S)'KS
Si dans (6) et (7) on remplace C par sa valeur mise sous la forme
C'=/+ -1-, 2fjtC«
et qu'après avoir fait les réductions , on rende [j. égal à zéro, ce qui revient à supprimer la résistance de l'air, ces équations deviennent :
dx = ---rfp, rff^==— — prfp,
et en éliminant p entre les deux intégrales, on retrouve l'équation parabolique du N* 119 ,
y = xtanga-^x«.
âi2 CHAPITRE Xlll.
Quand le point matériel est lancé sous un angle fort petit et que l'on ne considère que la partie AGB de la trajectoire placée au-dessus de l'axe des X, il est visible que ce point ne s'écarte que très peu de
la ligne horizontale; la dérivée p ou -p qui représente la tangente
trigonométrique de l'angle que forme avec l'horizon une touchante à la courbe, reste donc elle-même très petite dans toute cette partie de la trajectoire^ et les équations (6), (7) et (8) se réduisent aux suivantes, en se bornant au premier terme du développement de
log (p -+- |/l -*- p') ou lo| (4 -♦- p)y c'est-à-dire p,
^ ^ (c'-pr
qui ont pour intégrales
2p: H- D = log (C — p), âfxy-*- iy = p h- C'log(C' — p),
Les constantes arbitraires se déterminent par la condition qu'à l'origine les variables x, y ei t sont nulles et que p devient tang a ; quant à C qui' a été déterminé précédemment, sa valeur se réduit, pour un angle de projection a très petit, à la suivante :
C = tanff a h — ^ • ^ 2fxC»
En éliminant p entr^lcs deux premières intégrales, on trouve pour équation de la trajectoire,
ou plutôt, en observant que G =» fc cos a se réduit à k pour un angle a très petit.
On connaîtra à chaque instant la position du point matériel dans la trajectoire, en éliminant p entre la première et la troisième intégrale ci-dessus. On trouve ainsi
t= — , et x = -log (Ajxt H- 1).
Moavcmcnt d*un point matériel sur anc courbe ou sur une surface données. — Propriétés de ce mouvement. Equations des forces vives. Principe de la conservation des forces vives. Force d'inertie taugcntiellc. — Pression contre la courbe. Force centrifuge. Force centripète. Cause de Tinégalité de la pesanteur. — Mouvement d*un point matériel sur une surface donnée. — Pression sur la surface. — Mouvement d'un point matériel pesant sur une courbe. Mouvement en ayant égard à la résistance de Pair et au frottement. — Mouvement d'un point dans un cercle vertical. Pendule simple. Isochronisme des oscillations. — Oscillations du pendule dans Pair. Mesure de la gravité au moyen du pendule. — Mouvement sur la cycloîde. — La cycloîde est la seule courbe tautochrone. — Mouvement d'un point matériel pesant sur une surface sphériquc. Pendule à oscillations coniques. — Mouvement d'un point matériel pesant sur une surface quelconque. — Mouvement relatif sur une courbe en mouvement.
125. Mouvement d'un point matériel sur une courbe ou sur une surface données, — Lorsqu'un point matériel m soumis à l'action de certaines forces, est assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe données, il exerce à chaque instant une certaine pression normale contre la surface ou la courbe et celles-ci opposent h leur tour au point matériel une certaine résistance, qui n'est autre chose que la réaction de la pression, et lui est par conséquent égale et directement opposée. En représentant cette résistance inconnue par N dirigée normalement à la surface ou à la courbe, le point matériel se mettra en mouvement de la même manière que s'il était libre et qu'une force N fût jointe aux forces (X, Y, Z). Si (/, m, n) sont les angles que forme N avec les axes, les composantes totales des forces suivant ces axes seront
X + N C08 /, Y -*- N cos m, Z -*- N cos n,
214 CHAPiTRE XIV.
et on aura pour les équations du mouvement du point matériel considère comme libre,
m-jj=^X H- N cos /, '" "jT~ "^ "*" ^ ^^^ *^* » t/i — s=Z -4- Ncos n (i)
Considérons en premier lieu le mouvement sur une courbe donnée. 11 faudra, aux trois équations précédentes, joindre les deux équations de la courbe dans Tespace, ainsi que les deux relations suivantes :
-;- cos / -*- -~ COS m -+- -r-cos n==»Oj cos^/-+- cos- w + cos*n = i (2)
ils as as
qui expriment que la force N est normale à la courbe et que les angles /, ni, n appartiennent à une même droite. Ces sept équations simultanées, convenablement combinées et intégrées, serviront à déterminer les valeurs des sept quantités (x, y, z), (/, m, n) et N en fonction de t, c'est-à-dire qu'elles feront connaître à chaque instant la position du point matériel, la direction de la pression qu'il exerce sur la courbe et la valeur de cette pression.
