KS

qZ.

Si Ton intégre ces deux équations différentielles simultanées en x, y et f, après avoir remplacé X, Y, Z, p, q, r, s, f par leurs valeurs connues en X, y et le temps, on obtiendra x et t/ en fonction du temps, et rélimination de cette dernière variable conduira à une relation entre x et y qui représentera la projection de la courbe cherchée sur le plan XY. £n éliminant successivement x et t/ entre cette équation et celle de la surface, on trouvera les projections de la courbe sur les deux autres plans coordonnés.

Il est visible que les circonstances du mouvement du point matériel resteraient les mêmes si on l'assujettissait à demeurer sur la courbe qu'on vient de déterminer, au lieu de le faire glisser sur la surface;

DYiNAHIQUE» 22S

en désignant donc par v la vitesse à une dpoque quelconque, par R la rcsultante des forces motrices, et par dr la projection du déplacement virtuel de R lorsque le point matériel avance de ds dans le sens de la trajectoire, c'est-à-dire la projection de rf* surR, on aura comme au(NM24),

mv^ — mvo* == 2f{Xdx -*- Yrfy -h Zdz) = 2fRdr,

ou, en représentant par T la composante de R dans le sens de la tangente à la trajectoire^ \

mv^'—niVo^^2f'Tds.

On conclut de la première de ces valeurs, 1'' que le principe de la conservation des forces vives subsiste dans le mouvement d'un point matériel sur une surface, si la force R est dirigée vers un point fixe, et est fonction de la distance r à ce point, ou si Xdx h- Yc^y + Zdz est une différentielle exacte d'une fonction des trois variables indépendantes (x, y, z); 2^ que la vitesse reste invariable si le point n*est soumis à racllon d'aucune force motrice, et 3® que la vitesse reste aussi invariable si la force motrice R est partout normale à la surface, puisque rélément ds est alors perpendiculaire à R, et que sa projection dr sur R est nulle.

128. Pression sur la surface, — Les trois équations différentielles du mouvement du N"" 125 font aussi connaître la pression du point matériel contre la surface; car si Ton multiplie respectivement les deux membres par cos t, cosm, cosfi et qu'on les ajoute membre à membre, en remarquant que

cos' / -*- cos* m -+■ cos^ n = 1 ,

on trouve pour la pression N' du point contre la surface, pression qui est égale et opposée à celle de la surface contre le point,

N = (X cos / -*- Y cos w -f- Z cos n)

fdH , rf*y dH \

— ml -rr cos / -f- -r^cos m -♦- -rrcos n 1 • \di^ dl^ dt^ J

Celte pression se compose de deux parties, la première

X cos / -f- Y cos m -+- Z cos n

Tcpréscnle la somme P des composantes de (X, Y, Z), ou la composante de R suivant la normale à la surface; la seconde partie représente

226 CHAPITRE XIY.

également la composante de la force d*inertie suivant la direction de la pression. En y remplaçant cos /, cos m, cos n par leurs valeurs (N"» 127), elle devient

^ dt^'^^ dt^ dt* — m —

do. |/i -*- p* -♦- ^*

OU, en ayant égard k la valeur de d*^onnéc plus haut (N« 127),

1 rdx* ■+■ ^sdxdy -♦- tdy^ m-r-r ^ — ^ ;

«^ dt |/l H- p» -h </«

or, si Ton désigne par p le rayon de courbure de la section normale de la surface qui a la même tangente que la trajectoire, on a vu dans le Cours d'analyse, 2"" édition (N" 111) que Ton a

