KM
Si Ton tire de là la valeur de K pour la substituer dans l'équation précédente, il viendra enfin
m""2GRV*'
qui fait connaître le rapport entre la masse m et la masse M de la terre et par suite, le rapport entre les densités. Gavendisch a trouvé ainsi que la densité de la terre est égale à 5 7a fois celle de l'eau.
.Mouvement d'un syslômc de points matériels liés entre eux d'une mnnièpc quelconque. Principe de D'Alembcrt. — Principe de D'Alembert modifié pour le cas d'une percussion. — Applications à différents exemples.
14i. Mouvement (Vt/n système de points matériels liés entre eux d'une manière quelconque. Principe de D'Alembert. — Le problème général de la dynamique consiste à déterminer le mouvement des différents points matériels d'un système, connaissant les forces dont chacun de CCS points est animé, ainsi que les liaisons inextensibles ou variables qui existent entre eux. 11 est visible que le mouvement effectif de chaque point est produit par la résultante des forces motrices qui agissent sur lui, et des forces intérieures qui naissent des liaisons; si donc on pouvait déterminer les valeurs et les directions de ces forces intérieures, on pourrait considérer chaque point matériel comme isolé et poser les équations différentielles de son mouvement comme on Ta vu aux chapitres Xlll et XIV. Cette marche a Tinconvénient d'exiger le plus souvent une méthode différente pour la mise en équation de chaque problème; mais une remarque fort simple conduit ù une solution générale et uniforme pour toutes les questions de dynamique. Considérons un système de points matériels m, m\ m", etc. soumis & Taction de forces motrices et à certaines actions mutuelles résultant soit des attractions entre ces points, soit de leurs liaisons par des fils extensibles ou inextensibles. Appelons ces dernières, forces intérieures du système, pour les distinguer des forces motrices
DYNAUIQUE. 267
proprement dites, que nous appellerons forces extérieures; le mouvement de chaque point matériel résultera de la combinaison des forces intérieures et extérieures auxquelles il est soumis; de sorte que sa réaction sera toujours égale et opposée à la résultante de celles-ci, et par conséquent il y aura à chaque instant équilibre autour de chaque point entre les forces extérieures, les forces intérieures et les réactions dues à rinertie. En réunissant tous les systèmes de forces en équilibre autour de chaque point du système, on voit qu*i7i/ a équilU bre au moyen des liaisons entre toutes les forces extérieures, les forces intérieures et les forces d'inertie ^ puisque la réunion de plusieurs groupes de forces en équilibre forme évidemment un système en équilibre.
Si les liens qui unissent les points du système sont inextensibles, la relation précédente se simplifie, car les forces intérieures se présentent alors par couples de forces égales, opposées et agissant aux deux extrémités de droites inextensibles; elles se font donc équilibre deux à deux et Ton est alors conduit à cette propositon : dans un système de points matériels en mouvement à liens inextensibles, il y a à chaque instant équilibre par l'intermédiaire des liaisons^ entre les forces extérieures qui agissent sur le système et les réactions dues à l'inertie.
Si quelques uns des points matériels étaient assujettis à demeurer sur des surfaces ou sur des courbes données, ces surfaces ou ces courbes exerceraient contre les points matériels des pressions normales qu*il faudrait ranger parmi les forces extérieures qui concourent h réquilibre précédent.
On a vu plus haut que dans un système quelconque en mouvement, il y a nécessairement équilibre entre les forces extérieures, les forces intérieures et les réactions, et Ton vient de voir que dans un système dont les liens sont inextensibles, l'équilibre existe entre les forces extérieures et les réactions. En rapprochant ces deux propositions, on est conduite ce principe, du reste évident, qu't7 y a équilibre dans ces derniers systèmes, entre les forces intérieures qui naissent des liaisons, c'est-à-dire entre les tensions intérieures.
Ces conditions d'équilibre mises en équations et jointes à celles qui expriment les divers modes de liaisons, font connaître toutes les circonstances du mouvement de chaque partie du système.
Il est visible que les équations du mouvement d*un point matériel unique, données aux chapitres XII et XIII ne sont qu'un cas particulier des précédentes, puisqu'elles ne font qu'exprimer l'égalité de la
268 CIlAPiTRB XVI.
force motrice et de la force d'iaertie appliquées à un même point.
