TT / T
et par conséquent la durée de chaque oscillation est>-\/ - ; d*où il
résulte que les oscillations sont encore isochrones, mais leur durée
comparée à ce qui se passe dans le vide, est augmentée dans le rapport
de a ou \/ i — - — -- à l'unité. Quant à l'amplitude des oscillations, V knvg
on a, en remplaçant successivement t par chacune des valeurs précédentes dans la valeur générale de a,
a = p, a = i-—, ae= » a= ^-—zr etc.
«Tt |/r »ii7r|/r SiilT . /r
A'tma g Aima g 0%ina g
258 cnàPiTUE XIV.
d'où Ton conclut que les amplitudes à droite et à gauche de la vcrlil'ule diminuent suivant une j[)rogression géométrique. Ces différents résultats sont conQrmés par Texpérieuce, ce qui justifie riijpothèse de la proportionnalité de la résistance de Tair à la première puissance
de la vitesse. L'expérience prouve aussi que o ou % / 1 — - — r-> ne
y 4wi*gf
diffère de Tunité que d'une fraction insensible, et que, par conséquent, lorsque les oscillations sont très petites, la résistance de l'air ne change pas sensiblement leur durée.
Les oscillations du pendule offrent le moyen le plus commode et le plus exact pour mesurer l'intensité de la gravité 9, car la durée d'une oscillation s'observe avec une grande exactitude en prenant la moyenne de la durée d'un grand nombre d'oscillations, et l'on sait qu'on a sensiblement pour des amplitudes très petites.
rTT*
d'où 5 = ^,
Il est h remarquer que cette théorie ne se rapporte qu'au pendule simple ou mathématique. On verra plus loin comment les résultats qu'on vient d'obtenir, étant convenablement modifiés, représentent les lois des oscillations d'un pendule quelconque.
435. Mouvement sur la cycloïde. — Cherchons encore le mouvement d'un point matériel pesant sur la cycloïde. Gomme on a eu général (N» 1Î29)
, ds
et que Ton a dans la cycloïde,
rf5 = zfcj/2â
dy
la valeur àodt devient, en transportant l'origine du point B' (fig. 9G) au point A, ce qui se fait en posant y = 2a — z.
/o dz
V 9 i/hz — z*
Il est visible qu'il faut prendre celui des deux signes qui rend 4^ positif, c'est-à-dire qu'il faut prendre le sigue — quand le point
matériel descend et le signe -h quand il monte, puisque dans le premier cas, dz est négatif, tandis qu'il est positif dans le second. En intégrant, il vient c^mme plus haut.
On déterminera la constante G par la condition que t soit nul quand z est égal à A; il vient donc quand le point matériel descend ,
Y/^rccos(^J-l)
qui fait connaître la durée de la descente depuis le point fixe C jusqu'au point M. En faisant z nul, on trouve pour la durée de la descente de G en A,
Gelte valeur est indépendante de h et par conséquent, du point de départ G; d'où résulte cette propriété remarquable que, quel que soit ce poiut, la durée de la descente jusqu'en A est toujours la même, en sorte que si Ton place des points matériels pesants en différents endroits de Tare AB, et qu'on les abandonne en même temps à euxmêmes, ils arriveront tous ensemble en A. G'est en cela que consiste le iautochronisme de cette courbe qui elle-même est dite tautochrone.
On a vu (N° 129) que le point matériel arrivé en A, continue son mouvement en s'élevant jusqu'en G' au niveau du point G, pour redescendre ensuite de G' vers A ; comme les deux branches BA et B'A sont symétriques, la durée de la descente de G' en A est la même que
celle de la descente de G en A, c'est-à-dire qu'elle est tt \/ - ; or,
^ 9 on sait (N*" i22), que la durée du mouvement de A en G' est la même
que celle de la descente de G' en A; la durée de l'ascension de A en
G' est donc aussi ttV/ - , et par conséquent le temps d'une oscillation totale de G en G' ou de G' en G, quelle que soit son amplitude,
est représentée par
On voit que la loi des oscillations est la même que dans un pendule simple d'une longueur égale à ia, sans qu'il soit nécessaire de limiter, comme dans le cercle, l'étendue des oscillations.
La propriété de Tisochronisme des oscillations dans le cercle est une conséquence de cette propriété de la cycloide, car si l'on décrit le cercle osculateur au point le plus bas de la cycloïde, une portion très petite du cercle, ajant 4a pour rayon, s'y confondra avec un arc de cette courbe. On voit aussi que l'isochronisme subsisterait encore si l'on remplaçait le cercle par toute autre courbe.