± [/1 -h p* >f- 9^ zt ds^ |/ 1 -♦- p* -4- ç* ^

r cos* a -t- 2s cos a cos (3 -f- < cos* |3 rdx* -f- 2sdxdy -h ^/y* '

la seconde partie de la valeur de N devient donc

1 rffi* . ♦wv* p cir p

et Ton trouve enfin

mt?*

c'est-à-dire que la pression totale N du point contre la surface est représentée par la pression P due aux forces motrices, augmentée ou diminuée d'une autre pression qui ne dépend que de la vitesse et de la courbure de la surface dans le sens du mouvement. Celte seconde pression est une véritable force centrifuge engendrée par le mouvement sur la surface, ayant une valeur analogue à celle qu'on a trouvée dans le cas du mouvement sur une courbe. On peut donnera l'expression de cette force centrifuge une autre forme; si p' est le rayon de courbure de la trajectoire décrite par le point matériel sur la surface, trajectoire dont on a trouvé plus haut les équations (N*> 127), et si l'on désigne par 6 l'angle compris entre le plan osculateur au point (x, t/, z) de cette courbe et la normale à la surface , on sait que l'on a (voir le Traité d'analyse, 2«» édition, N» 1 1 1) ,

p' == p cos G ,

et la pression devient

Pi— -.cos9, P c'est-à-dire que la force centrifuge qui presse le point matériel contre

la surface est égale à la force centrifuge — ;» telle qu'elle résulte du

mouvement du point matériel dans la courbe qu'il décrit sur la surface, multipliée par le cosinus de l'angle formé par le plan osculateur de la trajectoire avec la normale à la surface.

Ce résultat devient évident si l'on remarque qu'en supprimant par la pensée la surface et en assujettissant le point matériel à demeurer sur la courbe décrite, les circonstances du mouvement resteront les mêmes; or le mouvement curviligne donne lieu à une force ccntri-

wtv* fuge —p dirigée dans le sens du rayon de courbure de la trajectoire,

et si l'on décompose cette force en deux autres, l'une normale à la surface et la seconde tangenticlle, la première seule déterminera une pression sur la surface, qu'il faudra ajouter à celle qui provient des forces motrices; en représentant donc par G l'angle formé par le rayon de courbure de la trajectoire avec la normale à la surface, cette composante normale sera, comme plus haut, --7- cos 0.

La seconde composante de — p- qui est — r-sîn 6, donne lieu à une

remarque importante. Cette composante étant évidemment renfermée

dans le plan passant par le rayon de courbure de la trajectoire et par la normale à la surface , est elle-même normale à la trajectoire et comme elle est perpendiculaire à la normale de la surface, elle est à la fois renfermée dans le plan tangent à la surface et perpendiculaire à l'élément que décrit à chaque instant le point matériel. Cette composante de la force centrifuge est^ comme toutes les forces d'inertie, égale à la composante des forces motrices estimée dans cette direction. 11 suit de là, que si l'on décompose la force motrice R qui agit sur le point matériel en trois autres, l'une T dirigée suivant la tangente à la trajectoire, la seconde P dirigée suivant la normale à la surface, et la troisième Q perpendiculaire aux deux autres, on devra avoir

—7- sin 0 = Q ,

attendu que la force N n'a pas de composante dans le sens de Q.

La composante transversale Q est nulle, i"" lorsque le point matériel n'est mu par aucune force motrice; 3^" lorsque la force motrice est constamment normale à la surface ou lorsqu'elle se réduit à P; 5° lorsque la force motrice est dirigée suivant la tangente à la trajectoire, c'est-à-dire lorsqu'elle se réduit à T^ comme cela arrive lorsque ces forces proviennent du frottement contre la surface ou de la résistance de l'air ; et 4° enfin lorsque la force motrice est réduite à T et P, c'est-à-dire lorsqu'elle se compose h chaque instant d'une pression et d'une force langenticlle. Dans les différents cas qu'on vient d'énumérer, on doit donc avoir

— r sin 0=0,

et par conséquent

sin9==0, ou 6 = 0,

ce qui indique que lorsqu'un point matériel glisse sur une surface en vertu de l'une des forces qu'on vient d'indiquer, la trajectoire est telle que l'angle formé par son plan osculatcur avec la normale à la surface est constamment nul^ ou en d'autres termes, que le plan osculatcur de la trajectoire est partout normal à la surface. Une semblable courbe, connue sous le nom de ligne géodésique, tracée sur une surface, jouit de propriétés importantes. Elle est (voir le Traité d'analyse, 2°*° édition^ N*" 279) la plus courte ou la plus longue qu'on puisse tracer sur la surface entre deux de ses points; elle est aussi celle que l'on obtiendrait en appliquant sur la surface un fil tendu. C'est aussi la courbe suivant laquelle on pourrait appliquer sur la surface sans duplicalurc ni déchirure, une bande d'une largeur très petite. Enfin pour la surface de la terre, c'est la ligne que Ton y tracerait, en prenant un alignement avec des jalons vertkaux.

