'écart devienne moindre que-r-^ r--> est donné
P*"* .^r n^ ==' ^z- ii> ' g> OU plutôt par le nombre entier immé- 2/a6/* 2/b6/*
diatement inférieur.
11 résulte aussi de la discussion de la valeur de v, que si le point
mobile est écarté de la position d'équilibre d'une quantité e =
la vitesse se réduit à t? = \/t -♦-«%/ — —, — (/ — z\ d'où il résulte
que z ne peut pas prendre une valeur positive, c'est-à-dire que le point glissera jusqu'à la position d'équilibre et s'y arrêtera. Si £ est
compris entre -r-^ — yr- et 7^ p— ou est égal a --^ r— -♦- 0, la
*^ (a -4- 6)' (a -♦- 6)' ° (a -+- hf
valeur de t? devient i/z-t- e % / ^% / —z — l-^ 6 i;
d'où il suit que z doit rester négatif et ne peut dépasser—^ — ïTl^^*^
le point ne parcourra donc qu'un espace écal à — — . h G
Enfin, en intégrant l'équation différentielle qui donne la valeur de
dz ,
i depuis ( e= 0 correspondant a z == — s, on trouve pour intégrale
dt
(o -+- 6)» V (a + 6jV V «t'*
178 CHAPITRE Xll.
5tfabP Comme à la fin de roscillation, z est égal à e — 7—^ — r— ' on trouve
pour la durée T d*une oscillation entière,
et T = tt/ % / ^ ; —
Cette valeur étant indépendante de l'écart s , il en résulte que toutes les oscillations ont la même durée, quelle que soit Tamplituda. Cette durée est aussi indépendante du frottement. La durée totale du mouvement du point matériel est représentée par le produit de T par
le nombre d'oscillations, ou par le produit de nl\/ par le
(a -4- 6)5 plus grand nombre entier contenu dans s, c'est-à-dire qu'elle
est sensiblement égale à â/yX/
Si le tube était ouvert a Tune de ses extrémités, il faudrait faire 6 =s 0, et on aurait pour la vitesse
Y/2Iog('îY-2/-(x-e)
dont le maximum correspond à
Telle est évidemment la longueur qu'il faut donner au tube pour que la sphère soit lancée au dehors avec la plus grande vitesse possible, puisque la vitesse maxima, acquise au moment où le projectile sortira du tube, est celle qu'il conserverait indéfiniment dans le vide sans l'action de la pesanteur.
CILVPITRE XIII.
Théorie du mouvemeiU curviligne. — Propriétés du mouvement curviligne. Loi des aires. — Equation des forces vives. — Équation du mouvement relatif. — Loi des aires dans les mouvements relatifs. — Equation des forces vives dans les mouvements relatifs. — Force tangcnticlle. Force centrifuge. — Mouvement parabolique. — Mouvement elliptique. — Mouvement elliptique relatif. — Mouvement d'un point matériel dans Tair.
il2. Théorie du mouvement curviligne. — Un mouvement curviligne e$t celui que prend un point matériel qui décrit une certaine courbe dans Tespace en vertu des forces qui Taniment. Pour se rendre compte de la génération d*un semblable mouvement, supposons qu'à une époque quelconque le point matériel arrivé en a soit animé d'une certaine vitesse v dans la direction ab (fig. 86); si aucune force extérieure ne vient agir sur lui, il conservera à cause de son inertie, sa vitesse et la direction de son mouvement; mais si, arrivé en 6 après un temps dty une force accélératrice cp vient agir dans la direction bc pendant un instant dt^ celle-ci engendrera une vitesse (pdt suivant 6c et le point mobile prendra une vitesse qui sera la résultante i/ dev Suivant 6e et de (pdl. et au bout du temps dt il arrivera en d sur cette résultante. Là, s'il reçoit une nouvelle impulsion 9' suivant (f/*, il suivra la diagonale du parallélogramme construit sur (p^dt et sur t/, et ainsi de suite; le point matériel décrira ainsi le polygone ou plutôt la courbe bdk,...
La théorie du mouvement curviligne consiste principalement dans la détermination de la position que le point occupe à chaque instant
480 CHAPITRE Xlll.
dans TespBce, ainsi que de la courbe ou trajectoire qu'il décrit. On
voit donc qu'en rapportant la position du point matériel à trois plans
rectangulaires et en représentant par (x, y, z) les trois coordonnées de
sa position au bout du temps t, cette théorie a pour but de trouver les
valeurs de ces coordonnées en fonction de t. L'élimination de t entre
deux des trois équations donnera lieu à deux équations entre deux des
coordonnées, qui seront évidemment les équations des projections de
la trajectoire sur deux de ces plans.
Comme dans Tintervalle dt, ces coordonnées augmenlentde(rfx,dî/,dz),
dx dy dz ,
il en résulte que -t-' -tt» -77 sont a 1 instant ( les vitesses du point
dt dt dt "^
matériel dans le sens des trois axes ou les composantes suivant les
axes de la vitesse dans l'espace , laquelle est par conséquent repré-
ds ou l'élément de la courbe décrite est égal à j/dx* -4- dy^ -t- rfz*.
Représentons par (X, Y, Z) les trois composantes de la force motrice
suivant les axes; comme cette force est égale et opposée à la réaction ,
il est clair que les trois composantes (X, Y, Z) de la première sont égales
et opposées aux trois composantes de cette dernière ; or une force de
dv , .
réaction étant représentée par m-j-y la réaction dans le sens de l'axe
sen tée
\dtj d^x
des X est donnée par m — ^ — ^— > ou w-j-y» en prenant le temps t
pour variable indépendante, et l'on est conduit aux trois équations
rf*x ,, d^u ,, d^z
qui formeut les équations du mouvement du point matériel m, parce que leur ensemble représente la loi du mouvement du point matériel dans l'espace.
Si (X, Y, Z) sont respectivement fonctions de (x, !/,«), on pourra intégrer séparément ces trois équations en multipliant les deux membres par 2dx, 2dyy 2dz; car il viendra
m( — ) =2/Zdz-t-C",
d'où Ton tirera, en représentant par cpx, (p'i/, 9"^ les seconds membres de ces équations,
|/(px |/(p'y /9"z
et une nouvelle quadrature donnera
En éliminant t entre deux de ces équations, on aura les projections de la trajectoire sur les plans coordonnés.
Si (X, Y, Z) étaient donnés en fonction de /, ou trouverait aussi immédiatement par de simples quadratures, les équations de la trajectoire; car en multipliant par dt et intégrant, il vient
puis mx = / 'T^uii -t- ly, my = / (f^'tdt -^ IV, mz = / (f^"tdl -+- D".
Par l'élimination de f, on obtiendrait ensuite les équations des projections de la trajectoire.
Les intégrations précédentes ne seraient plus possibles immédiatement si les forces motrices (X, Y, Z) étaient fonctions d'une ou plusieurs variables, autres que celles indiquées plus haut; dans ce cas, il faudrait considérer les trois équations du mouvement comme formant un système d'équations différentielles simultanées, et on les intégrerait soit en les combinant de manière à séparer les variables, soit en employant la méthode générale indiquée dans le Traité d'analyse 2™« édition, N*» 244.