124. Propriétés de ce mouvement. Equation des forces vives. Principe de la conservation des forces vives. — Ces calculs ne peuvent être effectués que dans chaque cas pris en particulier, c'est-à-dire quand la forme de la courbe et la valeur des forces motrices sont connues; cependant tout en laissant à ces équations leur généralité, on en déduit certaines propriétés communes à tous les mouvements sur une courbe.
Multiplions respectivement les équations (i) par dx, dy^ dz et jijoutons-les ensuite membre à membre; il vient
/dx d*x dy d^y dz dH\ \dt 'di "^ Tt'dt "*" dt ItJ
= Xdx -+- Ydy -t- Zdz -*- N (dx cos l -^ dy cos m -+- dz cos n).
Si l'on observe que de la formule
rfs' = rfx* + dy^ -4- rfz", on déduit
dsd^s = dxd^x -+- dyd^y -h dzd^z,
et qu'on ait égard à la première des équations (2), l'équation précédente se réduit à
-rdljj = Xrfx + Yrfy -*- Zdz, et Ton trouve en intégrant,
fit ( j j , ou mu« = 2/ [Xdx -*- Ydy -+- Zdz) -+- C,
et en prenant l'intégrale depuis le point où la vitesse était Vo jusqu'à celui où la vitesse est v, il vient
mi?« — iwvp» = 2/(Xrfx -+- Ydy -^ Zdz) (5)
Xdx -h Ydy -k- Zdz représente ici, comme au N" 114, la quantité d'action élémentaire de la force motrice et l'équation précédente appelée équation des forces vives, exprime que l'accroissement de la force vive entre deux positions est égal au double de la quantité d'action de la force motrice entre ces deux positions.
Elle fait aussi connaître la vitesse en un point quelconque de la courbe, pourvu que Xdx + Ydy + Zdz soit une différentielle exacte, circonstance qui se présente toujours si les forces motrices sont des fonctions d'une ou plusieurs des variables [x, y, z), ou si elles sont constantes; car au moyen des deux équations de la courbe, on pourra éliminer x, f/, cfx, dy^ et la différentielle qui restera à intégrer sera de la forme c^zdz. Cette équation pourra alors servir à fixer à chaque instant la position du point matériel , car on en tirera la valeur de v
en fonction de z, et comme v = -r y il viendra
(It
«- = dtz. d ou dt = ~ i (t ^ '|z
or, on sait que
si donc on tire des deux équations de la courbe les valeurs de -—- et de
dz
~ en fonction de r, la valeur de ds prendra la forme dz
ds ~ dz ^'zdz ,
la différentielle précédente deviendra
et une quadrature fera connaître la relation entre le temps t et l'ordonnée z du point de la courbe. Comme dt est toujours posilir, il faudra prendre celui des deux signes qui rend le second membre positif.
Lorsque les valeurs de (X, Y, Z) sont telles que Kdx -*- Ydy -*- Zdz forme une différentielle exacte d'une fonction de trois variables {x^y^z) considérées comme indépendantes, ce qui suppose (voir le Traité d'analyse, 2" édition, N* 2i0) que Ton a
rfX^dY rfX^dZ dY dZ ' ,^v dy dx dz dx dz dy
l'équation (3) prend la forme
mv* — mvo^ = 29 (x, y, z) — 2(p (Jo, yo, Zo) (5)
9 (x, y, z) désignant l'intégrale de Xdx -t-Ydy + Zrfz et (Xo, yo, «o), les valeurs de (x, y,.z} correspondant au point où la vitesse est Vo. On voit que dans ce cas, la valeur de la vitesse s'obtient sans faire usage des équations de la courbe et qu'elle est donnée en fonction de (x,y,z) etde(Xo, yo9 Zo)^ c'est-à-dire en fonction des coordonnées du point de départ et du point d'arrivée, sans tenir compte de la courbe. La vitesse redeviendra donc la même quelle que soit la courbe décrite, toutes les fois que le point matériel reviendra au même endroit, ou plus généralement, toutes les fois que le point mobile atteindra la surface qui a pour équation
9 (^j Hi ^) = const.
surface qui est connue sous le nom de surface de niveau. C'est dans cette propriété que consiste le principe de la conservation des forces vives.