129. Mouvement d'un point matériel pesant sur une courbe. — Appliquons les principes précédents au mouvement d'un point matériel sur une courbe donnée^ la gravité étant la seule force motrice. Si l'on prend l'axe des Z vertical et dirigé vers le bas, les trois équations du mouvement se réduisent à

ci*x d*t/ d^z

m -— == N cos /, m-77- = N cos m , tw -r-r = mo -4- N cos ;i, c/(* c/r or

et l'équation des forces vives devient

v* = v,* + 2gf(z — A) (1)

h étant la valeur de z correspondant à la vitesse iniliale Vo.

Cette équation fait connaître In vitesse du point matériel en chaque point de la courbe. Pour connaître sa position à une époque quel-

conque, on remplacera v par -j- 9 ce qui donnera -f = i/vo* -H 2j (z — A) , d'où lit ==

d^ l/vo^ -♦- 2flf (« — h)

et comme on a

et que -=- et -r- se déduisent en fonction de z^ des deux équalions de dz dz

la courbe mises sous la forme

il viendra enûn

dt = ±: dz^ ^ ^ --^ — ^ — (2)

|/Vo' -4- 2flf (z — A)

et une quadrature donnera la valeur de t en fonction de z, et par

suite, z en fonction du y^mps, c'est-à-dire que la position du mobile

sera connue à chaque instant. En substituant cette voleur de z dans

l'expression de la vitesse^ on connaîtra aussi la vitesse aux diiïérentcs

époques du mouvement, dt étant toujours positif, il faut prendre

celui des deux signes qui rend dt positif; il faut donc prendre le signe

plus ou le signe moins selon que le point matériel descend ou monte.

L'équation *.

m»* — mVo^ = "Img (z — h) ,

indépendamment du principe de la conservation des forces vives qu'elle exprime, fait connaître plusieurs circonstances du mouvement. On voit d'abord que l'accroissement de force vive d'un point matériel pesant glissant sur une courbe donnée, est indépendant de la forme de cette courbe et qu'il est égal au double du poids 2m^ du point matériel multiplié par la hauteur verticale z — A de la chute^ ce produit représentant ici le double de la quantité d'action de la pesanteur. La même équation, mise sous la forme

V = [/vo^ -+- 23 (z — A) ,

apprend aussi que la vitesse acquise en glissant sur la courbe est la même que si le point matériel était tombé verticalement d*une hauleur z — h avec une vitesse initiale Vo', car en appliquant Féquation des forces vives à ce mouvement vertical, on trouve aussi

lîiv* — mVo^ = 2mgf (z — A) et u = \/vo^ -*- 2jf (« — h).

On voit par là que si un point matériel est lancé au point C (fig. 95] , suivant la tangente GT à la courbe GB avec une vitesse Vo, il glissera le long de la courbe de manière que la vitesse aux différentes hauteurs passera par les mêmes valeurs que s'il avait été lancé verticalement au point G avec la même vitesse initiale Vo. La hauteur à laquelle il s'élèvera en glissant le long de la courbe est donc la même que celle à laquelle il se serait élevé verticalement. Il suit aussi de là que si un point matériel se meut sur une courbe quelconque ÂEGB, et qu'on l'abandonne à Taclion de la pesanteur en Â, ce point matériel, après être descendu le long de la branche AE^ remontera le long de la branche Efi jusqu'au point B placé au niveau du point A, pourvu que la courbe soit continue, c'est-à-dire pourvu que deux tangentes consécutives forment partout un angle infiniment petit; car si E est le point le plus bas de la courbe, on a vu que lorsque le point matériel arrivera en E, il aura acquis la même vitesse que s'il était tombé verticalement de F en E ; il montera don^ dans la branche ascendante EB avec cette vitesse de projection et s'élèvera jusqu'au niveau du point F qui est le même que celui du point A. Après s'être arrêté on B, il redescendra pour remonter dans l'autre branche jusqu'en A , en continuant indéfiniment ce mouvement d'oscillation.