Les trois intégrales premières font connaître les composantes de la
vitesse -7- » - > -r-» et par suite la vitesse elle-même. Elles déterdt dt dt ^
minent aussi la direction du mouvement dans l'espace à une époque
quelconque, c'est-à-dire la direction de la tangente à la trajectoire,
car on sait que les cosinus des angles que forme la tangente à une
18^2 CHAPITRE Xlll.
1 • . / s 1 . dx (ly dz
courbe au |)oinl (x, y, 2) avec les trois axes sont -r-» -^ » -7-^ que I ou
ds ds ds
dx d\j dz peut écrire sous la forme -j— ' -^ — ' -j- » et qui reviennent a
1à c/Ï li
dx
Tt
etc.
Les équations du mouvement d'un point matériel mises sous la forme
nid ( — - ) = Xrff, elc. etc.
apprennent que raccroisscment élémentaire de la quantité de mouvement estimée suivant une direction quelconque est égal a Timpulsion élémentaire de la force motrice estimée suivant cette direction (voir la fin du N° 109). En intégrant on arrive à la même égalité entre les accroissements finis des quantités de mouvement et des impulsions.
115. Propriétés du mouvemefit curviligne. Loi des aires. — On déduit des équations générales du mouvement d'un point matériel plusieurs lois ou propriétés qui ne sont que des .cas particuliers de propriétés plus générales que nous démontrerons lorsque nous nous occuperons du mouvement d'un système de points matériels.
Si l'on combine deux h deux par voie de soustraction les équations du mouvement
d(* ' di^ ' d«« '
après les avoir multipliées respectivement par y et par z, par y et par Xy par x et par t/, on en déduit
or les seconds membres, sont nuls si la force motrice dont (X, Y, Z) sont les composantes, est dirigée constamment vers Torigine fixe des coordonnées, si^ par exemple, cette force résulte d'une attraction ou d'une répulsion émanant de ce point; car ces seconds membres sont les moments de la force par rapport aux trois axes, moments qui sont nuls quand la force rencontre les trois axes ou passe par l'origine. Les seconds membres sont encore nuls lorsque le point matériel n'est soumis à l'action d'aucune force motrice, c'est-à-dire lorsque (X, Y, Z) sont nuls; dans l'un ou l'autre cas on a donc :
yd'z — zd*y zd^x — xd^z xd^y — yd^x
dT* ^"' dT^ ^^' d^ ^^'
et si l'on intègre après avoir multiplié par dt, en remarquant que les numérateurs sont les différentielles de
ydz — zrfy , zdx — xdz, xdy — ydx, on trouve
y^zj-zdy ^ zdx — xdz __ ^, xdy " ydx ^
dt -^^ dt ^'' di ^'
qui tiennent lieu des trois intégrales premières des équations du mouvement.
Les trois constantes arbitraires sont déterminées quand on connaît le point de départ du point matériel, ainsi que la vitesse initiale et sa direction; car on connaîtra dans ce cas les valeurs de x, t/, z,
dx dy dz , . , , ,
-r j -T^ et -7- q"i entrent dans les premiers membres de ces trois
dî dt dt ^ *
équations.
Si l'on multiplie les deux membres respectivement par (z, t/, x),
on trouve on additionnant,
Cx-4- C'y H- C"2 = 0,
qui fait voir que les coordonnées de la trajectoire satisfont à l'équation d'un plan passant par l'origine^ c'est-à-dire que la trajectoire est plane, ce qui du reste est évident, puisque si la force passe par l'origine, il n'y a aucun motif pour que le point matériel sorte du plan passant par la direction de la vitesse de projection primitive et par le centre d'attraction.
184 CUAPIIRE Xlll.
Pour interpréter les trois équations différentielles qui précèdent, considérons la troisième se rapportant évidemment h la projection de la trajectoire sur le plan des XY; elle donne, en intégrant une seconde fois et en faisant commencer Tintégrale avec le temps, ce qui fait disparaître la nouvelle constante arbitraire,
xdy — ydx = C"dt , / (xdy — ydx) = C't.
Si Ton passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires r et 6, en prenant Torigine pour pôle et en comptant les angles à partir de Taxe des X, on aura
x = rcos0, y = rsinO,
et rintégrale devient
/rMe = C"(.
On sait que Taire élémentaire comprise entre deux rayons vecteurs
faisant un angle c{6, est représentée par-r^ctO et que, par conséquent
l'aire /" que décrit le rayon vecteur pendant le temps ( est exprimée
par- y* r*r/9; d'où il résulte que l'on a
À" = îc"t,
c'est-à-dire que l'aire X" est proportionnelle au temps t. Les deux autres différentielles conduisent aussi aux relations
Il suit de là, que, lorsqu'un point matériel en mouvement n'est soumis qu'à l'action d'une force dirigée vers un point fixe, la trajectoire est toujours renfermée dans un plan passant par ce point, et le mouvement a lieu de manière que les aires que décrivent les trois projections du rayon vecteur de V espace sur les trois plans coordonnés sont proportionnelles au temps employé à décrire ces aires, le centre des aires étant placé à l'origine^ qui est le centre d'attraction.
En rcprésentaal par L l'aire plane que décrit le rayon vecteur de l'espace et dont A, A', X" sont les projections, on sait qu'on a
et par conséquent,
c*est-à-dirc que cette aire de Tcspacc est aussi proportionnelle au temps employé à la décrire.
Les trois intégrales premières auxquelles nous avons été conduits plus haut, savoir
xrfy — ydx
dt
= C, etc., etc.
ont aussi une signification géométrique fort simple; comme— 9 --^9
-r-sont les composantes de la vitesse du point matériel, x--^ — y --^-etc. dt ai dt
etc., sont les moments de cette vitesse par rapport aux axes, de même que xY — yX, etc., etc. sont les moments de la force (XYZ) et ces trois intégrales premières expriment que les moments de la vitesse du point par rapport aux axes sont invariables.
Réciproquement, si cette loi des aires se vérifie dans le mouvement curviligne d'un point matériel, on doit en conclure que ce point eét soumis à l'action d'une force dirigée vers l'origine des coordonnées, car si l'on dérive deux fois les trois équations qui expriment cette loi, on est conduit aux suivantes
d^y d^x ^ a:^— y-^ = 0,etc.,ctc.
qu'on peut remplacer par
xY — yX = 0, etc., etc.
à cause des équations du mouvement d'un point matériel. Ces dernières équations expriment que les moments de la force motrice par rapport aux axes sont nuls^ ce qui ne peut avoir lieu que si la force est dirigée vers l'origine.
Les équations du commencement de ce numéro étant multipliées par dt^ peuvent être mises sous la forme
m/^xd--^ j — yrff — j=xYf/( — t/Xd^ etc., etc.
186 CHAPITRE Xlli.
Le premier membre est le moment par rapport à un axe de l'accroissement élémentaire mdv de la quantité de mouvement; le second représente le moment de l'impulsion élémentaire Rdt dont Xdt et Ydt sont les composantes. Si Ton prend les intégrales ou les sommes des deux membres entre deux époques du mouvement, Tintégrale du
premier membre est m ( x-^ — y-j- ) représentant le moment do la
quantité de mouvement mv du point, et Ton est conduit à ce résultat que r accroissement total du moment de la quantité de mouvement par rapport d un axe, pour un temps quelconque est égal à la somme des moments des impulsions élémentaires pour chaque instant dt,
ii4. Équation des forces vives. — Multiplions les trois équations du mouvement respectivement par 2 Jx, ^dy, ^dz ; il vient en les ajoutant,
f^^dx + 2^ dy -*- 2 J, dz^ = 2 [Xdx -i- Ydy -*- Zdz).
