NM
cos / (= —
-i cos m =
co8n =
les
équations
du mouvement du N"*
125 deviennent
rf«x "^di-"
dhj
mg —
et les formules des N*»» 127 et 128 donnent pour N et pour v les valeurs suivantes, v^ ci h étant les valeurs initiales de v et de 2 ,
r«-r„«==2ff(z-A), N^mgf-H- — =-^f 5z - 2A -♦-— V
Si Ton remplace N par sa valeur dans la troisième équation différen»
tielle, qu'on en multiplie les deux membres par ^dz et qu'on intègre,
on trouve
t rdz dt= — (1)
j/C -h ^gr^z -H {^gh — Vo*)z^ — 2gf««
L'intégration de cette équation n'est pas possible en quantités finies sans l'emploi des fonctions elliptiques , et il en est par conséquent de même des deux autres équations du mouvement, dans lesquelles N et z devraient d'abord être remplacés par leurs valeurs en t tirées de l'intégrale de l'équation précédente. Bornons-nous à examiner le cas où le point matériel lancé avec une vitesse initiale Vo très faible, s'écarte très peu du point le plus bas A placé dans l'axe des Z (fig. 94). Alors z et A diffèrent peu de r, la valeur de N se réduit sensiblement à la constante mg^ et les deux premières équations différentielles deviennent
dl* r * dt^ r^
En multipliant respectivement les deux membres par 2dx et 2e{y , on trouve pour intégrales, a* et 6^ étant deux constantes arbitraires,
d'où l'on tire
xAdi — -^^, xAdi — jg^,
244 CUAPITRE XIV.
lesquelles ont pour intégrales ,
ou bien,
%/ ? ( = are sin - » % / -{i — t') = are sin ^ , X = a sin « % / ^ , y = 6 sin (f — f) % / ? •
Dans la première, la constante est déterminée de manière que le temps commence à compter au moment où le point traverse le plan des YZ, c'est*à-dire quand x est nul, et dans la seconde la constante f est la valeur de t qui correspond à y = 0, c*esl4-dire que (' est le temps qui s'est écoulé depuis le moment du passage du point matériel par le plan YZ jusqu'à son passage par le plan XZ.
En éliminant le temps t entre ces deux équations , on trouve pour projection de la trajectoire dans le plan horizontal XY,
Elle appartient & une ellipse dont le centre est dans l'axe vertical des Z. Gomme la direction de l'axe des X est arbitraire, on peut faire en sorte qu'elle coïncide avec la direction du diamètre principal; dans ce cas le produit xy doit disparaître de l'équation, ce qui ne peut arriver
que par l'évanouissement du facteur cos f \/ ^ ; on a donc alors
cos«'y/i'==0, d'où *'y/f = | et f^^-y/^ ce qui réduit la valeur de y à la forme suivante :
Comme i' est la durée du passage du point matériel de l'axe des X à l'axe des Y, et que dans cette nouvelle position des axes, la courbe est coupée en quatre parties symétriques, il est visible que la durée d'une
révolution complète est donnée par itf ou 2?:% / - et l'equation
: % / - et Véi V 9
de Tellipsc se réduit à
La loi suivant laquelle le point matériel tourne dans cette ellipse s'obtient en remarquant que, - étant la tangente de l'angle yj formé
avec l'axe des X par le rayon mené à la projection du point matériel, SI Ton donne à t' la valeur qu'on vient d'indiquer, ce rapport fera connaître en fonction du temps l'angle formé par ce rayon avec le diamètre principal de l'ellipse. On trouve
6 eos t
- = langy;«= —
asin t
-cot(\/ a y r
Celte équation confirme ce que nous avons dit plus haut de la durée 4(' d'une révolution.
Au lieu de faire mouvoir le point matériel sur une surface sphérique, on peut le concevoir lié au centre de la sphère par un fil inextensible et sans pesanteur, et mis en mouvement avec une vitesse initiale très petite dirigée d'une manière quelconque. L'appareil prend alors le nom de pendule malhématique à oscillations coniques ^ et les luis de son mouvement sont représentées par les formules précédentes. On voit donc qu'un semblable pendule à oscillations très petites décrit un cône à base elliptique dont l'axe se confond avec la verticale passant par le point de suspension, et que la durée d'une oscillation coni-
Vh-
que est donnée par 27r% / -, c'est-à-dire qu'elle est invariable et
V 9 la même que si le pendule oscillait dans un plan vertical. La forme de
l'ellipse dépend des valeurs des deux constantes arbitraires a et b,
qui dépendent elles-mêmes des valeurs initiales connues des deux
dx dy composantes -r- » -^ de la vitesse et des coordonnées x, y.