Il est à remarquer que , d'après ce qu'on a vu au N"* i24, la durée de l'oscillation de A en B est la même que la durée de l'oscillation de B en A, et que le temps employé à descendre de A en E est le même que celui employé à remonter de E en A.

Si la courbe était entièrement fermée et que le point matériel fût lancé au point G suivant la tangente GT avec une vitesse supérieure à celle nécessaire pour monter jusqu'au point le plus élevé G, le point matériel dépasserait le point culminant G pour descendre le long de la branche GAE, remonter ensuite la branche ascendante EGBG et continuer indéfiniment ce mouvement de circulation.

En cherchant la courbe plane suivant laquelle devrait descendre un point matériel pesant pour que la vitesse c dans le sens vertical

dz OU -r- fût constante, on trouverait sans peine pour son équation dt

Sgz!^ == 9cV«.

150. Mouvement du point matériel pesant en ayant égard à la résistance de Vair et au frottement, — Si le point matériel pesant se mouvait dans un milieu résistant, il faudrait avoir égard à cette résistance que l'expérience a prouvé être proportionnelle au carré de la vitesse, et en observant que cette force est toujours dirigée suivant la tangente et en sens inverse du mouvement, Téquation différentiel le des forces vives prend la forme

mvdv = mgdz — nv*ds [i)

k cause des relations

cos Idx -H cos mdy -^ cos ndz = 0,

ds* = dx' -H dy^ ■+■ rfi*.

On voit que le principe de la conservation des forces vives ne subsiste plus, attendu que le second membre n'est pas une différentielle exacte d'une fonction des trois variables indépendantes (x, y, z); cependant si Ton intègre depuis z<, jusqu'à z, on trouve

mv^ — mvo* = 2m jf {z — z„) — ^nfv^ds.

Celte équation, sans donner la valeur de mv^, indique que lorsque le mobile revient au point de départ, c'est-à-dire quand z — Zo est nul, mv* — mvo^ ne le sera pas et le mobile ne reprendra pas sa valeur primitive Vo.

Pour déduire de l'équation des forces vives la valeur de la vitesse et les autres circonstances du mouvement, des deux équations delà

courbe

x='(pz, y = ^z,

dx dy on tire les valeurs de — et -~> au moyen desquelles on exprime ds

en fonction de z,

et l'équation (1) devient, en remplaçant t?* par la variable u,

mdu ±: ^nu xj 1 -4- ( -p ) "*"( "7 ) ^^ = âmjfdz.

232 coAPiinE XIV.

équation dilTércnticlIc du premier degré cl du premier ordre , dont

rinlégralc donnera u et par suite la vitesse v en fonction de z. Si Ton

ds désigne eelte valeur par Fz, et qu'on remplace v par-r > on trouvera

, ds , «f ==— -=s az

et une nouvelle quadrature conduira à une relation entre z et t, relation qui servira à fixer à chaque instant la position du point matériel. De ce que v est donné en fonction de z, on ne peut pas conclure que la vitesse redeviendsa nécessairement la même toutes les fois que le point matériel reviendra au même endroit, car on peut exprimer Tares parcouru par le point matériel en fonction de z et par conséquent v en fonction de s, et comme cette dernière variable est constamment croissante, la valeur de v ne redeviendra pas la même.

Si Ton avait égard au frottement du point matériel contre la courbe, en désignant par f\c coefficient du frottement, les trois composantes du frottement toujours dirigé suivant la tangente, en sens inverse du

mouvement, seraient — fN-r-» — /"N-r^i — f^-r et l'équation

ds ' ds ' ds

différentielle des forces vives deviendrait

mvdv = mgdz — f^ds (2)