11 est visible que la propriété précédente subsiste, si la cycloïde au lieu de rester plane, est enroulée sur un cylindre vertical à base quelconque, pourvu que les ordonnées verticales z de la courbe restent verticales sur le cylindre; en effet, toutes les équations dont on vient de faire usage, peuvent servir pour déterminer le mouvement sur une courbe à double courbure, et comme elles ne contiennent que les variables z, s et f, qui ne changent pas de grandeur lorsque le plan de la courbe est enroulé sur le cylindre, les résultats obtenus ne seront pas altérés par cette transformation.
La propriété de la cycloïde a été mise à profit pour construire un pendule dont l'isochronisme, ou l'égalité de durée des oscillations, fût indépendante de l'amplitude; on réunit au point D deux demi-arcs de cycloïde DB et DB' égaux et h ordonnées verticales; on y suspend un fil flexible DA d'une longueur égale à deux diamètres du cercle générateur de la cycloïde, et à l'extrémité A on suspend un point matériel. Si l'on écarte le fil DA de la position verticale dans le plan de la courbe, il s'enroulera alternativement contre les arcs DB et DG, et l'extrémité décrira une cycloïde égale à sa développée DB; le point matériel G oscillera donc en suivant les lois indiquées plus haut. Get appareil porte le nom de pendule cycloïdaL
154. La cycloïde est la seule courbe tautochrone. — 11 est facile de reconnaître que la cycloïde est la seule courbe plane tautochrone; en effet, quelle que soit la courbe AB plane et verticale, si h est l'ordonnée du point de départ G, on aura en un point quelconque M,
/ds\^
\7/ ^" v« = 25f(A— z), dVi rfe= ^^
i ds
DYNAMIQUE. 24i
et en prenant Tinlëgrale depuis r = ft jusqu'à z«=0, on aura pour le temps de la descente de C en A ,
ds Tz
dz.
Pour que la courbe soit tautochrone, il faut que cette intégrale définie soit indépendante de A; or si Ton remplace z par une nouTelle variable z', de manière que
z=s hz!j
comme pour 2«=0 et pour z = A, il vient «' = 0 et z' = 4, il est
visible qu'après la substitution, Tintcgrale définie devra être prise
entre les limites 1 et 0, de sorte que, en représentant par |7 ce que
d$ devient la dérivée -y après la substitution de hz' à z, on aura
dz
]/T fO pdzf
j/2j Ji i/i-z^
ds La dérivée -^ étant évidemment une fonction de z, peut être condz
çue développée suivant les puissances de cette variable, de manière à
avoir
-— = az« -♦- bzP -*- etc, = ah^z'^ -+- bhPïP ■+■ etc. dz
oLy p.... étant tous différents, et il vient en substituant,
T=- —\ah «\ f bh^ M -f- etc.
dz/5?5 f h i/i—z' J\ |/i — z'
= aAA"^ -4- 6BA^^» etc. -\-
/•O zf^dz'
Nous avons désigné par A, B .... les intégrales définies l . '
•0 z!Nz!
= qui sont visiblement indépendantes de A et ne sont pas
$u zr
iiullcsy puisque les différentielles restant toujours de même signe, leurs sommes ou intégrales définies ne sauraient être nulles. La valeur de
T ne sera donc indépendante de h que si un des exposants ^-i- - est
égal à zéro ainsi que les eoeifîcients b, c, d des autres intégrales,
ds ce qui fait prendre à T et à -;- les valeurs :
dz
•-, a Ç^ dz' an ds -r a
1=5 —=r\ — -g= — :izr» ■T-=a^ ==
ds La seconde équation appartient à une cycloïde, car en remplaçant -j-
par %/ i ^ (-^\ et o« par 2r,
on trouve
/ir^
rfx == \ / '^ dz
qui appartient & une cycloîde ayant son sommet à Torigine, son axe horizontal et 2r pour diamètre du cercle générateur.
H ne saurait non plus y avoir d*autre courbe tautochrone parmi les courbes gauches ou parmi les courbes planes non verticales, car en les considérant dans le cylindre qui les projette sur un plan horizontal, il est visible (voir la fin du numéro précédent) que le tautochronisme de la courbe de Tespace entraine le tautochronisme de la courbe formée par le développement dans un plan vertical de la surface cylindrique projetante, et comme cette courbe ne peut être qu'une cycloîde, il en résulte que les seules courbes tautochrones à double courbure sont celles qui sont formées par des cycloïdes horizontales enroulées sur des cylindres verticaux.
135. Mouvement d'un point matériel pesant sur une surface sphérique. Pendule d oscillations coniques. — Appliquons encore nos formules à la détermination du mouvement d'un point matériel pesant sur une surface sphérique. En prenant pour origine le centre de la sphère et pour axe des z la verticale dirigée vers le bas, l'équation de la surface prend la forme
DYNAUIQUE.
(1*011 l'on tire