Si l'on suppose le point matériel pesant assujetti à glisser sur la surface engendrée par la rotation d'une cycloïde verticale autour de son ordonnée maximum, on trouve sans peine en suivant la même
246 CHAPIIRB XIV.
marche que pour la sphère, que Téquatioa différentielle (1) est alors intégrable et conduit à une relation de la forme
m -4- nsln* i
Les valeurs de x et y ne peuvent pas être exprimées en fonction de t d'une manière aussi simple; mais il résulte suffisamment de l'intégrale précédente que les oscillations verticales sur cette surface sont isochrones quelle que soit l'amplitude^ puisque, après des inter-
Vi' '"
valles de temps égaux à tt % / — , la valeur de z redevient la même
V 9 et que par conséquent le point mobile revient à la même hauteur
au-dessus du point le plus bas.
Si le point matériel pesant se meut sur une surface quelconque
donnée t/ = 0, en prenant l'axe des X vertical et dirigé vers le haut,
les composantes Y et Z de la force motrice seront nulles, X sera égal
à — mgj et la seconde des équations différentielles de la trajectoire
du N° 127 deviendra
d dt
^-?S=='' c/est-à-dire d(|) - 7^ (|) ==0,
(/ indiquant une différentiation totale. Or le principe des forces vives donne, en représentant par h Vx du point de départ, et en supposant nulle la vitesse initiale,
— - = j/â^ ^/h — X ou df =
l'équation précédente devient donc
du cl en remplaçant 7 ou y- par —^ tirée de l'cqualion de la sur-
dy du
dz
face, elle prend la forme
Si Ton développe les deux différentielles, on est conduit à Téquatioii suivante, ciléc au N" 28i du Traité d'analyse, 2"»* édition,
du rfF
/^y\ au /dz\ dx J du dy du dzl
\dijly \j8j''^(h-x)(lid^'^lhjTs\^ '
Quand ti == 0 représente un plan donné par l'équation
-r-et-;-sont égaux à a et b, et Téquation diff^crenticUe mise sous la dy dz
forme
. ,dy jdz
hd-f—ad-r .
ds as dx
dy dz 2(fc — x) ds ds
et intégrée, donne
La constante arbitraire C se détermine en remarquant qu'au point de départ, [/h — x est nul, ce qui exige que C le soit aussi. 11 vient donc
bdy — adz = 0, d'ou^ by — az = D
qui est réquation de la projection de la trajectoire dans le plan horizontal. Elle représente une perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné. Les autres circonstances du mouvement le long de cette droite résultent de ce qu'on a vu au N*" i 10.
136. Mouvement relatif sur une courbe en mouvement. — Si pendant qu'un point matériel glisse le long d'une courbe donnée, en vertu de certaines forces motrices, cette courbe est mise elle-même en mouvement, les circonstances du mouvement du point matériel le long de la courbe ou le mouvement relatif se déterminent comme il suit : concevons la courbe rapportée à deux systèmes d'axes rectangulaires, l'un (xyz) fixe dans l'espace, et l'autre (x^ y^ z') mobile et invariablement lié à la courbe dont la forme est donnée par les équations
af^fz', j/' = Fs'....(1)
et dont la position dans Tespace est donnée au moyen de la position des axes (X\ Y', Z') relativement aux axes immobiles (X, Y, Z).
Dans les relations connues entre les deux systèmes de coordonnées d'un même point, savoir
y = m H- aV H- ty -4- (/^e'. . . . (2)
les coefficients a, b, c, a'... /, m, n qui fixent cette position d'un système d'axes par rapport à l'autre, sont donc des fonctions données du temps {. Dérivons deux fois ces équations par rapport à i. Comme les forces qui agissent sur le point sont les forces accélératrices (X, Y,Z) et les composantes delà pression Nde la courbe mobile, les équations du mouvement absolu sont
---==X -h Ncos/, -~j = \ -4- Ncosu, 3-r-=^Z H- Ncosy rft* di^ al*
dans lesquelles (X, fjt., y] fixent la direction de cette pression, et l'on aura NcosX = -X..a^H-6-^-4.c^H.2^--4.2^^ ^ de dz' d^a , d^b , d*c , dH
dl d« d(« d(« ^ dt» d/«
N cos jEx =s etc., N cos y = etc.. . (3)
auxquelles il faut joindre la condition que pour chaque instant la pression est normale à la courbe donnée considérée comme fixe, condition qui est exprimée par
d'xcos X -4- d'y cosfx -4- d'zcosy = 0.... (4)
d' désignant les différentielles de x, y, z prises dans (2) en supposant
le temps t constant, c'esl-à-dirc /, a, 6, c^a! restant invariables.