Mais si pour intégrer Xdx -¥- Ydy + Zclz, on doit faire usage des équations de la courbe, c'est-à-dire si ce trinôme n'est différentielle exacte qu'en considérant x et y comme fonctions de 2, la vitesse peut ne plus reprendre la même valeur quand le point matériel repassera au même endroit, quoique v soit donné en fonction de z; en effet comme on peut exprimer en fonction de z un arc s de la courbe décrite, on pourra aussi exprimer l'intégrale du trinôme et par suite.
la vitesse en fonction de Tare parcouru «, et comme celui-ci est toujours croissant, on voit que v pourra n'avoir pas la même valeur quand le mobile reviendra au même point. C*est ce qui arrive quand la courbe présente certaines solutions de continuité ou certains points singuliers.
Il résulte de là que si le mobile animé des mêmes forces motrices, glisse dans les deux sens le long de la courbe, le temps employé à parcourir un arc déterminé est le même quand le principe de la conservation des forces vives se vérifie, ou plus généralement, quand la vitesse reprend périodiquement la même valeur en chaque point, puisque tous les éléments de la courbe sont alors parcourus avec la même vitesse, c'est-à-dire dans un même temps dans les deux sens; mais cette durée n*est plus la même quand le principe des forces vives ne se vérifie pas.
Quand les forces (X, Y, Z) sont nulles, il vient
mv^ = mvo^^ ou t? = Vo
qui apprend que, lorsqu'un point matériel se meut sur une courbe, en vertu d'une vitesse initiale et sans force motrice, la vitesse reste constante.
Si Xdx + ^dy + Zdz ne pouvait devenir une différentielle exacte, même en faisant usage des équations de la courbe, c'est-à-dire si (X, Y, Z) étaient fonctions de variables autres que (x, y, 2), l'équation des forces vives (5) ne pourrait plus servir à déterminer directement la vitesse, ou du moins, elle devrait être mise sous une autre forme comme on le verra bientôt (N<* 150).
En désignant par ds l'élément de la courbe parcouru pendant l'instant dt^ l'équation (5) peut être écrite ainsi :
mais X -7- -♦- Y -—■ -^ Z-r- est la somme T des composantes de (X, Y, Z) ds ds ds r V /
dans le sens delà tangente, ou la force tangentielle, puisque -p sont
les cosinus des angles formés par la tangente avec les axes; l'équation
devient donc
mv^-- mVo^=^^fTdSj
dans laquelle il est visible que Tds est la quantité d'action élémentaire développée par T pendant l'instant dt. £n désignant par R la résul-
tante de (X, Y, Z , ou pcul aussi, d'après ce qu'on a vu au N® 114, mettre Téquation (5) sous la forme
et on en lire, comme au N** 114, la conséquence que le principe de la conservation des forces vives se vérifie toutes les fois que la force motrice R émane d'un point fixe, et est fonction de la dislance r du mobile à ce point.
125. Force d'inertie tangentielle, — On sait que w-r-^i ^ÂTi '
fpz m-r^ représentent les forces d'inertie de la masse m dans le sens
des trois axes. Si l'on prend les composantes de ces trois forces
suivant la tangente, ce qui se fait en les multipliant respective-
dx du dz ment par -j-» -^> -7-» et qu'on les ajoute, il vient pour la force
d'inertie tangentielle,
dxd^x -+■ dyd^y -♦- dzdH
dsdt
d^8 qui se réduit à m -7-7 9 h cause de la différentielle de
or
ds^ = djc* -H dy^ -f- rfi*.
Cette expression de la force d'inertie tangentielle est la même que
celle qui a été trouvée (N' 118) pour le cas du mouvement libre. Gomme
la force d'inertie estimée dans une direction quelconque est toujours
égale et opposée à la force motrice estimée dans la même direction, il
faut que la somme des composantes de (X, Y, Z) suivant la tangente
dV$ soit égale h m~' C'est en effet ce que Ton trouve en différenciant
les deux membres de (5) ; car il vient
mvdv = X(/x -+- Ydy ■+■ Zdz ,
et en remarquant que v est égal a--^ )
d's dx dy dz
dl^ ds ds ds
dans laquelle le second membre est la force motrice tangentielle T (N" 124J. On conclut de celte équation que le point matériel se meut
le long de la courbe de la méaie manière qu'il se mouvrait le long d'une droite dans le sens de laquelle agirait une force égale à la force tangentielle.