Le principe de la conservation des forces vives ne se vériûe pas non plus dans cet exemple, puisque le second membre n'est pas une différentielle exacte en [x, y, z), et on reconnaît comme plus haut qu'il y a perle de vitesse toutes les fois que le point revient au même endroit. Pour intégrer d'une manière complète, on remarquera que la pression totale est la résultante de la force centrifuge et de la pression P due aux forces motrices; on cherchera donc l'expression du rayon de courbure et les angles qu'il fait avec les axes, d'où l'on conclura les composantes suivant les axes de la force centrifuge en fonction de v et de z; on cherchera ensuite les composantes de P que l'on suppose fonction de (x, y, z) ou plutôt de z seul, puisque x et t/ sont donnés en fonction de z par les équations de la courbe; puis on déterminera la résultante N de la force centrifuge et de P, pour laquelle on trouvera évidemment une fonction de i? et de z. En remplaçant N par cette valeur dans l'équation (2), on est conduit à une équation diffé-

renlielle à deux variables v et z qu'il faut intégrer pour avoir la

vitesse v,

iZ\ . Mouvement d*unpoint matériel pesant dans un cercle vertical. Pendule simple. Isochronisme des oscillations. — Si la courbe donnée est un cercle vertical d'un rayon r, on pourra le supposer renfermé dans le plan des XZ (fig. 94) et les équations de la courbe deviendront, en plaçant l'origine au point le plus bas A ,

X = |/2rir — «', y = 0.

Après avoir substitué ces valeurs dans (i) et (2) du N« 129, il vient en dirigeant vers le haut l'axe des Z positifs, ou en changeant les signes

de h et de z^

dbrdz

v* = v,î ^- 2gf (A — «) et dt=

l/2rz — z* yvo^ -4- 2gh — 2gz

dans lesquelles h est la hauteur verticale AC du point de départ B, et Vo la vitesse initiale au point B. Cette différentielle n'est intégrable sous forme finie qu'en faisant usage des fonctions elliptiques. Supposons la vitesse initiale Vo nulle; pour intégrer par approximation, on mettra la valeur de dt sous la forme

dz dt

v/'-svA—

puis développant en série le facteur > il vient

et l'on sait que cette série est convergente pour z plus petit que 2r. On trouve en substituant,

/ r ( dz \ zdz 3 z*rfz ^ 1

dans laquelle tous les termes sont intégrables; le temps C est donc

exprimable en fonction de z au moyen d*unc série qui est elle-même

convergente (fin du N** i46 du Cours d'analyse^ 2"*' édition). Gomme

dz est négatif pendant la descente et positif quand le point matériel

monte, il faudra, d'après ce qu'on a vu (N® 129), prendre le signe —

dans le premier cas et le signe + dans le second. Si l'on suppose la

hauteur AC du point de départ B très petite relativement au rayon

du cercle ; le rapport - toujours inférieur à - sera une fraction très

petite, et la série précédente sera assez convergente pour que le premier terme donne une valeur approchée de t; on trouve, dans cette hypothèse^ en intégrant depuis z = A,

A^ /2z A = \ / T- arc cos I -; \ i

d'où l'on peut tirer la valeur de z en fonction de (, ce qui fera connaître la position du point matériel à chaque instant. En faisant z nul, on aura le temps de la descente du point B au point A, qui est

/ r TT /r

On a vu que le point matériel arrivé en A continue son mouvement, cl remonte jusqu'en B' au niveau du point B; la durée de cette ascension est donnée par la même équation différentielle prise avec le signe + et intégrée depuis z^=0 jusqu'à z == A, ce qui conduit

à la même intégrale définie r \ / ~ s de sorte que la durée du mou-

vement depuis B jusqu'en B

' est TT % / - V 9

durée uniforme est

On sait que le point matériel , après s'être arrêté en B', retourne ensuite eu B, et que le temps de ce retour est le même que celui du premier trajet; il fera donc une suite indéfinie d'oscillations dont la

Cette valeur est remarquable en ce qu'elle est indépendante de l'étendue de l'arc BB', pourvu que cet arc soit très petit.

La pression que supporte le cercle, s'obtient facilement en remarquant que la composante du poids mg du point matériel suivant la normale à la courbe, c'est-à-dire suivant le rayon OM (fig. 95) est

ON r — 2 mg . cos jfMo ou mg cos MOA = »W5f-— = mg En joignant

cette pression à celle qui est due à la force centrifuge, laquelle est

mv* 2mûf(A — z) • . . i

= — zi L, on aura pour la pression totale

On appelle pendule simple ou mathématique ^ un instrument idéal composé d'un point matériel pesant suspendu à Texlrémité d'un fil inextensible, inflexible et sans masse, dont l'autre extrémité est fixe.