Si l'on multiplie les équations (3) respectivement par d'x, d'y, d'z et qu'on les ajoute, N disparait à cause de l'équation (4), ct après avoir remplacé x', y' et d'x, d'y y d^z par leurs valeurs tirées de (i) et (2) et
remplacé a, 6... -7- •••-7-^ par leurs valeurs données en <, on est
conduit à une équation dérivée linéaire du second ordre entre ^ et (, dont rintégrale fera connaître le mouvement du point relativement à la courbe, ou le mouvement relatif. Le mouvement absolu se détermine en remplaçant (x', y\ z') par leurs valeurs en t dans (2), et la pression N s'obtient en additionnant les équations (3) après les avoir élevées au carré et après avoir remplacé (j/, y', jz'} par leurs valeurs en I.
Si, par exemple, on demande le mouvement relatif d'un point pesant le long d'une courbe plane et verticale qui se meut en conservant ses axes (X', V) parallèles aux axes fixes (X, Y)^ on posera
et l'équation du mouvement apparent devient /rfV dH\ . /dV d«n\
Supposons que la eourbe directrice du point pesant obéisse elle-même avec les axes (X', Z') i l'action de la pesanteur sans tourner, on aura
et l'équatiou précédente devient
t/dv' == 0 d'où t/ =3 const.
On voit que le mouvement relatif du point sera un mouvement uniforme le long de la courbe.
Quand l'origine mobile a un mouvement rectiligne et uniforme dans une direction quelconque, les axes (X^ Z') restant parallèles i(
dH d*n eux-mêmes, les dérivées -r-r» -rr sont nulles et on trouve
dl* ar
qui apprend qu'alors le mouvement relatif est le même que s'il était absolu.
Enfin, si la courbe a un mouvement de rotation autour de l'axe des Y' confondu avec l'axe fixe Y, on posera
X = aa/ -*- cz', X = j/ cos a — z' sin a ,
ou plutôt z = a'V-i- cV, z = a/ sin a -H z' cos a ,
2'iO CUAPITRE XIV.
d'où
d'x --= rfac' cos a — rfz' sin a ,
rf'c tf= dx' sin a -t- dz' cos a,
et réqualion du mouvement relatif en (a/, jz', <] du point pesant m indiquée plus haut devient, en remarquant que / et n restent constants,
dt,
^da/-H ^dz'=-. jdz'H- (x'rfx'+z'rfz')r~Y-f-(2'dx'— a/rfz')^
d*a Quand le mouvement de rotation de Taxe des X' est uniforme, «rv ^^^
ai*
nul. En désignant par v' la vitesse relative et intégrant depuis vj
jusqu'à v', on trouve
v'» - Va'* = 29 (ft -- z) -H ««(a/* -+- z'«) = 23 (A — z) -*. co« (/» — t') ,
dans laquelle o) est la vitesse de rotation, / et /<, les distances à Taxe de rotation, et h — z la hauteur totale et absolue de la chute du point mobile. En désignant par (x^', zj) les valeurs initiales de {x\ z'), on a
h c=a xj sin a -h zJ cos a, z = a/ sin a -+- z' cos a ,
et en substituant on trouve aussi
v'* — Vo'' = &)• (/' — /o') -H âjf (Xo' sin ao -4- zj cos ao),
— 2gf (x' sin a -4- z' cos a ).
On est conduit à un principe général pour la détermination des mouvements relatifs d'un point matériel en remarquant que le déplacement des axes mobiles modifie le mouvement du point mobile et par conséquent produit le même effet qu'une certaine force F agissant directement sur le point; si donc on détruit cette force en introduisant une force F' égale et contraire, le point cessera d'être entraîné par les axes mobiles (X', Z') bien que ceux-ci conservent leur mouvement, et ils se comporteront par rapport au point comme s'ils étaient fixes, et comme si le point n'était mû que par la force motrice proprement dite P. L'équation des forces vives, qui alors deviennent des forces vives absolues, prend la forme
mu'« — muo'* = 2 / Prfp -4- 2 / T'rfC qui fait voir que pour avoir la force vive par rapport aux axes
mobiles, il faut ajouter à la quantité d'action f Pdp de la force ^notrice prise par rapport aux axes (X\ Z'), la quantité d'action fVdf prise par rapport aux mêmes axes^ d'une force égale et opposée à celle qui animerait le point si la force P n'existait pas ou si le point était invariablement lié aux axes (X^ Z'}.