Or le premier membre peut être mis sous la forme
2c/xd«x -^ 2dt/d't/ -t- ^dzd'^z ~dT^ '
et le numérateur n'est au Ire chose que la différentielle de dx* -*- dy' -♦- dz', c'est-à-dire de ds* ; on a donc
m?^^=: 2(Xdx + Ydy -^ Zdz) ,
ds et en intégrant et remarquant que -r- est la vitesse v du point matériel)
rd«\* -- ) , ou wv* = C +^f{Xdx -1- Ydy -*- Zdz).
Cette équation peut servir à déterminer à chaque instant la vitesse en fonction des forces motrices (X, Y, Z), pourvu que ces forces ne soient que des fonctions des variables (x, y, z) dont les différentielles dx, dy, dz entrent sous le signe d'intégration et que le trinôme Xdx + Ydy -^ Zdz soit une différentielle totale exacte d'une fonction de trois variables indépendantes (x, y, z), ce qui exige que l'on ait
^^^ ^^— ^— ^ dy dx dz dy dz dx
DYNAMIQUE. i87
ainsi qu'on l'a vu dans le Calcul intégral (N"" âiO), 2'"<' édition. Si (Xy Y, Z) contenaient d'autres variables que (x, y, z), ou si ce trinôme n'ëtait pas une différentielle totale exacte, l'intégration serait impossible, l'expression précédente serait complètement illusoire et la vitesse ne pourrait être exprimée par une fonction de trois variables indépendantes (or, y, z).
La constante arbitraire est déterminée si l'on connaît la vitesse Vo du point matériel au premier instant du mouvement; car en prenant l'intégrale depuis cet instant^ on a
C = mvo^ et par conséquent
mv» — mvo^ = 2/(Xe/x -h Ydtj -f- Zdz),
l'intégrale étant prise depuis le point où la vitesse est Vo jusqu'à celui où elle est v. Cette équation peut être mise sous une forme plus simple ; si R est la résultante de (X, Y, Z), le système des forcea (X^ Y, Z) et — R sera en équilibre autour du point m; en désignant donc par dr la projection du déplacement virtuel de — R correspondant aux déplacements dx, dy^ dz de (X, Y, Z), le principe des vitesses virtuelles donne
Xdx H- Ydy -+- Zdz — Rdr == 0,
qui fait prendre à l'équation supérieure la forme
wi?* — mvo'^ = 2 y Rdr.
Cette équation , comme la première , ne peut être employée k déterminer la valeur de v que si Rdr est une différentielle exacte, c'est-àdire si R est fonction de r, ce qui a lieu si r est la distance du point m à un point fixe et si R étant fonction de r est constamment dirigée vers ce point fixe.
Cette relation entre la vitesse et la force motrice ne renferme aucune trace de la direction des axes coordonnés et en est par conséquent entièrement indépendante. Pour énoncer la propriété qu'elle exprime, il est nécessaire de convenir de quelques nouvelles définitions. On appelle /brce mVe d'un corps en mouvement, le produit de sa masse par le carré de sa vitesse, et quantité d*action élémentaire développée par une force R, le produit de l'effort exercé par cette force et de l'espace infiniment petit dr parcouru par le point d'appli-
i88 CHAPITRE Xlll.
cation de cette force ou par le point matériel, dans la direction de la force. L'intégrale f Rdr prise entre deux époques du mouvement est par conséquent la somme des quantités d'action élémentaire , ou simplement la quantité d'action développée entre ces deux époques, et l'équation précédente exprime que, entre deux époques quelconques^ l'accroissement de force vive d'un point matériel est égal au double de la quantité d'action que produit la force motrice,
11 est à remarquer que la force vive gagnée ou mv* — mr©* n'est autre chose que le double de la quantité d'action due aux forces d'inertie, puisqu'il résulte du commencement de ce numéro, que tnv* — mvo^ est l'intégrale de la somme des quantités d'action
rf(* dt^ ^ dt* '
r équation des forces vives ne fait donc qu'exprimer l'égalité des quantités d'action fournies par la force motrice et par sa réaction dans un même intervalle de temps.
La relation que l'on vient de trouver entre la force vive d'un point matériel et la quantité d'action développée par la force motrice est connue sous le nom d'équation des forces vives pour un point matériel. On verra plus loin le parti que l'on peut en tirer dans la mécanique appliquée à laquelle elle sert en quelque sorte de fondement; bornons-nous pour le moment à remarquer que comme l'intégrale du second membre ne peut être obtenue que lorsque la force est donnée en fonction de r, comme cela a lieu si R est une force dirigée vers un point fixe et fonction de la distance r à ce point, la quantité de force vive est alors représentée par une fonction de la distance r et toutes les fois que celle-ci passera par la même valeur, la force vive redeviendra la même, du moins généralement^ quelle que soit la trajectoire parcourue. C'est dans cette propriété que consiste la conservation de la force vive pour un point matériel. Elle ne subsisterait plus si R dépendait d'une autre variable que r, puisque dans ce cas l'équation précédente ne pourrait plus servir à déterminer la vitesse, attendu ((ue l'intégrale de Rr/r n'existerait plus et que quand bien même elle existerait, elle ne serait plus fonction de la seule variable r.
115. Équations du mouvement relatif. — Les équations précédentes se rapportent toutes au mouvement d'un point matériel rapporté ù des axes fixes, c'estrà<dire qu'elles font connaître le mouvement absolu d'un point dans l'espace. Si l'origine était mobile, les coordonnées xfy y, z' du point rapporté à ces axes, ne donneraient plus
DYNAMIQUE. i89
la position absolue dans Tespace, mais sa position par rapport aux axes mobiles, c'est-à-dire sa position relative.
De même -7- > -r- » -i-Qui expriment les accroissements de a/, t/',z' dt dt dt^ ^ '^
dans l'unité de temps, seraient les vitesses avec lesquelles le point s'éloigne des plans Y'Z', X'Z', X'Y' ou les vitesses relatives parallèlement aux axes, et y / ( — ) -^("f") "*"(t) ^6?**^^®"^^^^*' '^ ^*"
d^jf (/*«/' c/*/ tesse relative. Enfin m —r— » w -rr » 'w -r-^-seraient (c« /brcc« d'inertie
dt^ ar ar
re/afti;e«, puisque en les mettant sous la forme — ^-7- > etc.,
on voit qu'elles représentent les accroissements des quantités de mouvement relatif dans l'unité de temps.
Le mouvement relatif se nomme aussi mouvement apparent, parce que c'est celui qu'apercevrait un observateur placé à l'origine mobile, qui ne tiendrait pas compte de son déplacement propre.