C'est à D*Alembert que Ton doit la remarque importante qui précède, et qui a Tavantage de transformer toute question de mouvement en un problème d'équilibre. On lui a donné le nom de principe de D'Alembert. Ordinairement on le présente sous une forme un peu différente : R étant la force qui devrait agir sur un des points m pour lui communiquer le mouvement effectif qu'il prend par suite de ses liaisons , on sait que la force d'inertie est égale et opposée à R et si l'on nomme cette force R force effective^ le premier énoncé du principe pourra être remplacé par le suivant : il y a à chaque instant équilibre entre les forces motrices intérieures et extérieures et les forces effectives^ ces dernières étant prises en sens inverse. Lorsque les liens intérieurs sont inextensibles, les forces intérieures disparaissent et alors t7 y a équilibre entre les forces motrices extérieures et les forces effectives prises en sens inverse. Enfin si dans le cas de liens inextensibles, on décompose autour de chaque point, la force motrice extérieure en deux autres forces dont l'une soit la force effective ellemême, et si l'on appelle force perdue la deuxième composante qui se trouve ainsi entièrement déterminée , la première composante sera détruite par la force effective prise en sens inverse, et le dernier énoncé pourra être remplacé par celui-ci :il y a équilibre à chaque instant entre toutes les forces perdues.
Ce dernier système de forces en équilibre est identique avec celui mentionné plus haut, des forces intérieures provenant des liaisons inextensibles; car si P est la force motrice (fig. 100] qui agit sur le point M, T la force intérieure provenant de la liaison du point M à un autre point du système, R la résultante de P et T, R sera la force effective, et il est visible que si l'on décompose P en deux autres forces Ma, Me' dont l'une soit la force effective R, la seconde composante Mcf = T nommée force perdue, est égale et opposée à T et n'est par conséquent que la tension du cordon qui aboutit au point M. Il est donc indifférent de dire que les forces perdues ou que les forces intérieures provenant des tensions délions inextensibles, se font équilibre.
142. Principe de D*Alembert modifié pour le cas d'une percussion. — Le principe général énoncé plus haut serait encore vrai si pendant le mouvement il s'opérait des changements brusques dans les vitesses par suite de percussions simultanées soit entre les points matériels du système soit entre ceux-ci et des corps extérieurs; on sait, en effet, que les percussions développent de véritables forces motrices
DYPrAMIQUE. 269
auxquelles s'applique par conséquent tout ce qui a été dit au numéro précédent cl qui ne diffèrent des forces motrices ordinaires qu'en ce qu'elles sont incomparablement plus considérables, ce qui est cause que 9 quoique n'agissant que pendant un temps très court, que nous supposerons égal pour toutes, ce temps leur suffît pour engendrer des vitesses et par suite, des réactions finies. Pendant ces percussions tous les corps choqués se compriment plus ou moins; il faut donc considérer le lien fictif suivant lequel se transmet l'action mutuelle pendant la percussion, comme variable de longueur ou élastique, et il y aura à chaque instant équilibre entre les forces extérieures, les forces intérieures et les forces d'inertie , en rangeant parmi les forces extérieures celles qui résultent des percussions contre des obstacles ou des corps extérieurs, et parmi les forces intérieures celles qui naissent des percussions entre les corps du système ; or la durée extrêmement petite des percussions permet de simplifier le système de ces forces en équilibre; en effet dans l'instant qui précède le moment où commencent toutes les percussions , il y a équilibre entre les forces intérieures, les forces extérieures et les forces d'inertie telles qu'elles sont à cet instant. Immédiatement après la percussion, il y a encore équilibre entre les forces de même nom ; or pendant leur durée extrêmement petite, à ces forces intérieures et extérieures, et à ces forces d'inertie sont venues se joindre les forces engendrées par les percussions , sans que les forces motrices proprement dites aient eu le temps de changer de grandeur; il est donc visible que le système en équilibre après les percussions se composera du système tel qu'il était avant, augmenté des forces de percussion et des forces d'inertie qu'elles engendrent, et si l'on supprime dans ce second système les forces primitivement en équilibre, on voit qu'il y a équilibre entre les percussions ou plutôly entre les forces motrices qui leur servent de mesure et les forces d'inertie qu'elles déterminent.
i4d. Applications à différents exemples — Appliquons les principes précédents à la solution de quelques problèmes de dynamique.
Proposons-nous de déterminer le mouvement de deux points matériels pesants m et m' (fig. 101), liés par un fil mKm' flexible^ inextensible et sans pesanteur, ces points étant assujettis à glisser sur deux droites AB et AC renfermées dans un plan vertical et le fil devant glisser sur une poulie placée au point de rencontre A des deux droites.