En désignant par mi2'^ la force vive engendrée par la force T^ il vient
mû'«-mî2.« = 2/rd(',
cl Ton trouve
fwt/« — mvj^ = 2/Prfp + mi2'* — mQJ^.
Le problème précédent vérifie ce résultat, car la vitesse de rotation eo de la figure autour de Taxe Y' a pour effet de communiquer au point m la vitesse cùI et la quantité de force vive mu*/^ — mco^/o'. Cette quantité mi2* — mQJ^ se nomme force vive de l'entrainement.
Lois de Kepler dans le mouvemeut des planètes. Principe de la gravitation universelle. — Mouvement des satellites autour des planètes. — Masse des planètes. Masse de la terre. — Densité moyenne de la terre. Méthode de Bouguer. Méthode de Cavendisch.
i37. Lois de Kepler dans le mouvement des planètes. Principe de la gravitation universelle. — Le mouvement curviligne que prennent autour du soleil tous les corps de notre système planétaire prouve qu'ils obéissent à certaines forces qui les font dévier à chaque instant de leur direction rccliligne. Si ces forces nous étaient connues, la détermination des mouvements des corps célestes ne dépendrait plus que de la solution d'un grand problème de mécanique. Mais rien ne nous fait connaître à priori leur direction et leur intensité, et elles ne laissent d'autres traces de leur présence que les effets qu'elles produisent; c'est donc dans ces effets mêmes, c'est-à-dire dans la nature et les lois du mouvement des planètes qu'il faut chercher les données nécessaires pour remonter à la cause invisible qui maintient les planètes dans leur orbite.
Les lois générales de ces mouvements, découvertes par Kepler, sont éminemment propres à cet usage. Cet astt'onome^ par une longue suite d'observations, reconnut que les mouvements des planètes autour du soleil sont assujettis à certaines lois géométriques connues sous le nom de lois de Kepler, et qui consistent en ce que : {''tes orbites
réelles ou apparentes des planètes sont des courbes planes^ et les aires décrites autour du soleil par les rayons vecteurs des planètes sont proportionnelles aux temps employés à les décrire.
2^ Les orbites réelles ou apparentes sont des ellipses dont le centre du soleil Dccupe un des fo y ers.
o"" Les carrés des temps des révolutions des planètes sont sensiblement proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.
Remarquons que ces lois sont prëcisémeal celles que nous avons trouvées (N**' i20 et 121) pour le mouvement d'un point matériel attiré par un autre point fixe ou mobile, avec une force inversement proportionnelle au ciirré de la distance. Kepler et les astronomes con* tcmporains ne virent pas immédiatement tout le parti qu'il était possible de tirer de celte découverte qui resta longtemps stérile ; il était réservé à Newton de déduire de ces données la loi de l'attraction du soleil sur les planètes, et par suite, en généralisant, le principe de la gravitation universelle. Examinons par quelle série de raisonnements il arriva à une semblable conclusion.
D'après la première des trois lois de Kepler, le mouvement d'une planète autour du soleil se fait de manière que les aires apparentes décrites par son rayon vecteur, sont proportionnelles aux temps employés à les décrire. Il résulte de là (N** il 6] que«la force relative qui agit sur la planète est nécessairement dirigée vers le centre des aires, c'est-à-dire que la force est dirigée vers le centre du soleil fixe ou mobile.