Nous nous bornerons ici et dans ce qui sera dit plus loin sur le mouvement relatif, à tenir compte du déplacement de l'origine en supposant que ce point ne tourne pas autour de lui-même , ou que les axes (X', Y', Z') restent parallèles aux axes fixes (X, Y, Z).
En désignant par (xyz) et (a 6 c) les coordonnées du point m et de l'origine mobile 0 rapportées à des axes fixes (X, Y, Z) (fig. 87), on a visiblement
dx' dx da
7 etc., etc.
dt dt dt d«x' d«x d'à
rf(« dt^ d(«
9 etc. etc.
d'où il résulte que les coordonnées, les vitesses et les forces d'inertie relatives sont égales aux différences des coordonnées absolues, des vitesses absolues et des forces d'inertie absolues du point et de l'origine mobiles.
La différentielle x'dy' — t/'rfx' et par conséquent son intégrale ont aussi des significations différentes de celles trouvées pour le cas des
190 CUAPÏTRB Xlll.
axes fixes, car o et m étant les projections des positions de Torigine mobile o (fig. 87) et du point m à une époque t, o' et m! les mêmes posilions après un temps dt, si Ton désigne mo par r', par 9' Tinclinaison moX' de mo sur Taxe des X' et par (x'^) les coordonnées de m relatives aux axes X' et Y', on trouvera comme plus haut
x' = r'cos9', y' = r'sin6', et par suite
x'rfy' - t/'da/ = r'^rfO' ;
or si par o on mène m"o parallèle à m'o\ comme d& est Taccroissement de B' dans le temps dty dB* représente T^nglc monil\ et par conséquent les deux membres de cette équation représentent le double de Taire du secteur mom" correspondant à un déplacement mm'^ du point matériel , déplacement qui n'est autre chose que son déplacement apparent par rapport aux axes X^' dans le temps dty ou plutôt m projection dans le plan XY, tandis que mm! est son déplacement effectif dans l'espace. Cette aire est dite pour ce motif projection de l'aire apparente décrite par le rayon vecteur et l'intégrale de a/rfy' — y^dx^ est la somme de ces aires apparentes décrites par le rayon vecteur dans chaque instant dt qui sépare les deux limites de l'intégrale, c'est-à-dire la projection de l'aire apparente totale.
Quand on connaît les mouvements absolus du point matériel mobile m et de l'origine mobile o, il est facile de trouver toutes les circonstances du mouvement relatif; car si l'origine est elle-même un point matériel mobile m' dont le mouvement absolu est dû aux forces motrices (A,B,C) et si (X, Y, Z) sont les forces motrices qui déterminent le mouvement absolu du point m, les équations des mouvements absolus des deux points seront
d*x d*t/ dH
dt^ ' de* 'de* ^ '
d'où l'on déduit en divisant par m et m' et retranchant membre à membre,
d'jc' X A
dy Y B
di^ m m''
dt* ^ m m' '
dt*
DYNAMIQUE. i91
à cause des valeurs trouvées plus haut pour (a/, y\ z'). Ces équations sont celles du mouvement relatif, parce qu'elles donnent, étant intégrées, les valeurs des coordonnées relatives (x', y', z').
Les binômes ;, etc. sont les trois composantes de la force
mm ri
accélératrice relative^ et. leur résultante est la force relative. Il est visible que celle-ci n'est autre chose que la résultante des deux forces agissant sur le point mobile et sur l'origine mobile, cette dernière étant transportée au point mobile parallèlement à elle-même et prise en sens inverse.
Si l'origine mobile, au lieu d'être un point matériel soumis à l'action d'une force, était un point géométrique ayant dans l'espace un mouvement connu, (a, 6, c) seraient des fonctions connues (9, cp', cp") du temps t, c'est-à-dire que l'on aurait
d*b dy
d*c dY
dt* dp *
rft' dt*
et on serait conduit aux équations suivantes du mouvement relatif,
c[V X d«9 dy Z îîV d'g' Z d«9^^ "rfi«""m di*' dt^^m di^ ' dt^'^m dl^
qui, étant intégrées, feront connaître les coordonnées relatives (a/, y, z']. En désignant par (X', Y', Z') les trois composantes de la force accélératrice relative, ces équations prennent la forme
dV dW dH'
entièrement semblables à celles du mouvement absolu.
On conclut de là, comme à la fin du N"" i09, qu'entre deux époques du mouvement, l'accroissement de la quantité de mouvement relatif suivant une direction quelconque est égal à l'impulsion de la force motrice relative décomposée suivant cette direction.
146. Loi des aires dans les mouvements relatifs. — En combinant deux à deux les équations (5) comme ati N° il 5, on est conduit aux suivantes. ...(4)
,dy .dV ,., ,-.,
i92 CHAPITRE XIII.
De la parfaite similitude de ces équations avec celles que nous avons trouvées (N° \\Z) pour le mouvemenl absolu, il faut conclure que si la force relative du point m est constamment dirigée vers Torigine mobile o, la loi des aires apparentes décrites par le rayon vecteur proportionnelles au temps, doit se vérifier dans les mouvements relatifs, et pour des forces motrices relatives quelconques, Y accroissement de la quantité de mouvement relatif par rapport à une droite quelconque est égal à la somme des moments des impulsions élémentaires relatives^ comme à la fin du N° ii5.
Réciproquement, si la loi des aires apparentes s'observe dans le mouvement relatif d*un point matériel , on doit en conclure que la force relative est dirigée vers Torigine mobile des coordonnées, car en dérivant deux fois les trois équations qui expriment cette propriété, on trouve que les premiers membres des équations (4), et par conséquent les seconds membres doivent être nuls, ce qui indique que la force relative passe par Torigine.
L'hypothèse que nous avons faite sur la force relative supposée constamment dirigée vers l'origine mobile, se réalise dans différents cas. Cette circonstance se présente évidemment lorsque la force qui agit sur chacun des deux points matériels est dirigée vers l'autre point, et que Tun des deux est pris pour origine mobile, comme cela a lieu quand on cherche le mouvement relatif d'un point par rapport à l'autre, les deux points n'étant soumis qu'à des attractions mutuelles. L'hypothèse se vérifie encore lorsqu'un point matériel m est soumis à l'action d'une force (XYZ) constamment dirigée vers l'origine mobile, pourvu que cette origine n'ait dans l'espace qu'un mouvement rectilignc et uniforme, car cela suppose nulles les forces (A, B, C), et les forces relatives (X', Y', Z') se réduiront à la force motrice (XYZ) passant par l'origine mobile.
L'hypothèse se réalise visiblement encore lorsque les deux points étant soumis à leur action mutuelle, celui des deux qui lient lieu d'origine a reçu dans l'espace un mouvement rectilignc et uniforme.
Il résulte de ce qui précède que lorsqu'un point matériel mobile est soumis à l'action d'une force constamment dirigée vers une origine
DYISAMIQUE. 495
ayant dans l'espace un mouvement rectiligne et uniforme, la trajectoire relative du point matériel est une courbe plane ^ Caire relative décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps employé à la décrire, et tes projections de ces aires Hur les plans coordonnés sont proportionnelles au temps. Les mêmes propriétés subsistent lorsque deux points matériels sont soumis à leurs actions mutuelles^ et que Vun des deux tient lieu d'origine des coordonnées.