126. Pression contre la courbe. Force centrifuge. Force centripète. Cause de Vinégalité de la pesanteur. — Pour déterminer la pression du point matériel contre la courbe , au lieu de résoudre immédiatement les équations (i) et d*en tirer les valeurs de N, /, m, n, nous ferons d'abord subira la force motrice une transformation qui conduira à une expression plus simple de N et servira en même temps à démontrer une propriété importante de celte réaction. La force motrice dont (X, Y, Z) sont les trois composantes, peut être remplacée par deux forces T et P, l'une dirigée à chaque instant suivant la tangente, et l'autre suivant une normale à la tangente. La première, comme on l'a déjà vu, est donnée par
T — V^^ v^y 7^^« ds ds ds '
quant à la seconde, on l'obtiendra en remarquant que les composantci
de T et de P suivant les axes doivent reproduire les forces (X, Y, Z),
c'est-à-dire que l'on a, (a, 6, c) étant les angles que forme P avec les
axes,
dx du dz
T — -f- P cos a == X, T"f -*- P cos 6 =» Y, T -7- -^ P cos c == Z, ds ds ds
cos* a -h cos* 6 -H cos * c = i ,
qui feront connaître P, a, 6, c. Concevons donc le point matériel mù par les forces T et P ; les équations du mouvement du xN° 123 de< viendront
d^x dx d*u du
m-r-r=T-r- -*- Pcosa-f-Ncos/, m-r-T=T ---4-Pcos6 -4-Ncos m, d(» ds dt* ds
d^z dz m -r-r = T -T- -*- P cos c -h N cos », dt* ds
d'où l'on tire les composantes de la réaction N suivant les axes :
N cos / = m -rs — T -r P cos a, N cos m = etc.
dt* ds
et en changeant les signes, on aura les composantes de la pression
sur la courbe. Comme la force tangentielle T est égale à sa réaction
dH m-7-j et que
dx dsd^x — dxd^s
ds ds
ces composantes de la pression sont
ds j/dx\ ^ ds j/dy\
— m-— (f( ^ 1 H- P cosc.
dt^
II résulte de ces valeurs que les trois composantes de N suivant les axes se composent des trois forces
ds ./dx\ ds jfdy\ ds ./dzK
augmentées respectivement de
Pcosa, Pcos6y Pcosc (8)
c'est-à-dire que N est la résultante des deux forces dont (7) et (8) sont les composantes. Or ces dernières (8) représentent la composante normale P de la force motrice; quant aux trois autres (7), elles sont évidemment les composantes suivant les axes d'une force unique
ds dt^
v/Kë)P[<t)T44:)]"
faisant avec ceux-ci des angles ayant respectivement pour cosinus :
Si Ton rapproche ces valeui*s de celles qui ont été trouvées dans le cours d'analyse pour le rayon de courbure p d*une courbe et sa dircctiouy on reconnaît que cette dernière force est dirigée h chaque instant dans le sens du prolongement du rayon de courbure de la courbe sur laquelle glisse le point matériel, et que celte force est représentée par
mu*
DYNAMIQUE. 22i
11 résulte de là que la pression totale N qu'ëprouve la courbe est la résultante de la composante normale P de la force motrice, et d*une
deuxième force dirigée dans le prolongement du rayon decourbure.
Cette seconde pression qui ne llépend que de la vitesse du point matériel et du rayon de courbure de la courbe, se nomme force centrifuge comme dans le mouvement d'un point libre, et la pression totale qu'éprouve la courbe est la résultante de la force centrifuge du point matériel et de la pression due à la force motrice. La réaction de la force centrifuge, c'est-à-dire la résistance qu'oppose la courbe, se nomme aussi force centripète et représente la pression de la courbe contre le point matériel due à la vitesse de ce point.