La deuxième loi de Kepler apprend que les orbites réelles ou apparentes des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l'un des foyers. 11 suit de là que, si l'on désigne par r' le rayon vecteur de la planète, par co l'angle qu'il fait avec le grand axe 2a de Tellipse, et par e l'excentricité ou le rapport de la distance des foyers au grand axe, on a d'après l'équation polaire de l'ellipse,
i -H e cos 0)
Mais si l'on désigne par R' l'action mutuelle du soleil et de la planète ayant des masses M et m, on a vu (N"" il 7) que l'équation des forces vives dans le mouvement relatif donne
t/« — v'o' = 2 -— / R'rfr', ou ( — ) — t?'„* = 2 -— /RV/r'
Mm ^ ' \dtj Mm ^
dans laquelle dr^ est la différentielle du rayon vecteur r'. On sait par la théorie des courbes polaires, que Ton a
cl si Ton tire de Téquation polaire de Fellipse la valeur de dr' en éliminant cos (ù, il vient
réquation des forces vives devient ainsi
/dw\* r" / r'\ M -4- w
\d(/a(l— e*)\ ay Mtw -^
On a vu aussi dans la théorie des courbes polaires que l'aire élémen-
taire comprise entre deux rayons vecteurs consécutifs est-Wr/eo; en
désignant donc par G le rapport constant des aires décrites aux temps employés à les décrire, la première loi de Kepler fournit l'équation suivante :
ce qui réduit l'équation des forces vives à la suivante :
aH-e*)\/ a) """^ Mm •^"'" ' et si Ton différentie les deux membres, il vient enfin
4C« Mm i
d'où l'on conclut que l'attraction doit être inversement proportionnelle au carré de la distance r\ Le signe négatif de R' indique que cette force est dirigée vers le centre d'attraction, c'est-à-dire, vers le soleil. En divisant la force motrice R' par la masse m de la planète, on a pour expression de la force accélératrice ou de la force attractive que le soleil exerce sur l'unité de masse de la planète et a l'unité de distance,
On conclut de la troisième loi de Kepler que cette force attractive a la même intensité pour toutes les planètes; en effet, pour une autre planète m' elle sera représentée par
et comme G et G' sont les rapports constants entre les aires décrites et les temps employés à les décrire, ils représentent aussi les rapports entre les aires des ellipses entières et les temps T et T' des révolutions; on a donc
ti s=a — , C = ■ =;; »
ce qui fait prendre aux expressions des deux forces les formes
• 47r' -— et n : 47r* -— j
et ces forces sont égales, puisque la troisième loi de Kepler^ qui n'est qu'approchée, donne
ou plus exactement,
qui ne diffère de l'autre que d'une quantité insensible , à cause de la petitesse de m et de m' par rapport à M pour tous les corps de notre système planétaire. D'où l'on conclut que la force émanant du soleil qui retient les planètes dans leur orbite, est d'égale intensité pour des masses équivalentes placées à des distances égales, et est proportionnelle aux masses sur lesquelles elle agit, comme la pesanteur k la
surface de la terre. En représentant par K le facteur-- —qu'on
M -t- fit 1'
vient de voir être invariable pour toutes les planètes, l'attraction du
KMfM
soleil sur la planète devient — —• K se nomme le coefficient de la
gravitation universelle.
11 est à remarquer, i« que les lois de Kepler s'étendent au mouvement des comètes autour du soleil et au mouvement des satellites autour des planètes; 2° que l'on n'a pu rendre compte de certaines
perturbations observées dans le mouvement des planètes, qu'en les supposant soumises entre elles à des attractions mutuelles du même genre que celles qu'exerce le soleil sur les planètes; et 5® que l'expérience a fait reconnaître que deux corps placés à la surface de la terre s'attirent aussi mutuellement avec une intensité proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance. On est ainsi conduit à considérer tous les corps qui existent dans l'univers comme doués d'une force d'attraction sur les autres corps, dont la pesanteur n'est qu'un cas particulier et dont l'intensité est proportionnelle à la masse attirée et inversement proportionnelle au carré de sa distance.
Telle est la force qui régit le mouvement des astres comme celui du moindre corps terrestre, et en soumettant son action au calcul, toutes les lois du système du monde ne sont plus que des conséquences du principe d^attraction ou de la gravitation universelle,
438. Mouvement des satellites autour des planètes, — Nous avons dit que le mouvement d'un satellite autour de sa planète suit les mêmes lois que le mouvement d'une planète autour du soleil. Cela serait rigoureusement vrai si le satellite n'était soumis qu'à la seule attraction de sa planète; mais outre cette force attractive, il éprouve, ainsi que la planète, l'action du soleil qui altère plus ou moins son mouvement elliptique. Les équations différentielles du mouvement du satellite s'obtiennent de la manière suivante :
Soient M, m, m! (fig. 97) les masses du soleil S, de la planète P et
du satellite s, concentrées au centre de ces sphères, R, R', r les
distances de la planète au soleil, du satellite au soleil et du satellite
à la planète. Par les centres du soleil et de la planète faisons passer
des axes rectangulaires parallèles et de direction invariable, quoique
mobiles, et désignons par (x, y, z) et (j/, y', z!) les coordonnées de la
planète et du satellite par rapport au soleil; xf — x, i/ — y, z' — z
seront les coordonnées du satellite par rapport à la planète. Les
actions mutuelles du soleil et de la planète, du soleil et du satellite
,. , , , , , , KMm KMm! ,
seront, daprès le numéro précèdent, — „t- et ^.^ > les lorces 7 1 R^ R''
relatives qui agissent sur la planète et sur le satellite deviendront (fin
. ^T ,-.xM-+-w KMm M-t-m' KMm'
du NMi6 — -r- et — -^rj^- , et les composantes
suivant les axes de ces forces auront pour valeurs
— Km(M -+- w)^, — Km(M -♦- wi)-^> — Km(M -^ *^)ke^
-K»n'(M+m')^. - K»i'(M -h m')^, -Km'(M + m')^.