Dans ce dernier cas, si Tune des forces est la réaction de Tautre, les forces motrices  et X, B et Y, G et Z sont égales et de signes contraires et les équations du mouvement relatif (2) du N° i15 deviennent, en prenant (X, Y, Z) négatifs parce que ce sont des forces d'attraction vers l'origine,
d*jc' m -^ »w' d^y' ^ m -f- m' d-z' m -^ m'
ou plutôt, en désignant par R' la force qui agit entre les deux points,
x' v' zf
par r' leur distance, et par conséquent par — R'-r» — R'^ ? — R'— »
les composantes delà force suivant les axes,. ...(7)
rfV m -i-m' x' d*t/' m -f- wi' y'
"dF ^^7 ' ^IF ^HT' ? '
dt* m' r
ii7. Équation des forces vives dans les mouvements relatifs.— En multipliant respectivement par 2dx', âd^, 2dz' les trois équations du mouvement relatif (2) N° il 5, il vient
/ (/'x' rf*v' rf'jr' \
Son intégration conduit à la suivante
où le premier membre est le carré de la vitesse relative multipliée
494 cuAPiTKE xur.
par la niasse, et si Ton prend Tintégrale depuis le moment où la vitesse est vj jusqu'à celui où elle est t/, on trouve
Cette équation des forces vives relatives est de même forme que celle des forces vives absolues et exprime des propriétés analogues. Ainsi 1** la vitesse relative restera invariablement la même, si les forces relatives sont nulles; 2<* la vitesse relative variable reprendra la même valeur toutes les fois que le point matériel repassera par la même position relative, pourvu que le trinôme différentiel soit la différentielle exacte d'une fonction des trois variables (a/, f/y z^) considérées comme indépendantes, ce qui a toujours lieu lorsque la force relative est dirigée vers l'origine mobile et est fonction de la distance à ce point. S'il s'agit, par exemple, du mouvement relatif de deux points matériels, soumis à des attractions mutuelles, dont l'une est la réaction de l'autre, on a vu au numéro précédent que (X', Y', Z') sont égaux
à j — 3^'> ^^^'J ^^^'f ®' l'équation des forces vives devient
mi/- — wîiv' = z — /R' ( , / )
ou plutôt à cause de r'* = x" -f- y" -4- «'*,
mv'« — mvj^ = 2 — -—fWdf',
et l'intégration sera possible si R' est fonction du rayon vecteur r'.
H8. Force tangeniielle. Force infléchissante. Force d'inertie tangentielle. Force centrifuge. — A une époque quelconque du mouvement curviligne d'un point matériel, décomposons la force qui agit sur lui en deux autres. Tune dirigée suivant la tangente à la trajectoire et l'autre perpendiculaire à cette direction. La première composante nommée force iangentielle tend à accélérer le mouvement du point matériel dans le sens de la courbe, la seconde n'a d'autre effet que de faire dévier à chaque instant le point matériel de la direction rectiligne, et a été nommée par quelques auteurs force infléchissante, mais est plus généralement connue sous le nom de force centripète.
La force de réaction due à l'inertie du point matériel donne lieu à la même décomposition. La première composante est la réaction tan-
gentielUf et la seconde est connue sous le nom de force ou réaction centrifuge. Cette dernière représente Teffort que fait le point matériel en vertu de son inertie, pour conserver le mouvement rectiligne dans le sens de la tangente, tandis que la réaction tangentielle représente reffort que fait le point matériel pour conserver un mouvement uniforme suivant la tangente.
Nous ne nous arrêterons pas à chercher les valeurs de la force tangentielle et de la force centripète; bornons-nous à déterminer les réactions de ces deux composantes, c'est-à-dire la réaction tangentielle et la force centrifuge; pour cela observons que, puisque
dx dy dz
-7-9 —9 -r- sont les cosinus des angles que fait une tangente a la
trajectoire avec les trois axes, on a pour la somme des compo-
d^x d'w d^z santés de wi-t-^j '^T/ï' wi — suivant la tangente, ou pour rmer-
tie tangentielle,
^ d*x dx d*v dy d^z dz
T s= m -7-: -r -ï- m -~ -r "+- ^1 -7-s — » rf(* ds di^ ds dt^
qui se réduit a
^ d^8 dv
en observant que Téquation
donne par la différeuliation,
dsdh = dxd^x -*- dydhj -h dzd^z»
Cette valeur s'accorde avec ce qu'on a vu (N* i04), qu'une force de réaction dans le sens du mouvement d'un point matériel est représentée par le produit de la masse par la dérivée de la vitesse par rapport au temps, et l'on voit que cette valeur subsiste encore dans le mouvement curviligne.
Quant à la force centrifuge, en la représentant par /*, et par (X, ^, v), les angles qu'elle fait avec les axes , si Ton observe que la réaction tangentielle et la réaction ou la force centrifuge décomposées suivant
496 CHAPITRE Xlll.
les trois axes doivent reproduire les forces de réaction m -7-r » m -7^ >
at^ al*
dH m-z-:9 00 aura :
dt*
d^s dx ^ ^ rf'v dh dy ^
dH d^s dz .
Pour tirer de là les valeurs de /*, X, ^i^ v, on mettra ces équations sous la forme
^ , ds dad^x — dxd^s ds , /dx\
/cos A=2 m-rr T-5 =tn-7-ra( —- 1»
' dt* ds* dt* \dsj
' ^ dt* \d8j ' dt" \d8j
et si Ton additionne membre à membre après les avoir élevées au carré, en remarquant que
cos*X -4- cos'/x-i- cos*j/ = i , on trouvera
ds
' dl*
V('ÎW£j<'tj-
On sait qu'on a pour expression du rayon de courbure {Traité d'analyse, â"»" édition, N° 86)
//d^xy /d^yy /d^zy
ds
la valeur de /'devient donc
dans laquelle v est la vitesse du point matériel. On voit que la force ou réaction centrifuge en un point quelconque de la trajectoire est représentée par la force vive du point matériel divisée par le rayon de courbure de la courbe. Si on remplace fpsiv sa valeur, on trouve pour déterminer (/, p, y),
'^'^-HsKty '''^'='^i^{îy ''""-Hs'iï)-
Ces valeurs sont celles des cosinus des angles que fait le rayon de courbure de la trajectoire avec les axes; la force centrifuge est donc dirigée dans le sens du rayon de courbure. C'est cette propriété qui a fait donner son nom à cette force, parce qu'elle parait tendre à éloigner le point matériel du centre de l'arc qu'il décrit.