Si m et m' sont les masses de ces deux points et a et |3 les inclinaisons B et C des deux droites sur l'horizon fiC, en désignant par v la
vitesse avec laquelle le point m descend le long de AB, sa force
dv d*lnertie sera m -r- agissant dans le sens fiA et comme la vitesse de m'
dt
est la même que celle de m, mais dirigée de G vers A, la force d'inertie
dv de m! sera aussi m' -7- dirigée dans le sens AG. D'après le principe de
D'Alembert modifié pour les systèmes à liens inextensibles, il y a à
chaque instant équilibre entre les forces intérieures ou les tensions
qui naissent des liaisons; les tensions des cordons Am' et Ain passant
sur une poulie doivent donc être égales; or la tension en m est égale
à la composante du poids mg dans le sens AB ou mg sin a diminuée
dv de la force d'inertie ni—y parce que celle-ci agit en remontant. La
tension en m' est de même m'g sin (3 + w'-j-; on a donc pour condition d'équilibre des forces intérieures, ou pour équation du mouvement du système,
dv , . o ,dv mg sin a, — wi-7- = mg sin p -h m' -7- >
d'où
dt? /m sin a — m' sin 13\
ci en intégrant et représentant par xla distance Am,
dx nt sin a — m! sin S
t; ou -r- = 5f ; -t-^C
dt m H- m'
1 m sin a — m'sinâ. ^ ^ X = - 0 ; ^ «« -h et 4- D.
Ges valeurs comparées à celles obtenues (N** 110) pour la chute des corps pesants, font voir que les lois du mouvement du point m sont les mêmes que celles d'un point matériel pesant tombant verticalement en vertu de la pesanteur, l'intensité g de la gravité étant réduite à
nt sin a — m' sin S
dv On obtient la tension du fil mkm! en remplaçant -r- par sa valeur
dans Tcxprcssion difîdrcnlielle nig sin a — m— de celle Icnsion, el on trouve
q :(sin a -h sm p).
On voil que celte tension est constante pendant toute la durée du mouvement.
Si les deux droites deviennent verticales, le système se réduit h deux points matériels suspendus verticalement aux extrémités d'un cordon passant sur une poulie, et les intégrales précédentes deviennent, en supposant nulles la vitesse initiale et la valeur initiale de x,
v«o -t a? = --a tP
qui apprennent que le point m descend verticalement de la même manière que s'il obéissait librement à la gravité, Tintensité de
celle-ci étant diminuée dans le rapport de q à q , • On voit par
là qu'en prenant les masses m et w! peu différentes entre elles, on pourra ralentir autant que Ton voudra leur mouvement, ce qui permettra d'en observer toutes les circonstances pour en déduire les lois de la chute des corps graves. C'est cette remarque qui a donné lieu à la construction de la machine d'Atwood.
Si dans le problème précédent, le fil était extensible, l'équilibre aurait lieu entre : 1"» les forces extérieures, c'est-à-dire la gravité ma et la pression mh de la droite contre le point, 2"^ les forces intérieures ou la tension T du cordon mÂm' et Z^ les forces d'inertie; or la résultante du poids ma et de la pression mh est md qui est
égale à mg sin a, et l'inertie est encore — m -y- ; les forces qui agissent
en m sont donc mg sin a, — w -7- , et — T dirigéessuivantAnt. De même
en désignant par t/ la vitesse de m'j la force qui agit en m' est aussi
ni'^sin (3 — m'— T', 1/ étant différente de v parce que le fil n'a plus
une longueur invariable. Comme un ressort tendu est également tiré par les deux bouts, et que l'équilibre n'est possible entre ces deux
groupes de forces lices par un fil extensible, qu'en admettant que l'équilibre a lieu dans chaque groupe, on doit avoir
T = T', tng sin a — m ^— T = 0, m'g sin p - m'-^ T' = 0.
On tire des deux dernières
dv , . n ,cft/
tng sin a — m-r- = m g sin p — ^« "7">
ut uv
mais d'un autre côté , si l'on désigne par xf la distance m'A et qu*on suppose la tension du fil proportionnelle à son allongement, { étant la longueur totale du fil quand il n'est pas tendu et jx le coefficient de Textensibilité ou l'allongement de l'unité de longueur du fil soumis h une tension égale à l'unité, on aura aussi