D*un autre côte, les actions mutuelles du satellite s sur la planète P, et de la planète P sur le satellite s sont — ^ dont les composantes parallèles aux axes sont
af — X if — V ^ — z
Kmm! -— , Kmm- — r-^ i Kmm' — -— »
••3 mmO tmo
__ Krnm' — -— , — K mm' ^ — — =^ » — Kmm' — -— ;
on a donc pour les équations du mouvement relatif de la planète et du satellite par rapport au soleil ,
m -T-r= — Km (M -4- m)— - -i- Kmm' — - — y m^= — Km(M + m) J^ -i- Kmmf^^^ ,
rf'z z z' "~~" z
m -7^= — Km(M -*- m)—- + Kmm' — -- (4)
d^j/ ûif fl/ ""^ X
m'— = - Km' (M + m') — -Kmm'— ^ ,
m'^'= — Km'(M + m') 1^ — Kmm'^-=1^ , dt* R' r^
m'^ = - Km' (M + m') — — Kmm' — -^ (2)
Ces six équations, lorsqu'elles seront intégrées, feront connaître X, y, z, a/, y', 2' en fonction de t, c'est-à-dire qu'elles fixeront à chaque instant la position de la planète et de son satellite par rapport au soleil. Ce problème est connu sous le nom de problème des trois corps. Ces intégrations, qui ne peuvent d'ailleurs se faire que par approximation, nous écarteraient trop de notre but pour que nous puissions nous y arrêter; nous nous bornerons à tirer quelques conséquences générales des équations différentielles mêmes. Remarquons d'abord que la présence du satellite altère le mouvement
<!c la planète aulour du soleil; car les équalions du mouvement de la planète privée de satellite seraient :
d*x X cPy , y
'''IF Km(M-i-i«)-, m^=~Km(M + m)|-3,
mais cette altération est fort petite, puisque le terme qui a disparu
dans la valeur de m-i-^» etc. contient le facteur m et que la masse
ar
d'un satellite est extrêmement petite en comparaison des masses M
et m du soleil et de ta planète; de sorte que la présence du satellite
ne fera dévier la planète que très peu de sou orbite elliptique.
Pour ce qui concerne le satellite, remarquons que s'il n'avait été
soumis qu'à l'attraction — - — de sa planète, comme les composantes
relatives de cette force sont — Km' (m -h m') — - — etc., etc., les
équations de son mouvement relatif auraient été, attendu que af — a;, y' — y, 2' — Zj sont les coordonnées du satellite rapportées au centre d'attraction qui est la planète,
di [jI — x\ x' — X
iW ^^, ^ = — Km' (m H- m') — — ,
dilz'-^z) z^--z
m'— i-j— ^=» - Km' (m ^- m')
rft« ' ' r
ou bien
rfV d^z zf'-z
Si l'on retranche membre à membre les équations (1) de (2) après avoir supprimé les facteurs m et m', il vient
d*a/ rf'x . 0^ — X .. ocf 'X
d'y' cr-y
(il* dt^
= etc.... (4)
qui diffèrent essentiellement des précédentes (5); le mouvement du satellite autour de la planète est donc altéré par l'attraction du soleil, ce qui du reste devait évidemment arriver; mais il est facile de voir que cette altération n*est aussi que fort petite; car la distance Ps étant pour tous les satellites connus, fort petite relativement aux distances PS et aS, l'attraction relative exercée par le soleil sur l'unité de masse du satellite se confond en grandeur et en direction avec celle qui est exercée sur Tunité de masse de la planète, c'est-à-dire que les composantes suivant les axes de ces deux forces sont sensiblement égales; or ces deux forces relatives ont, d'après ce qu'on vient de voir, pour composantes rapportées aux unités de masse des deux corps ,
K(M-H m) — etc., etc., et K(M-i-m')— -etc., etc. ; les équations(4) R R
ne diffèrent donc que très peu des équations (5); d'où il résulte que
le mouvement relatif du satellite autour de sa planète ne diffère que
très peu de ce que serait ce mouvement si la planète et son satellite
existaient seuls dans l'espace, c'est-à-dire que ce dernier décrit, à
fort peu près, une ellipse dont la planète occupe un des foyers.