On peut arriver à cette expression de la force centrifuge, ou plutôt de la force centripète qui lui est égale et opposée, d'une manière fort simple en observant que le point malériel tend par son inertie à continuer à se mouvoir suivant la tangente MT (fig. 88), prolongement de l'élément mM de la trajectoire, tandis que, par l'effet des forces motrices, il décrit l'arc MM' =» ds dans le temps dt; si donc par la tangente MT et l'élément MM', c'est-à-dire par deux éléments consécutifs de la courbe, on fait passer le plan osculateur, une normale MO à la tangente MT renfermée dans ce plan fixera la direction du rayon de courbure, et la force centripète aura pour effet d'écarter le point M de la direction rectiligne MT qu'il avait au point M, ou ce qui revient au même, de le déplacer dans le sens du rayon de courbure MO d'une quantité Ma, que l'on obtient en menant M'a parallèlement & MT; or pendant le temps dt la force motrice /' qui fait parcourir l'espace Ma peut être supposée constante, et on sait (voir N"* 110) que l'espace parcouru est égal à la moitié de la force
f accélératrice — multipliée par le carré du temps, c'est-à-dire que l'on a m
i f 2Ma
et en considérant MM' comme un arc de cercle ayant pour rayon MO ou pour diamètre MC, la corde MM' qui se confond avec l'arc, sera
il)8 CHAPITRE XIII.
moyenne proportionnelle entre le diamètre MG et le segment adjacent Ma ; d'où il suit que Ton a
• Mo=-— —- = — -j MC 2p
ce qui conduit à la valeur de /* trouvée plus haut.
H9. Application au mouvement parabolique d'un point matériel pesant, — Appliquons nos formules à quelques exemples. Considérons en premier lieu le mouvement curviligne d'un point matériel pesant m lancé dans l'espace supposé vide d'air, avec une vitesse initiale donnée; la force motrice due à la pesanteur étant mg^ si {a, p, y) représentent les angles formés par la direction de cette force, ou la verticale avec les trois axes pris du côté positif, ses trois composantes seront mg cos a, mg cos |3, mg cos y, et les équations du mouvement deviendront
rf*x d^u d^z
m ,- = mg cos a, m -7-| = mg cos (3, m ^ = mg cos y ,
d*oii l'on lire
dx du ^ dz
■-^= gl cos ce + C, -^ = 5f( cos p 4- C, -^ =^ gt cos y -^ C\
x==-gt^ cos a H- Cï -*- D, y =-gt^ cos (3 -+- C'^ -t- D',
z=^gt^' COS y 4- C"« -+- D".
Les trois premières font connaître les vitesses dans le sens des trois axes, et leur résultante est la vitesse dans l'espace à une époque quelconque t. Les constantes arbitraires C, G', G" sont évidemment les vitesses initiales suivant les axes, ou lorsque t = 0; si donc kesi la vitesse initiale et (a, 6, c) les angles que forme sa direction avec les axes, on devra faire
G = ^ cos a, C = k cos b, C" == fc cos c.
Les valeurs de (x, y, z) font connaître à chaque instant la position du point matériel. Les constantes D, D', D" sont les valeurs de (x, y, z) lorsque f = 0, c'est-à-dire que ce sont les coordonnées à l'époque initiale. En éliminant successivement t entre deux de ces trois équations, on obtient des relations entre x et y^ y et z, x et z qui sont les
équations des projections de la trajectoire sur les plans coordonnés.
Remarquons que, puisque -y-^ » -y^ » — sont constants, les déri-
d^x d^y rf'z Tées ^-j9 -~ > — sont nulles; d'où il suit qu'elles rendent identique
réquation de condition suivante :
(d^ydH — dHd^y) dx + {dHd^x — d^xdH) dy ^ {d*jcrf'y — d^yd^x) dz = 0,
qu'on peut mettre sous la forme
/(V^d^ dHdhj\dx /dH d^ d'^x d^\dy /d^x d^y d^y d^x\ dz \d^ dt^'^di^'d^jTt'^ \p 'dF~"d? dl'^ Jli'^ \dl^ IT^ '^ IF dï^ J dt '
et qui exprime (voir le Traité d'analyse, 2* édition N° 90) que la courbe de l'espace est plane; et en effet, si l'on prend pour origine le point de départ du point matériel, pour axe des Y la verticale dirigée vers le haut, et pour plan des XY celui qui contient la direction de la vitesse de projection ou de la vitesse initiale, il faudra faire
ce qui réduit les intégrales précédentes à
> dx , dy i . dz ^
dt ^ ' dt ^ ' dt '
a:=ft^cosa, y = — -gt^ -^ kt sïn a, 2=^0.
La dernière fait voir que la trajectoire est entièrement renfermée dans le plan des XY. En éliminant t, on trouve pour son équation,
w = X tang a — - ,, "^ , x* -^ ^ 2k^ cos« o
qui appartient à une parabole. En faisant y = 0, on est conduit (fig. 89) à
AB = 2 — sin a cos a = — sin 2a.
On voit que cette distance ÂB, que l'on appelle amplitudey est la plus grande possible lorsque sin 2a =» 1 , c'est-à-dire pour a égal à 45
âOO CHAPITRE XIII.
dcgrës. Si l'on tire de Féquation la valeur de-~ , on trouve
dy gx
dx A* cos* a
et au point A,
dy ^=tanga,
d'où Ton conclut que la tangente à la trajectoire au point de départ est représentée par la direction de la vitesse initiale. En égalant -p u zéro, pour avoir le point C le plus élevé de la trajectoire, on trouve
AD == — 8in a coso = -:r-» CD ==---sin'a. g 2 ^2g
Transportons l'origine des coordonnées au point C, ce qui se fera en
remplaçant x et y par x n — sin acos a et y + --sin*a; l'équation
devient
1 jfX*
^"""2 A»cos*a' ou, en changeant la direction de l'axe des Y,
i gx^
2 k^ cos* a
On voit par cette équation que la trajectoire décrite par un point matériel pesant lancé dans le vide, est une parabole dont l'axe est vertical.
On trouve pour la vitesse du point matériel,
qui prouve que les branches ascendantes et descendantes de la parabole sont parcourues avec des vitesses égales dans un même niveau.
On peut déduire de l'amplitude AB^=l la vitesse de projection, connaissant l'angle de projection a ou TAB; car on a
sin 2a
On voit aussi qu'avec la même vitesse de projection, on peut atteindre la même amplitude sous deux inclinaisons différentes a et a' de la vitesse de projection; car il suffît que l'on ait
sin 2a == sin 2a', ce qui exige que
2a = TT — 2a' ou a -+- a' = - %
c'est-à-dire que les deux inclinaisons qui donnent la même amplitude sont complémentaires.
Si l'on voulait connaître l'angle sous lequel le point matériel doit être lancé avec une vitesse déterminée ky pour atteindre un but connu E, il suffirait de remarquer que les coordonnées {xfy') de ce point doivent satisfaire à l'équation de la trajectoire, ce qui donne
y = x'langa-^-j^^
cos* a
d'où il faudra tirer la valeur de a.
On aura l'enveloppe de toutes les trajectoires obtenues en lançant le point matériel en A sous toutes les inclinaisons possibles et avec une vitesse initiale constante, en prenant la dérivée de l'équation générale des trajectoires par rapport a a, et éliminant cette quantité entre la dérivée et l'équation primitive. Ou trouve ainsi pour l'équation de celte enveloppe ,
, A* 2fc^-
équation qui forme la limite des points qu'il est possible d'atteindre avec une vitesse de projection constante k. Cette équation appartient à une parabole dont l'axe se confond avec l'axe des Y, et dont le foyer est placé à l'origine A.
120. Application au mouvement elliptique. — Pour seconde application, cherchons le mouvement d'un point matériel attiré par un point fixe M avec une intensité qui varie dans le rapport inverse du carré de sa distance à M.