Il est clair que si l'on abandonne ce pendule à l'action de la pesanteur, après l'avoir écarté de la position verticale, il tendra à y revenir par une suite d'oscillations pendant lesquelles le point matériel demeurera sur une circonférence de cercle d'un rayon égal à la longueur du pendule, de sorte que les circonstances du mouvement de ce point seront les mêmes que s'il était assujetti à glisser sur un arc de cercle vertical; les oscillations de ce pendule suivent par conséquent les même lois que le mouvement du point matériel pesant dans le cercle^

c'est-à-dire que leur durée est aussi exprimée par t: % / -,etest

indépendante de Vamplitude des oscillations qui sont dites pour ce motif isochrones.

Cette valeur de la durée d'une oscillation nous apprend que, pour doux pendules de longueur différente, oscillant dans des lieux où la gravité est la même, les durées des oscillations sont proportionnelles aux racines carrées des longueurs des pendules, et que si l'intensité de la gravité est différente dans les deux lieux, les longueurs étant les mêmes, les durées sont inversement proportionnelles aux racines carrées des gravités.

Ces lois ne subsistent que pour des oscillations d'une étendue très

petite : l'isochronisme cesserait d'exister pour des oscillations d'une

certaine étendue; car si dans le développement de dt en série, on

z lient compte des termes multipliés par - > en négligeant le carré

de cette fraction, il faudra avoir égard au second terme de la série et la durée d'une oscillation deviendra

'\/î('*ld'

2o6 CilAPITIlB XIV.

elle cesse donc d'être indépendante de A. Il est visible du reste que,

puisque %/ - est facteur commun dans le dëveloppement de dt^ cl

que g n'entre pas dans la sërie, les durées des oscillations resteront inversement proportionnelles aux racines carrées Jdes gravités, pourvu que A et r aient toujours les mêmes valeurs.

La tension qu'éprouve à chaque instant le fil du pendule est évidemment égale à la pression supportée par le cercle, pression que nous avons déterminée plus haut.

132. Oscillations du pendule dans l'air. Mesure de la gravité au moyen du pendule. — Si les oscillations se faisaient dans l'air atmosphérique, il faudrait tenir compte de la résistance que ce milieu oppose au mouvement du point matériel. Représentons cette force par <p; en égalant la force tangentielle à sa réaction, on est conduit h cette relation

dtg fn—=fng siu a — (p (1)

dans laquelle a est l'angle MOA, et iwgfsina la composante de la pesanteur du point matériel dans le sens de la tangente M(. Comme on a, B étant le point de départ,

s « BA — AM c= rp — ra ,

on a aussi

ds^^-^ rda, et d*s = — rd^a. , ce qui fait prendre à (i) la forme

On a reconnu que pour de petites vitesses, la résistance de l'air est sensiblement proportionnelle à la simple vitesse; 00 peut donc poser

ds da

dt dt

et si l'on suppose l'amplitude très petite, a restera très petit, sin a pourra être remplacé par a, et l'équation différentielle (1) deviendra

d^cf, n da. a

dt^ m dt r '

qui est une équation dérivée linéaire à coefficients constants. Son intégrale est

a = fc cos ta \/ - -*- C sin *«%/-)

dans laquelle a lient lieu de % / 1 — — ^•

On détermine les constantes C et C par la condition que pour

{ = 0, on ait à la fois a = 3 et -=- ou r=0. On trouve ainsi

^ dt

C«(ï et C' = ^\A.

^ 2ma V g

A la fin de chaque oscillation, a atteint une valeur maximum que Ton

détermine en faisant

dcc dt

On a ainsi, en représentant par i' les valeurs de ( qui correspondent à ces instants,

sin t'a %/ ^ «= 0, d*où tfa %/ ? = ^tt ,

k étant un nombre entier quelconque. Les différentes valeurs de (' sont donc

0, ix/ï, ^./l, !5»/î:

etc.