Les différentes planètes, comme on l'a déjà dit, exercent aussi les unes sur les autres et sur les satellites, des attractions qui se combinent avec celle du soleil. Ces actions sont constatées par les perturbations qu'elles produisent dans le mouvement elliptique; de sorte que le mouvement elliptique des planètes et des satellites ne doit être considéré que comme une première approximation, qui devra subir ensuite des corrections nombreuses , mais en général assez petites, dont la détermination, analogue à celle que nous venons d'indiquer pour un satellite, fait un des principaux objets de la mécanique céleste.
i59. Masse des planètes. Masse de la terre, — Le principe de lu gravitation universelle conduit facilement à la détermination des rapports entre les masses des planètes qui ont un satellite et celle du soleil; en effet, on tire de la valeur de K (N" 137),
On a vu aussi que le satellite se meut autour de la planète à fort peu
260 CUAPITRB XV.
près comme la plaoète autour du soleil, et que par conséquent, en représentant par qI et T' le demi grand axe de Torbite du satellite et la durée de sa révolution, on doit avoir
Ces deux équations donnent
m-^-m' tt'^T*
et, comme la masse d*une planète est fort petite relativement à celle du soleil, ainsi que celle du satellite relativement à sa planète, l'équation précédente se réduit sensiblement à
qui donne le rapport cherché.
Cette méthode est peu exacte pour déterminer la masse de la terre, parce que la masse de la lune est trop considérable pour qu'on puisse négliger m! devant m. La connaissance de la pesanteur à la surface de la terre fournit un autre moyen plus précis pour mesurer sa masse; en désignant par r le rayon de la terre supposée sphérique et homogène, l'attraction que sa masse m qu'on peut concevoir concentrée dans son centre, exerce à la distance r du centre sur l'unité de masse, est, comme on sait, représentée par
Km
or, cette attraction qui n'est autre chose que la gravité à la surface de la terre, corrigée de l'efTet de la force centrifuge, est donnée par l'expérience (N"^ 126); si donc on la désigne par G, on aura
Kw ^ r*
d'un autre côté, la révolution de la terre autour du soleil étant sensiblement la même que si la lune n'existait pas, ainsi qu'on l'a vu au N"" 138, conduit à la relation
K(M -Hm) = 47:'-;
on a donc en éliminant K,
m "" Gr«T« On a trouvé de cette manière,
Connaissant le rapport de la masse de la terre à celle du soleil , il est facile de trouver le rapport de la masse d'une planète quelconque a celle de la terre; car pour une planète quelconque t^i' on a
et en remplaçant K par sa valeur tirée de l'expression précédente de G,
"m~"Gr*r«"~m'
La masse de la lune se déduit de son action sur les eaux de la mer dans les marées, et celle des autres satellites résulte des perturbations que produit leur attraction sur les autres satellites.
140. Densité moyenne de la terre. Méthode de Bouguer. Méthode de Cavendisch. — Cette formule donnerait les masses de toutes les planètes, si celle de la terre était connue. Cette dernière a été déterminée en observant les déviations qu'un fil à plomb éprouve dans le voisinage d'une baute montagne, par suite de l'attraction que sa masse exerce sur la masse du fil à plomb. Soit aBO (fig. 98) la verticale élevée en un point fi de la surface de la terre, au pied d'une montagne M; si au point a on suspend un fil à plomb, ce fil qui, sans ce voisinage, suivrait la verticale afi, s'inclinera vers la montagne et prendra la position am, à cause de l'attraction que celle-ci exerce sur la masse de plomb m, attraction qui^ d'après ce qu'on a vu en Statique (N* 101), est dirigée vers son centre de gravité G. Connaissant par l'observation l'angle de déviation Bam on en déduit le rapport de la masse de la terre à la masse de la montagne donnée par l'observation ; en effet, si l'on conçoit le point m joint au centre de la terre par la verticale mO et au centre de gravité G de la montagne, par la droite mG, la résultante des deux attractions dirigées sui-
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vant mO et mG devra, dans l'état d'équilibre du fil à plomb, être dirigée suivant am; en représentant donc par M la masse de la terre, par m celle de la montagne, par p la masse de plomb placée en »(, par r le rayon mO de la terre et par l la distance mG du lieu d'observation au centre de gravité G, les attractions suivant mO et mG
KaM Kam seront -^-r— et —^ — > et 1 on aura
,, : -~~ == sin AmO : sin AmG, /• r'
d'où l'on tire, en représentant par a l'angle amG qu'on détermine par l'observation, et par e l'angle AmO qui, à cause de la longueur de mO, est égal h l'angle de déviation AaO ,