La valeur de la force centripète ou de son égale, la force centrifuge,
s'obtient sans calcul en remarquant que si v est la vitesse avec
laquelle est parcouru l'élément ab ou la tangente at de la courbe
(fîg. 91] et s l'angle de courbure ibt^, lorsque le point matériel
arrivé au point 6 passera de l'élément ab sur l'élément 6c, cette
vitesse se décomposera en deux, la première dirigée suivant 6c et
égale à vcose, qui n'est autre que la vitesse tangentielle , , et la
seconde perpendiculaire à 6c et égale à v sin e , renfermée dans le
plan de ab et de 6c ou dans le plan osculateur, et par conséquent
dirigée en sens inverse du rayon de courbure. Cette seconde vitesse
est détruite à chaque passage d'un élément de la courbe sur l'élément
suivant, c'est-à-dire pendant le temps dt, et comme toute vitesse
est engendrée ou détruite par une force , on voit que le passage du
point matériel d'un élément sur un autre donne naissance à une force
centripète, dirigée vers le centre de courbure, et qui a pour mesure le
produit de la masse par la vitesse engendrée ou détruite pendant
,, ., . , , , * 1 j. mv sin £ mve „ , ,
I unité de temps, c est-à-dire par — = -j—; or 1 angle de cour-
ds bure est représenté par — ; l'expression de la force centripète, et par
„ , • ^ .^ , . ^ mv ds mv^
conséquent celle de la force centrifuge devient donc p f ou •
p at p
Quanta la première composante de la vitesse, ou vcose, comme
l'angle £ est infiniment petit, cos £ est égal à l'unité, et la vitesse se
réduit à v, ce qui prouve que la vitesse du point matériel dans le sens
de la courbe ne change pas de valeur au passage d'un élément à un
autre, c'est-à-dire que la vitesse reste constante^ en supposant bien
cnteodu, qu'aucune force motrice n'agisse sur le point matériel, et qu'il ne se meuve qu'en vertu de la vitesse acquise. C'est ce que nous avions déjà démontré au N*" 124,
Il résulte de la valeur de la force centrifuge qu'on vient de trouver, que si un point matériel de masse m décrit d'un mouvement uniforme un cercle de rayon r, et achève sa révolution dans un temps t^ la force centrifuge est représentée par
c'est-à-dire qu'elle est proportionnelle au rayon du cercle décrit et inversement proportionnelle au carré du temps de la révolution. Cette expression fait connaître en kilogrammes la tension qu'éprouve un fil portant à l'une de ses extrémités une masse m que l'on fait tourner dans un cercle, tandis que l'autre extrémité du fil est fixe; il suffit de remplacer r par la longueur du fil et t par la durée d'une révolution exprimée en secondes; quant à la masse, on la remplacera par le nombre de kilogrammes qu'elle pèse, divisé par g. On fait abstraction ici de la partie de la tension du fil due à l'action de la pesanteur de m.
Le mouvement de rotation de la terre autour de son axe engendre dans un corps placé à la surface de la terre, une force centrifuge qui modifie sensiblement l'intensité et la direction de la pesanteur et fait que celle-ci n'est pas la même dans tous les points de la surface; en effet si r est le rayon de la terre supposée sphérique, PP' étant la ligne des pôles (fig. 92), un point matériel placé en A décrit pendant le temps t d'une révolution, une circonférence de cercle ayant pour diamètre la perpendiculaire AB sur PP', et ce mouvement circulaire donne lieu à une force centrifuge dirigée dans le prolongement AC
r' de AB, égale à 47r'm--9 r' étant le rayon AO', expression qui devient
r sin ô 47r'm — - — > en représentant par 0 l'angle AOP, c'est-à-dire la
distance angulaire AP du point A au pôle ou le complément de la latitude; le poids du point matériel A, c'est-à-dire la force qu'il faut vaincre pour empêcher le corps m de tomber, est donc la résultante des deux forces AD et AC représentant l'une la pesanteur telle qu'elle serait sans la rotation, et l'autre la force centrifuge.
En désignant par G et ^ les inlensités de la gravité sans la rotation et avec la rotation, le parallélogramme ACED donne
gf« = G*-t-/47r«— — j — 2Gf 47r*— — jsinG, d'où Ton tire en négligeant le carré de la force centrifuge
et en développant le binôme et conservant les deux premiers termes,
r sin'ô
La gravité g prend sa. moindre valeur lorsque sin G devient Tunilé, c'est-à-dire sous Téquateur; on trouve alors que la force centrifuge
forme— -—de la sravité observée. Si Ton voulait connaître la vitesse de 289 ^
rotation que devrait avoir la terre pour que la gravité fût nulle sous
réquateur, il faudrait faire g égal à zéro, remplacer sin 6 par l'unité
et tirer de l'équation la valeur de t. On trouve ainsi, que la vitesse
de rotation devrait être 17 fois plus rapide.