£n prenant le point fixe pour origine des coordonnées, et représentant par {x,yyz) les trois coordonnées du point matériel à une époque quelconque I et par r sa distance h l'origine, l'intensité de l'attraction
'202 CnAPITRE XIII.
kM.
surrunîtëdemassecst-;^ (N*» 99), et comme celle droite r fait avec
les axes des angles dont les cosinus sont | -» -» - ] 9 les trois corn-
\r r ry
posantes de la force accélératrice dirigée vers Torigine sont exprimées
kMx km kMz par — » ^9 —; on a donc pour les équations du
mouvement^ en remarquant que r = j/x* -h y* -♦- i*, savoir :
d'x kMx
rf*y kMy dH ^Ms
Aucune de ces équations n'est intégrable isolément; ce n'est qu'en les combinant d'une manière convenable que l'on parvient à trouver leurs intégrales. La combinaison qui a conduit à la loi des aires donne
ci*t/ d*x ^ d^z rf*y ^ rf*x (/*j3
^rfii-î'dr*-"' ^dP-^dii^^**' ^rfr«-*dr«=«'
d'où l'on tire en mullipliant par di et en intégrant ensuite chaque terme par parties »
dy dx „ dz dy dx dz
dt ^ dt ' ^ dt di ' dt dt
qui forment les trois intégrales premières. Elles ne sont autres que celles fournies par le principe des aires, qui devait évidemment se vérifier dans cet exemple. On déduit aussi de ces intégrales l'équation du plan dans lequel est renfermée la trajectoire, équation qui est
ex -4- c'y -♦- d^z = 0.
La position de ce plan fixée par les valeurs de (c, (/, (/') se détermine par la condition que le point matériel placé primitivement au point {xf, y', zf)^ ait reçu une vitesse d'impulsion fi dirigée suivant une droite faisant avec les axes des angles (a, |3, y); comme les valeurs
initiales de -7-9 -^9 --9 composantes de la vitesse suivant les axes,
dt dt dt *^ '
DYNAMIQUE. â03'
sont |ui cos a, ti cos {3, a cas )/, on a x'ucos (3 — j/iicos (X=€f\ y'fjL cos y — z'p. cos [3=c, z'|ul cos ol—x!^ cosy=cfy et réquatioD du plan devient
0/(2 cos jB — y cos y)-*-y' (x cos y — z cos a) -hz' (y cos a — a: cos (3) =0.
On vient de voir que la trajectoire du point matériel est plane; cette circonstance permet de réduire à deux les équations du mouvement en prenant pour plan des (X, Y) le plan même de la trajectoire. Il vient alors, puisque le z est constamment nul^
d'x kMx d^y kMy
d*où Fou tire comme ci-dessus,
d*ti d*x ^ dti dx
x-rr — !/-7T = 0 et x^— y — = C dl« -^ de* di -^ dt
qui est une des intégrales premières des deux équations (i)du mouvement. On obtient l'autre intégrale première en multipliant (1) respectivement par 2dx et âdy et en les ajoutant; on trouve en effet
r., dH ^ , d'y , „ âxdx -4- 2y dy
2dx -r-r- H- 2dy -ï^ = - AM %-^i
de' ^ di* , , j.^
et en intégrant,
Vde/ VrfV i/x« + y'
Cette équation qui n'est autre que celle fournie par le principe des forces vives fait connaître la vitesse du point matériel à une époque quelconque, puisque le premier membre représente le carré de cette vitesse.
L'intégration des deux équations
dy dx ^ , /dx\' /dy\ 2iM ,
x-f.— y — = C et I T- I -*-( -^ 1 == — . — ^^'
dt ^ di \dij \dij /x'-4-y*
204 CUAPITBË XIII.
qui doit nous conduire k la solution complète du problème, présente des longueurs que Ton évite en transformant les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires; on sait en effet qu'on a , en comptant l*angle yi k partir de Taxe des X et en conservant la même origine,
xsssrcos/j, y = rsiny),
d'où Ton tire
dx dr , dri du dr dri
dt dt dt dt dt di
et nos deux équations différentielles deviennent par la substitution ,
En éliminant dt^ il vient
Cf/r
r/C'r*-+-î2/cMr— C«
que Ton peut intégrer par la méthode générale des fonctions irrationnelles, ou plus simplement, en remplaçant r par une nouvelle varia-
ble - • On trouve ainsi :
ifcM yj = E — arc cos ^==r = E — arc cos
A^VI* ri/C'C*-+-/;«M»
et par conséquent
, ^, /cMr — C« C* cosfT]— E)= -> ou r = :
r ]/aO -+- k^ M* kM — j/fe*M*-+-C'C* cos (/] - E)
L'équation polaire d'une section conique rapportée à l'un de ses
foyers est
i — c cos e
dans laquelle r est le rayon vecteur, i Tangle qu'il fait avec le grand
axe, a le demi grand axe et e rexcentricité ou la distance des foyers divisée par le grand axe. On voit donc que la trajectoire est une semblable courbe dans laquelle a et e ont les valeurs suivantes :
d ou a = — — > e
Pour rendre les deux valeurs de r identiques, on doit poser
Ê = y) — E, ou •/] = e -4- E
dans laquelle les angles /] et £ sont comptés, le premier à partir de Tancien axe des X et le second h partir du grand diamètre de la section conique; on voit donc que la constante arbitraire E représente Tinclinaison du grand axe de la courbe sur Taxe des X. On sait que cette courbe est une elli|)se, une parabole ou une hyperbole suivant que Ton a a<i,e=»l, ou 6^1; on aura donc Tune de ces trois courbes selon que C sera négatif, nul ou positif, puisque Ton a trouvé
Les valeurs des trois constantes arbitraires C, C et E se déduisent de la position et de la vitesse initiales du point matériel.
Pour déterminer la durée d'une révolution elliptique, on élimine dfi au lieu di entre les équations (2), après avoir remplacé C par — C pour que le mouvement soit elliptique. On trouve ainsi en remplaçant G et G' par leur valeur donnée plus haut.
rdr rdr / a rdr
dtz= = — = \/ "»
et en remplaçant a — r par u.