M r' sin a
m /* sin e
Cette équation fait connaître la masse de la terre, connaissant la masse de la montagne. On déduit de là la densité moyenne de la terre; car en la désignant par D, par d celle de la montagne dont on connaît la constitution, et par V et v les volumes de ces deux masses, il vient
M = VD, m = vrf, et par conséquent
D r^v sin a Z v sin a d l*V sin e 4 tt/V sin e
Bouguer a trouvé de cette manière que la densité moyenne de la terre est égale à environ 5 fois celle de l'eau,
La densité moyenne de la terre a été déterminée avec une plus grande précision par un autre procédé dû à Cavendisch. A un fil vertical très délié, suspendons par le milieu A (fig 99) et dans une position horizontale, une verge BB' terminée par deux sphères métalliques identiques B et B'. Cette verge abandonnée à elle-même et n'obéissant qu'à la force de torsion du fil, s'arrêtera dans une certaine position BB', et si on l'en écarte, elle y reviendra en faisant une suite d'oscillations ducs à l'action de la torsion qu'aura éprouvée le fil de suspension. Concevons que Ton place deux sphères métalliques égales et de même matière D et IV dans des positions identiques, de manière que les centres soient placés à des distances égales BD et B'D' prises
DYNAUIQUE. 265
sur les perpendiculaires horizontales élevées aux deux extrémités B et B' de la verge BB'; les attractions exercées par les masses m de ces sphères sur les masses [i placées en B et B', feront dévier la verge BB' qui tournera autour du point A et s'arrêtera dans une position voisine CC, pour laquelle l'attraction de D et IV fera équilibre h la force de torsion du fil de suspension, force qui, quand elle agissait seule, tendait à ramener la verge CC dans la position BB'. Si Ton replace la verge CC dans la position BB' et qu'on l'abandonne ensuite à elle-même, elle fera une suite d'oscillations dont la durée et l'amplitude vont nous faire connaître le rapport de la masse m à la masse de la terre; en effet, considérons le mouvement de l'un des deux points B ou B', de B par exemple, et supposons que ce point se meuve dans la perpendiculaire BD , ce qui est permis , vu la petitesse des oscillations. En représentant par x la distance du centre de la masse (i au point fixe B à une époque quelconque du mouvement et par a la distance BD , l'attraction de [i sur m sera à une époque quelconque,
Kfxm
si donc 0) est l'effort que fait la force de torsion du fil pour ramener la masse fx à sa position B^ on aura pour l'équation du mouvement de la masse /x,
d^x K juim
L'attraction de la sphère D sur la sphère B' est ici négligée comme n'ayant qu'un effet insensible.
L'expérience apprend que la force o) est proportionnelle à l'angle de torsion, en sorte que si e est l'angle que fait à une époque quelconque la verge avec BB', la valeur de la force de torsion go sera de la forme 12e. D'un autre côté, on a évidemment, r étant la distance CA,
X = rt; l'équation du mouvement devient donc
dh Km Qe
dt* (a — r£)« ij.
ou, en développant en série la fraction ^r et en se bornant aux
(a — rs)*
deux premiers termes^ parce que rz est très pclit en comparaison de a.
dhKm /Û 2Km\
Le facteur binôme qui multipliée, est toujours positif; car il est visible que la valeur de Tangle e correspondant à la position où la force de torsion fait équilibre à la force d'attraction , s'obtient en égalant à zéro la force motrice totale ou en posant
Km
[Cm __ /^ 2K»i\ ^
et comme cette valeur de e doit être visiblement positive, il en résulte que le binôme ne peut être que positif, Téquation est donc de la forme
L'intégrale de cette équation différentielle du premier degré et du second ordre, à coefficients constants, est
e =zL^ -^ C sin qt h- C cos qt.
Si on détermine les constantes G et G' par la condition que lorsque le temps ( commence, c'est-à-dire à l'époque initiale, l'angle variable e
et la vitesse -7- ou r -r sont nuls, il viendra dt ai
£ = ^ — i--cosot=»^(i —cos on»
qui fait connaître la loi du mouvement de la verge BB'. Il est visible que celle-ci prend un mouvement oscillatoire qui s'étend depuis s =^ 0
p' jusqu'à £ = 2^9 c'est-à-dire que l'amplitude des oscillations est
»* 2— que nous désignerons par a; quant à la durée isochrone V d'une
oscillation, elle est donnée par
COS <!('== — i, d'où g(' =» TT et r = - •
Supposons que Foo ait observé cette amplitude a et la durée ('; on aura en remplaçant p et q par leur valeur,
Rmi
" - - ii 2Km '
2Ktn 7r«
d'où, en cliininant ii ,
SRm
mais on a vu plus haut que Ton a, M étant la masse de la terre, R son rayon et G la pesanteur telle qu'elle serait sans la rotation ,