Îudu adu I
206 CUAPIIRE XIII.
dont rinlégrale indéfinie est
arc sin h i/a*e* — (o — r)* -+- D > >
ae V / i
cl l*intëgrale définie prise depuis un sommet de Tellipse jusqu'à l'autre, c'est-à-dire depuis r = a{i -ne) jusqu'à r = a (i — e), donne
7ra*
La durée d'une révolution elliptique est donc égale à Si on
|/ÂM change le signe de C ou si on le rend nul, c'est-à-dire si le mouvement est hyperbolique ou parabolique, on trouve pour la durée une valeur imaginaire ou une valeur infinie, ce qui indique que dans les deux cas la révolution ne se termine jamais. Il résulte de ces équations que, lorsqu'un point matériel mobile est attiré vers un point fixe par une force inversement proportionnelle au carré de la distance, i** la trajectoire est une courbe plane; S"" l'aire décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps employé à la décrire; 5® la trajectoire est une section conique dont le point fixe est le foyer, et 4"* quand les mouvements sont elliptiques, les carrés des temps des révolutions de deux points matériels attirés par le même point fixe, sont entre eux comme les cubes des grands axes des ellipses décrites, puisque pour un autre point matériel tournant autour du même centre M on aurait
/tM
i!21. Mouvement elliptique relatif. — Si le centre d'attraction, au lieu d'être fixe, était lui-même un point matériel M mobile soumis à Tattraction réciproque du point m, et qu'on voulût connaître le mouvement de l'un m des deux points relativement à l'autre M, ou le mouvement apparent de m pour un observateur placé eu M, on poserait, d'après ce qui a été dit à la fin du N° ii6, les équations du mouvement relatif
en remplaçant Taltraction mutuelle R' par — ï— (N° 99), ce qui leur
fait prendre la forme
— * = — A(mH.M) — , etc., elc,
qui sont identiquement les mêmes que celles que nous avons obtenues (commencement du N° 120) pour le mouvement absolu, si ce n'est que M se trouve remplacé par M + m. Il résulte de cette observation, 4° que la trajectoire apparente est une courbe plane passant par le centre mobile M et ayant pour équation
00/-+- cy -4-CV = 0;
2" que celte trajectoire apparente est une section conique dont le foyer est placé au point M; 5" que le demi grand axe apparent, Texceutricité et la durée d'une révolution apparente sont donnés par
' '''=\/'-^F(ëb' '"'^-''''kïé
On avait déjà vu (N° 116) que Taire apparente décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps employé à la décrire. Les lois du mouvement elliptique apparent sont donc les mêmes que celles du mouvement elliptique absolu. La quatrième loi est la seule qui ne se vérifie pas complètement, puisque pour deux points matériels m et m' tournant autour de M mobile, on a pour les durées respectives des révolutions,
K (M -f- m) ' K (M -4- w') et par conséquent
qui diffère essentiellement de la proportion
T* : T,« = a'' : o/^ trouvée plus baut quand le centre attirant était fixe.
Cependant lorsque les masses m et m' sont très petites relativement à M, ces deux proportions se confondent sensiblement.
122. Application au mouvement d'un point matériel pesant dans l'air. — Pour dernière application, proposons-nous de déterminer la trajectoire d'un point matériel pesant lancé dans l'espace avec une vitesse de projection donnée^ en ayant égard à la résistance que l'air oppose à son mouvement. On a vu (N** 119) que si Ton ne tient pas compte de cette résistance, la trajectoire est renfermée dans un plan vertical. La résistance de l'air, qui est constamment dirigée en sens inverse du mouvement du point, et qui est par conséquent contenue entièrement dans ce plan vertical, ne saurait donc en faire sortir le point mobile qui décrira encore une trajectoire renfermée dans un plan vertical passant par la direction de la vitesse de projection. Prenons la verticale du point de départ pour axe des Y, et pour axe des X la projection de la direction de la vitesse initiale sur un plan horizontal (fig. 90). En représentant par m et R la masse du point matériel et la résistance de l'air, et par <x l'angle que forme avec l'axe des X la tangente à la courbe ou la direction de R, les deux équations du mouvement sont
m-j-j = — R cos a, m y^ = — mg — R sm a,
et en remarquant que
dx . dy
cos a =-7-, sina=-p, ds ds
elles deviennent
d*x Rrfx d^y ^ Rdy
dt^ m d« ' rf(* ^ mds
Il a été reconnu par expérience que, pour un même corps^ la résistance de l'air est proportionnelle au carré delà vitesse et à la densité de Tair, du moins lorsque la vitesse est considérable, comme celle d'un boulet lancé par une bouche à feu ; si donc on suppose la densité constante
dans toute l'étendue de la trajectoire, le coefficient — pourra être re-
présenté par pv', ^ étant un facteur constant pour un même corps,
mais dépendant de sa forme et de la densité de l'air; les équations du
mouvement deviennent donc, en observant que la vitesse v est exprimée par -p »
dt
d}x ds dx d'^y ds dy
Telles sont les équations simultanées qu'il s'agit d'intégrer. La première mise sous la forme
'dt
dx Ht
= — uds
donne immédiatement en l'intégrant,
dx log— = — /uw-t- logC, dx = Ce~^dt (2)
La constante arbitraire C se détermine en remarquant qu'à l'origine
dx
-r- est la composante suivant l'axe des X de la vitesse de projection ,
c^est-à-dire fccosa; on a donc, en faisant ê nul,
C s» fc cos a.
La seconde équation différentielle n'est pas intégrable immédiatement; mais si l'on introduit une nouvelle variable p, représentant la dérivée-^ ou la tangente trigonométrique de l'inclinaison de la touchante
à la trajectoire sur l'axe des X, inclinaison qui varie avec le temps, on trouve
rfy dx dy = pdx ou f^=P^^^
d'où l'on lire en dérivant par rapport au temps,
d*y ' rf'x dp dx lî^^^dï^'^Tt Tt'
//î ii d^x En substituant à-7T> -tt leur valeur (1), il vient
dp dx '
dt dt ^ ^ '
210 CHAPITRE Xlli.
et après avoir éliminé dl entre (2) et (5),
^P^-le^ (4)
On a aussi
ds = dx j/4 -h jî*,
le radical devant être pris avec le signe plus , parce que « et x croissent ensemble; si donc on élimine dx entre ces dernières, il vient
l/i ^p^dp=^^e^^ds, dans laquelle les variables p ti s sont séparées. L'intégration donne
ip(/ÏT7H-llog(p + j/T;:7) = C'-^,e*f" (5)
G' se détermine par la condition qu'à l'origine s est nul, et p ou
-p- égal à tang a, ce qui donne dx
\ j \ / flf
C' = - tangaj/i -*- tang'a-H -log(tanga -♦- |/i -h tang*a) -h 5-^'
En éliminant % entre les équations (4) et (5), on trouve
fjidx = -:^:^:: ^? — := (6)
p j/lTp* -4- log (p H- j/l -*- p') — 2C'
Ou trouve aussi, en remarquant que dy est égal à prfx,
f«iy = — = ^'P ^ (7)
py\ -4- p* -♦- log (p -4- j/1 -*- p*) — 2C'
et enfin, en remplaçant dx par sa valeur (6) dans l'équation
dp dx
il vient
l/^di=^ -^^ i (8)
[2C' — p j/TTp^ — log (p H- 1/4 H- p»)]*
On prend ici le signe moins du radical pour que le second membre soit positif comme le premier, attendu qu'il résulte de l'équation (2)
que dx est toujours positif, et de Téqualion (5) que dx et dp sont de signes contraires.
Ces trois dernières équations différentielles, lorsque les quadratures seront effectuées, feront connaître x, y et f en fonction de p, et des éliminations successives conduiront à des relations entre a:, t et t/, f qui serviront à fixer à chaque instant la position du point matériel. Une élimination de t entre les valeurs de x et de y donnera aussi réquation de la courbe. Ces différentielles ne sont pas intégrables complètement; on ne peut trouver leurs intégrales que par les méthodes d'approximation. ^
Si l'on divise les équations (6) et (7) membre à membre par (8) , on trouve
S= V ? [2c'-p|/n:7-iog(p + j/i + p«)]'%
^= \/^H [2C' -p/l+p*- log (p + /l + p*)] " s
dt
d'où l'on déduit la vitesse v du point matériel ,
